2021-2022学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了解答题共4小题，共40分等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．（0，1）C．（0，2）D．{0，1，2}
2．（4分）命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（ ）
A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0
C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤0
3．（4分）已知a＜b＜0，则（ ）
A．a2＜b2B．
C．2a＞2bD．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）
4．（4分）已知函数f（x）lg2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．（4分）4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．p1p2p3
B．1﹣p1p2p3
C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）
D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）
6．（4分）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A．y＝2﹣xB．y＝x2
C．yD．y＝lgx
7．（4分）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为CQ2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A．30B．60C．900D．1800
8．（4分）逻辑斯蒂函数f（x）二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称
B．函数f（x）的值域为（0，1）
C．不等式f（x）的解集是（0，+∞）
D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根
9．（4分）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ）
A．甲得分的极差大于乙得分的极差
B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数
D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差
10．（4分）已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为实数），f（﹣10）＝f（12）．若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）函数f（x）＝lg0.5（x﹣1）的定义域是 ．
12．（4分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx，则f（）的值是 ．
13．（4分）定义域为R，值域为（﹣∞，1）的一个减函数是 ．
14．（4分）已知函数f（x）＝|lg5x|，若f（x）＜f（2﹣x），则x的取值范围是 ．
15．（4分）已知函数f（x）（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：
①存在实数a，使得f（x）有最小值；
②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得f（x）的值域为R；
④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝f（﹣x0）．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（9分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣4a≤0}．
（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；
（Ⅱ）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
17．（10分）已知函数f（x）＝ax+b•a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．
条件①：a＞1，b＝1；
条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．
18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）
19．（11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足a，则称函数f（x）具有性质P（a）．
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；
①f（x）＝2x；
②f（x）＝lg2x，x∈（0，1）．
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（1），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的 条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值．
选做题：（本题满分0分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．
当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t表示时间（单位：h），在t＝0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：
（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 ；
①C（t）
②C（t）
③C（t）
④C（t）
（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 ；（填“合格”、“不合格”）
（Ⅲ）记血药浓度的峰值为Cmax，当CCmax时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是 ．
2021-2022学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．（0，1）C．（0，2）D．{0，1，2}
【分析】利用交集的定义直接求解．
【解答】解：集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（ ）
A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0
C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤0
【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，可得答案．
【解答】解：根据题意，命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”是全称命题，
其否定为：∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0．
故选：A．
【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3．（4分）已知a＜b＜0，则（ ）
A．a2＜b2B．
C．2a＞2bD．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）
【分析】根据不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出正确的选项．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴，ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4．（4分）已知函数f（x）lg2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】判断函数的单调性，求出f（2），f（3）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．
【解答】解：函数f（x）lg2x，是减函数，又f（2）lg220，
f（3）＝1﹣lg23＜0，
可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）lg2x，包含零点的区间是：（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
5．（4分）4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．p1p2p3
B．1﹣p1p2p3
C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）
D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）
【分析】根据对立事件和独立事件求概率的方法可求得答案．
【解答】解：∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，
∴三次交接棒不失误的概率分别为1﹣p1，1﹣p2，1﹣p3，
∴假设三次交接棒相互独立，
则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件和独立事件求概率的方法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（4分）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A．y＝2﹣xB．y＝x2
C．yD．y＝lgx
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域和单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2﹣x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，
对于B，y＝x2，是二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，不符合题意，
对于C，y，在R上为增函数，符合题意，
对于D，y＝lgx，是对数函数，定义域为（0，+∞），不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
7．（4分）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为CQ2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A．30B．60C．900D．1800
【分析】先求出f（Q）的解析式，然后根据基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意可得该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q），
则f（Q）60，当且仅当，即Q＝100时取等号，
此时f（Q）的最小值为60，
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．（4分）逻辑斯蒂函数f（x）二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称
B．函数f（x）的值域为（0，1）
C．不等式f（x）的解集是（0，+∞）
D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根
【分析】A选项，代入f（﹣x），计算f（x）+f（﹣x）＝1和f（0），可得对称性；
B选项，由e﹣x＞0和分式函数的值域可求出结果；
CD选项，判断函数f（x）的单调性即可判断正误．
【解答】解：对于A：f（x），f（﹣x），f（x）+f（﹣x）＝1，
所以函数f（x）的图象关于点（0，）对称，又f（0），所以函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称，故A正确；
对于B：f（x），易知e﹣x＞0，所以1+e﹣x＞1，则（0，1），即函数f（x）的值域为（0，1），故B正确；
对于C：由f（x）容易判断，函数f（x）在R上单调递增，且f（0），所以不等式f（x）的解集是（0，+∞），故C正确；
对于D：因为函数f（x）在R上单调递增，所以方程f（x）﹣a＝0不可能有两个不相等的实数根，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的基本性质（对称性、单调性、值域），属于基础题．
9．（4分）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ）
A．甲得分的极差大于乙得分的极差
B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数
D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差
【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解．
【解答】解：对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，
甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；
对于B，甲得分的75%分位数是22.5，
乙得分的75%分位数是16，故B正确；
对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；
对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（4分）已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为实数），f（﹣10）＝f（12）．若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
【分析】根据题意，由二次函数的性质可得f（x）的对称轴为x＝1，由此可得x1+x2＝2，又由（）（x1+x2）（2），由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x2+bx+c为二次函数，
若f（﹣10）＝f（12），则f（x）的对称轴为x＝1，
若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则有x1+x2＝2，
则（）（x1+x2）（2）（2+2）＝2，
当且仅当x1＝x2＝1时等号成立，即的最小值是2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）函数f（x）＝lg0.5（x﹣1）的定义域是 （1，+∞） ．
【分析】根据对数函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据对数函数成立的条件是解决本题的关键，是基础题．
12．（4分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx，则f（）的值是 1 ．
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝lnx，且f（x）是奇函数，
∴f（）＝﹣f（）＝﹣ln1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，是基础题．
13．（4分）定义域为R，值域为（﹣∞，1）的一个减函数是 y＝1﹣2x（答案不唯一） ．
【分析】根据题意，结合指数函数的性质以及函数图象的变换，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，
如y＝1﹣2x；
故答案为：y＝1﹣2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数解析式的求法，注意函数的定义域、值域和单调性．
14．（4分）已知函数f（x）＝|lg5x|，若f（x）＜f（2﹣x），则x的取值范围是 （1，2） ．
【分析】由函数f（x）的定义域可得0＜x＜2，再分x＝1，0＜x＜1，1＜x＜2三种情况讨论，结合对数的运算性质即可求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝|lg5x|的定义域为（0，+∞），
∴，∴0＜x＜2，
①当x＝1时，f（x）＝f（2﹣x），不符合题意，
②当0＜x＜1时，2﹣x＞1，
则f（x）＜f（2﹣x）等价于|lg5x|＜|lg5（2﹣x）|，
∴﹣lg5x＜lg5（2﹣x），
∴lg5（2﹣x）+lg5x＞0，即lg5[x（2﹣x）]＞0，
∴x（2﹣x）＞1，
∴x2﹣2x+1＜0，此方程无解，
③当1＜x＜2时，0＜2﹣x＜1，
则f（x）＜f（2﹣x）等价于|lg5x|＜|lg5（2﹣x）|，
∴lg5x＜﹣lg5（2﹣x），
∴lg5（2﹣x）+lg5x＜0，即lg5[x（2﹣x）]＜0，
∴x（2﹣x）＜1，
∴x2﹣2x+1＞0，即x≠1，
则1＜x＜2符合题意，
综上所述，x的取值范围是（1，2）．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质，属于中档题．
15．（4分）已知函数f（x）（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：
①存在实数a，使得f（x）有最小值；
②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得f（x）的值域为R；
④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝f（﹣x0）．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】举例说明①正确；由f（x）是R上的减函数列式求解a的范围判断②；由f（x）的值域为R列关于a的不等式组，求解a的范围判断③；画出图形，数形结合判断④．
【解答】解：对于①，当a＝3时，函数f（x），函数有最小值﹣1，故①正确；
对于②，若f（x）是R上的减函数，则，解得a∈∅，
∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数，故②正确；
对于③，若f（x）的值域为R，需，得a∈∅，故③错误；
对于④，若a＞3，函数f（x）的图象如图所示：
直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝ax﹣1一定有交点，即存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝f（﹣x0），故④正确．
∴正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（9分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣4a≤0}．
（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；
（Ⅱ）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出集合A，B，利用交集的定义求出A∩B；
（Ⅱ）由集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}，A∪B＝R，得到4a≥3，由此求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}．
当a＝1时，B＝{x|x≤4}，
∴A∩B＝{x|x＜﹣1或3＜x≤4}；
（Ⅱ）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}，A∪B＝R，
∴4a≥3，解得a，
∴实数a的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．（10分）已知函数f（x）＝ax+b•a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．
条件①：a＞1，b＝1；
条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．
【分析】（Ⅰ）定义域为R，代入f（﹣x）化简可得出与f（x）的关系，从而判断奇偶性；
（Ⅱ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差判断f（x1）﹣f（x2）的正负，可得出单调性；
（Ⅲ）根据奇偶性和单调性可得到|m|﹣3与2的不等关系，求解可得m的取值范围．
【解答】解：选择条件①：
（Ⅰ）a＞1，b＝1，
函数f（x）是偶函数，理由如下：
f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，
∵f（﹣x）＝a﹣x+ax＝f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1+x2＞0，
∵a＞1，∴，，
∴f（x1）﹣f（x2）（）
＝（）（1）
＝（）•0，
∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（Ⅲ）实数m的取值范围是[﹣5，﹣1]∪[1，5]．
选择条件②：0＜a＜1，b＝﹣1，
（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：
f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，
∴f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∵0＜a＜1，∴0，
∴f（x1）﹣f（x2）（）
＝（）（1）
＝（）•0，
∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．
（Ⅲ）实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与求法，考查函数的奇偶、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）根据题意列出方程组，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件C所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案．
（Ⅲ）根据样本中甲、乙产品中一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，
解得a＝18，b＝4．
（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，A3，A4，乙生产线的2件二等品为B1，B2，
从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4）（A1，B1），（A2，B1），
（A3，B1），（A4，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），（A4，B2），（B1，B2），
记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果只有一个，是（B1，B2），
∴至少有1件为甲生产线产品的概率为P＝1﹣P（）＝1．
（Ⅲ）p1＜p2．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足a，则称函数f（x）具有性质P（a）．
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；
①f（x）＝2x；
②f（x）＝lg2x，x∈（0，1）．
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（1），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的 必要而不充分条件 条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值．
【分析】（Ⅰ）①根据2x＞0举例说明当x1＞0时，不存在0，从而函数f（x）＝2x不具有性质P（0）；
②取∈（0，1），得到0，从而f（x）＝lg2x，x∈（0，1）具有性质P（0）；
（Ⅱ）分f（x）存在零点，证明2∉[0，1]，2∈D，f（x）具有性质P（1）时，f（x2）＝0，由此推导出“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件；
（Ⅲ）令函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域A＝[2a﹣2，2a]．若函数f（x）有性质P（a），则对∀x1∈[0，2]，∃x2∈[0，2]，使得f（x2）＝2a﹣x1成立，所以F＝A，分情况讨论t的取值范围，能求出实数t的值．
【解答】解：（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．理由如下：
对于a＝0，x1＝1，∵，x2∈R，
∴不存在x2∈R满足0，
∴函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．
②函数f（x）＝lg2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．理由如下：
对于∀x1∈（0，1），取x2，则x2∈（0，1），
∵0，
∴函数f（x）＝lg2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．
（Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件．理由如下：
（i）若f（x）存在零点，令f（x）＝3x﹣1，x∈[0，1]，则f（）＝0，
∵∀x1∈[0，1]，取x2＝1，则x2∈[]，且1，
∴f（x）具有性质P（1），但2∉[0，1]．
（ii）若2∈D，∵f（x）具有性质P（1），
取x1＝2，则存在x2∈D，使得1，
∴f（x2）＝0，∴f（x）存在零点x2，
综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件，
故答案为：必要而不充分条件．
（Ⅲ）记函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域为A＝[2a﹣2，2a]，
∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）＝2a﹣x1成立，∴F＝A．
（i）当t＝0时，f（x）＝x+4，x∈[0，2]，其值域F＝[4，6]，
由F＝A，得a＝3．
（ii）当t，且t≠0时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数，
∴其值域F＝[4，4t+6]，
由F＝A，得t＝0，舍去．
（iii）当时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（）＝4，最小值为4，
∴f（x）的值域为F＝[4，4]．
由F＝A，得t，舍去．
当t时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（）＝4，最小值为f（2）＝4t+6，
∴f（x）的值域为F＝[4t+6，4]，
由F＝A，得t（舍去t）．
【点评】本题考查函数性质的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件、实数值的求法，考查函数性质、最值、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
选做题：（本题满分0分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．
当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t表示时间（单位：h），在t＝0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：
（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 ④ ；
①C（t）
②C（t）
③C（t）
④C（t）
（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 合格 ；（填“合格”、“不合格”）
（Ⅲ）记血药浓度的峰值为Cmax，当CCmax时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是 ．
【分析】（Ⅰ）先分析函数C（t） 同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证；
（Ⅱ）作差比较进行判断；
（Ⅲ）令C（t）≥0．ln2.5，分段解不等式，再取并集即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得函数C（t）同时满足以下条件：
A．函数C（t）在[0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减；
B．当t＝1.5时，函数C（t）取得最大值；函数C（t）的最小值非负；
C．函数C（t）是一个连续变化的函数，不会发生骤变．
选择①：，
因为C（3）＝0.75﹣0.3×3＝﹣0.15不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：C（t）
当0≤t＜15时，，
当t＝1时，函数C（t）取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C，
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当t≥1.5时，C（t）＞0，
所以C（t）同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④．
（Ⅱ）由 （Ⅰ）得：函数④：，
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1μgml，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
（Ⅲ）当0≤t＜1.5时，令0.2ln（t+1）≥0．ln2.5，
所以ln（t+1）2≥ln2.5，
即，
即2t2+4t﹣3≥0，
解得或，
即
当t≥1.5时，令，
则，
解得t≤3，
即1.5≤t≤3；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为．
【点评】本题考查了函数模型在实际中的应用，属于中档题．
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二等品
甲生产线
76
b
乙生产线
a
2
一等品
二等品
甲生产线
76
b
乙生产线
a
2