甘肃省兰州市教育局第四片区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案与解析）

这是一份甘肃省兰州市教育局第四片区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案与解析），共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．角α的终边过点P（4，﹣3），则csα的值为（ ）
A．4B．﹣3C．D．﹣
2．从某中学抽取10名同学，得到他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则可得这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为（ ）
A．92，92B．92，96C．96，92D．92，90
3．某中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
4．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x5+5x4+3x3+x2+x+2在x＝2的值时，令v0＝a5，v1＝v0x+5，…，v5＝v4x+2，则v3的值为（ ）
A．82B．83C．166D．167
5．已知向量＝（csα，﹣2），＝（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（ ）
A．3B．﹣3C．D．
6．为进一步促进“德、智、体、美、劳”全面发展，某学校制定了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，甲乙两名同学在这五门体育课程中各选择一门，则两人选择课程相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．在区间[﹣，]上随机取一个数x，csx的值介于0到之间的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知sinα+csα＝，则sin2α＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣
10．已知cs（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（ ）
A．B．C．D．
11．已知||＝2，||＝1，，则向量在方向上的投影是（ ）
A．B．﹣1C．D．1
12．若函数的图象向右平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中，正确的是（ ）
A．函数g（x）的图象关于直线对称
B．函数g（x）的图象关于点对称
C．函数g（x）的单调递增区间为
D．函数是偶函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填入答题卡内.）
13．若二进制数110010（2）化为十进制数为a，98与56的最大公约数为b，则a+b＝
14．在[0，1]上随机取两个实数a，b，则a，b满足不等式a2+b2≤1的概率为 ．
15．已知，与的夹角为，那么＝ ．
16．求值：sin50°（1+tan10°）＝ ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤，请将答案填入答题卡内.）
17．已知csα＝﹣，sinβ＝，α∈（，π），β∈（，π）．
（1）求sin2α的值．
（2）求cs（2α+β）的值．
18．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用（x，y）表示一个基本事件．
（Ⅰ）请写出所有的基本事件；
（Ⅱ）求满足条件“为整数”的事件的概率；
（Ⅲ）求满足条件“x﹣y＜2”的事件的概率．
19．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在[185，195]（单位：cm）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）在样本中，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．
20．已知函数f（x）＝sin2x﹣2cs2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的值．
21．下表数据为某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）．
（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；
（2）若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？
参考公式：．
22．已知函数f（x）＝2sinxcsx+2sin（x+）cs（x+）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣1＝m在[0，）上恰有一解，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．角α的终边过点P（4，﹣3），则csα的值为（ ）
A．4B．﹣3C．D．﹣
解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，
则csα＝＝，
故选：C．
2．从某中学抽取10名同学，得到他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则可得这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为（ ）
A．92，92B．92，96C．96，92D．92，90
解：该组数据按从小到大的顺序排列为82，85，88，90，92，92，92，96，96，98；
所以这组数据的众数为92，中位数为×（92+92）＝92．
故选：A．
3．某中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
解：某中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，
用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，
∴该样本的中年教师人数为：35×＝7．
故选：C．
4．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x5+5x4+3x3+x2+x+2在x＝2的值时，令v0＝a5，v1＝v0x+5，…，v5＝v4x+2，则v3的值为（ ）
A．82B．83C．166D．167
【解答】由于函数f（x）＝7x5+5x4+3x3+x2+x+2＝（（（（7x+5）x+3）x+1）x+1）x+2，
当x＝2时，分别算出v0＝7，
v1＝7×2+5＝19，
v2＝19×2+3＝41，
v3＝41×2+1＝83．
故选：B．
5．已知向量＝（csα，﹣2），＝（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（ ）
A．3B．﹣3C．D．
解：∵，
∴csα+2sinα＝0，
∴tanα＝，
∴tan（）
＝
＝﹣3，
故选：B．
6．为进一步促进“德、智、体、美、劳”全面发展，某学校制定了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，甲乙两名同学在这五门体育课程中各选择一门，则两人选择课程相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
解：甲乙两名同学在五门体育课程中各选择一门，基本事件总数为n＝5×5＝25；
其中两人选择相同课程所包含的基本事件个数为m＝5，故所求概率为P＝＝＝．
故选：C．
7．在区间[﹣，]上随机取一个数x，csx的值介于0到之间的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：在区间[﹣，]上随机取一个数x，等于区间长度为π，csx的值介于0到之间的x范围为[，﹣]∪[，]．区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；
故选：A．
8．已知sinα+csα＝，则sin2α＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
解：∵sina+csa＝，
∴（sina+csa）2＝，
∴1+2sinacsa＝，
∴sin2a＝﹣．
故选：A．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣
解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．
当n＝10时，满足退出循环的条件，
所以S＝0+cs+cs+cs+cs+cs+cs+cs+cs+cs+cs
＝0++0+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+0++1++0＝．
故选：B．
10．已知cs（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（ ）
A．B．C．D．
解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
11．已知||＝2，||＝1，，则向量在方向上的投影是（ ）
A．B．﹣1C．D．1
解：根据投影的定义，
可得向量在向量方向上的投影是：
||csθ＝＝，（其中θ为向量与的夹角），
故选：D．
12．若函数的图象向右平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中，正确的是（ ）
A．函数g（x）的图象关于直线对称
B．函数g（x）的图象关于点对称
C．函数g（x）的单调递增区间为
D．函数是偶函数
解：把函数的图象向右平移个单位长度后，
得到y＝g（x）＝3sin（2x﹣+）＝3sin（2x﹣）的图象，
当x＝时，g（x）＝，不是最值，故函数g（x）的图象不关于直线对称，故A不正确；
当x＝时，g（x）＝﹣，不是零，故函数g（x）的图象不关于点对称，故B也不正确；
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数g（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故C不正确；
函数＝3sin（2x+﹣）＝3cs2x，显然是偶函数，故D正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填入答题卡内.）
13．若二进制数110010（2）化为十进制数为a，98与56的最大公约数为b，则a+b＝ 64
解：∵由题意，98÷56＝1…42
56÷42＝1…14，
42÷14＝3…0
∴98与56的最大公约数为14，可得：b＝14，
二进制数110010（2）化为十进制数a＝25×1+24×1+23×0+22×0+21×1+20×0＝50．
∴a+b＝64．
故答案为：64．
14．在[0，1]上随机取两个实数a，b，则a，b满足不等式a2+b2≤1的概率为 ．
解：根据题意，在[0，1]上随机取两个实数a，b，即，
则实数a、b组成的平面区域为正方形OBCD，其中B（1，0），D（0，1），
其面积S＝1×1＝1，
若，该不等式对应的区域为扇形OCD，其面积S1＝×π×12＝，
故a，b满足不等式a2+b2≤1的概率P＝＝；
故答案为：．
15．已知，与的夹角为，那么＝ ．
解：因为，与的夹角为，
所以＝＝＝＝．
＝＝＝＝．
所以＝＝．
故答案为：．
16．求值：sin50°（1+tan10°）＝ 1 ．
解：原式＝sin50°•＝cs40°＝＝＝1
故答案为：1
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤，请将答案填入答题卡内.）
17．已知csα＝﹣，sinβ＝，α∈（，π），β∈（，π）．
（1）求sin2α的值．
（2）求cs（2α+β）的值．
解：（1）因为csα＝﹣，sinβ＝，α∈（，π），β∈（，π），
所以sinα＝＝，
所以sin2α＝2sinαcsα＝2×＝﹣．
（2）因为sinβ＝，β∈（，π），
所csβ＝﹣＝﹣，
可得cs2α＝2cs2α﹣1＝﹣，
所以cs（2α+β）＝cs2αcsβ﹣sin2αsinβ＝（﹣）×（﹣）﹣（﹣）×＝．
18．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用（x，y）表示一个基本事件．
（Ⅰ）请写出所有的基本事件；
（Ⅱ）求满足条件“为整数”的事件的概率；
（Ⅲ）求满足条件“x﹣y＜2”的事件的概率．
解：（Ⅰ）先后抛掷两次正四面体的基本事件：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个基本事件．
（Ⅱ）记“为整整数”的事件A，
则A包括（1，1）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，3）、（4，1）、（4，2）、（4，4），共8种情况，
∴P（A）＝＝． 故满足条件“为整数”的事件的概率为．
（Ⅲ）记“x﹣y＜2”为事件B，则B包括（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，3）、（4，4），共13种情况；
则P（B）＝． 故满足条件“x﹣y＜2”的事件的概率 ．
19．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在[185，195]（单位：cm）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）在样本中，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．
解：（Ⅰ）由题意，a＝0.1﹣0.04﹣0.025﹣0.02﹣0.005＝0.01，
身高在[185，195]的频率为0.1，人数为4；
（Ⅱ）估计该校全体男生的平均身高150×0.05+160×0.2+170×0.4+180×0.25+190×0.1＝171.5；
（Ⅲ）在样本中，身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生分别有2人，4人，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，有＝15种，这两人的身高都不低于185cm，有＝6种，所以所求概率为＝0.4．
20．已知函数f（x）＝sin2x﹣2cs2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的值．
解：（1）∵＝＝，
∴函数f（x）的最小正周期为，
令解得，
∴f（x）的单调递减区间为．
（2）由，得∴，
∴∴函数f（x）的最小值为—3．
此时，，即．
21．下表数据为某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）．
（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；
（2）若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？
参考公式：．
解：（I）计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，
＝×（70+65+55+38+22）＝50，
xiyi＝1×70+2×65+3×55+4×38+3×22＝627，
＝12+22+32+42+52＝55；
∴回归系数＝≈﹣12.3，
＝50﹣（﹣12.3）×3＝86.9；
∴y关于x的线性回归方程为＝﹣12.3x+86.9；
（Ⅱ）年利润z＝x（86.9﹣12.3x）﹣13.1x
＝﹣12.3x2+73.8x；
∴当x＝﹣＝3时，年利润Z最大．
22．已知函数f（x）＝2sinxcsx+2sin（x+）cs（x+）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣1＝m在[0，）上恰有一解，求实数m的取值范围．
解：（1）∵函数f（x）＝2sinxcsx+2sin（x+）cs（x+）
＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+cs2x＝2sin（2x+），
∴令2x+＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，
得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x﹣）的图象，
若关于x的方程g（x）﹣1＝m在[0，）上恰有一解，即2sin（2x﹣）＝1+m 在[0，）上恰有一解，
即sin（2x﹣）＝ 在[0，）上恰有一解．
在[0，）上，2x﹣∈[﹣，），
函数y＝sin（2x﹣），当2x﹣∈[﹣，]时，单调递增；当2x﹣∈[，]时，单调递减，
而sin（﹣）＝﹣，sin＝1，sin（）＝，
∴﹣≤≤，或m＝1，求得﹣﹣1≤m≤﹣1，或m＝1，
即实数m的取值范围[﹣﹣1，﹣1]∪{1}．
x
1
2
3
4
5
y
70
65
55
38
22
x
1
2
3
4
5
y
70
65
55
38
22