北京市海淀区2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案
展开高一第一学期期末参考样题
数学 2022.01
学校 姓名 准考证号
考 生 须 知 | 1．本参考样题共8页，共2部分，19道题+1道选做题，满分100分。考试时间90分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 |
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） | （B） | （C） | （D） |
（2）命题“，都有”的否定为
（A），使得 |
（B），使得 |
（C），都有 |
（D），使得 |
（3）已知，则
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（4）已知函数. 在下列区间中，包含零点的区间是
（A） | （B） | （C） | （D） |
（5）米接力赛是田径运动中的集体项目. 一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递. 甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合. 已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（6）下列函数中，在上为增函数的是
（A） | （B） | （C） | （D） |
（7）已知某产品的总成本（单位：元）与年产量（单位：件）之间的关系为. 设该产品年产量为时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（8）逻辑斯蒂函数二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类. 下列关于函数的说法错误的是
（A）函数的图象关于点对称 |
（B）函数的值域为 |
（C）不等式的解集是 |
（D）存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根 |
（9）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是
0 | 5 |
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|
1 | 4 | 5 | 7 | 7 | 6 | 6 |
2 | 9 |
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甲 乙
（A）甲得分的极差大于乙得分的极差 |
（B）甲得分的分位数大于乙得分的分位数 |
（C）甲得分的平均数小于乙得分的平均数 |
（D）甲得分的标准差小于乙得分的标准差 |
（10）已知函数（为实数），. 若方程有两个正实数根，则的最小值是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）函数的定义域是_______.
（12）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则的值是_______.
（13）定义域为，值域为的一个减函数是_______.
（14）已知函数. 若，则的取值范围是_______.
（15）已知函数（且）. 给出下列四个结论：
①存在实数，使得有最小值；
②对任意实数（且），都不是上的减函数；
③存在实数，使得的值域为；
④若，则存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题9分）
已知集合，.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
（17）（本小题10分）
已知函数（且），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若不大于，直接写出实数的取值范围.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题10分）
某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为. 现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.
| 一等品 | 二等品 |
甲生产线 | 76 | |
乙生产线 | 2 |
（Ⅰ）写出，的值；
（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小.（只需写出结论）
（19）（本小题11分）
已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质，说明理由；
①； ②，.
（Ⅱ）若函数的定义域为，且具有性质，则“存在零点”是“”的_______条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（Ⅲ）若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求实数的值.
选做题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用.
当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，是的函数.已知青蒿素一般会在小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是_______；
（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于，则称青蒿素药片是合格的.基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片_______；（填“合格”、“不合格”）
（Ⅲ）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是_______.
高一第一学期期末样题
数学参考答案 2022.01
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 | （1） | （2） | （3） | （4） | （5） | （6） | （7） | （8） | （9） | （10） |
答案 | A | A | D | C | C | C | B | D | B | B |
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
题号 | （11） | （12） | （13） | （14） | （15） |
答案 | ，（答案不唯一） | ①②④ |
注：第15题少选项得2分，错选或未作答均为0分。
三、解答题（共4小题，共40分）
（16）（共9分）
解：由得或.
所以 . …………2分
（Ⅰ）当时，. …………3分
所以 . …………5分
（Ⅱ）由题意知. …………6分
因为 ，
所以 . …………8分
所以 .
所以 实数的取值范围是. …………9分
（17）（共10分）
解：选择条件①：.
（Ⅰ）函数是偶函数，理由如下： …………1分
的定义域为，对任意，则. …………2分
因为 ， …………3分
所以 函数是偶函数.
（Ⅱ）在上是增函数. …………4分
任取，且，则. …………5分
因为 ，
所以 ，.
所以
，即. …………7分
所以 在上是增函数.
（Ⅲ）实数的取值范围是. …………10分
选择条件②：.
（Ⅰ）函数是奇函数，理由如下： …………1分
的定义域为，对任意，则. …………2分
因为 ， …………3分
所以 函数是奇函数.
（Ⅱ）在上是减函数. …………4分
任取，且. …………5分
因为 ，
所以 .
所以
，即. …………7分
所以 在上是减函数.
（Ⅲ）实数的取值范围是. …………10分
（18）（共10分）
解：（Ⅰ），. …………2分
（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品产品为;乙生产线的2件二等品产品为.
从样本中6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：
，，，，，，，，，，，，，，.
…………6分
用表示：“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是. …………7分
所以 . …………8分
（Ⅲ）. …………10分
（19）（共11分）
解：（Ⅰ）函数不具有性质.理由如下：
对于，，因为 ，，所以 不存在满足.
所以 函数不具有性质. …………1分
函数，具有性质.理由如下：
对于，取，则.
因为 ，
所以 函数，具有性质. …………2分
（Ⅱ）必要而不充分 理由如下： …………3分
①若存在零点，令，，则.
因为 ，取，则，且.
所以 具有性质，但. …………4分
②若，因为 具有性质，
取，则存在使得.
所以 ，即存在零点. …………5分
综上可知，“存在零点”是“”的必要而不充分条件.
（Ⅲ）记函数，的值域为，函数，的值域.
因为 存在唯一的实数，使得函数，有性质，即存在唯一的实数，对，，使得成立，
所以 . …………7分
① 当时，，，其值域.
由得. …………8分
②当，且时，，是增函数，所以 其值域.
由得，舍去. …………9分
③当时，，的最大值为，最小值为4，
所以 的值域.
由得，舍去.
当时，，的最大值为，最小值为，
所以 的值域.
由得（舍去）. …………11分
综上所述，或.
选做题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
解：（Ⅰ）； …………1分
（Ⅱ）合格； …………2分
（Ⅲ）. …………5分
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