赤峰二中2024届高三上学期第二次月考数学（理）试卷(含答案)

赤峰二中2024届高三上学期第二次月考数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、已知集合,,则( )A. B. C D.2、“”是“复数为纯虚数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.4、已知为等差数列,为其前n项和,,,则( )A.36 B.45 C.54 D.635、已知平面向量,的夹角为,,,若,则( )A. B. C. D.6、某知识问答竞赛需要三人组队参加,比赛分为初赛,复赛,决赛三个阶段,每个阶段比赛中,如果一支队伍中至少有一人通过,则这支队伍通过此阶段.已知甲,乙,丙三人组队参加,若甲通过每个阶段比赛概率均为,乙通过每个阶段比赛的概率均为,丙通过每个阶段比赛的概率均为,且三人每次通过与否互不影响,则这支队伍进入决赛的概率为( )A. B. C. D.7、若P为所在平面内一点,且,则的形状为( )A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8、已知函数,将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标变为原来的2倍,然后向上平移1个单位长度得到函数的图象,则( )A. B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称 D.在上的值域为9、已知函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于( )A.1 B. C. D.10、在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,,的面积为,则的周长是( )A.4 B.6 C.8 D.1811、已知长方形ABCD的边长,,P,Q分别是线段BC,CD上的动点,,则的最小值为( )A. B. C. D.12、设函数(其中e为自然对数的底数),若存在实数a使得恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题13、已知,,则__________.14、函数是定义在R上的奇函数,且图象关于对称,在区间上,,则__________.15、已知双曲线的左,右焦点分别为,,离心率为,P为双曲线右支上一点,且满足,则的周长为______.16、已知函数,若存在互不相同,,,使得,则的取值范围是______.三、解答题17、5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看,业界一般将其定义为继蒸汽机革命､电气革命和计算机革命后第四次工业革命,某科技集团生产,两种5G通信基站核心部件,下表统计了该科技集团近几年来在部件上的研发投入(亿元)与收益(亿元)的数据,结果如下:（1）利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系(当时,可以认为两个变量有很强的线性相关性):（2）求出y关于x的经验回归方程,若要使生产A部件的收益不低于15亿元,估计至少需要投入多少研发资金?(精确到0.001亿元)附:样本相关系数,回归直线方程的斜率,截距.18、如图,在三棱锥中,平面ABC,,,M是VB的中点,N为BC上的动点.（1）证明:平面平面VBC;（2）平面AMN时,求平面AMN与平面ABC夹角的余弦值.19、在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.（1）求A的大小;（2）若,,D为BC的中点,求AD.20、已知椭圆的左,右焦点为,,离心率为.点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点,射线,分别与椭圆C交于点A,B,的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程;（2）若,,求证:为定值.21、已知函数,.（1）若为R上的增函数,求的取值范围;（2）若在内恒成立,,求的最大值.22、如图,在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,极轴所在的直线为x轴建立极坐标系,曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为的圆,曲线是著名的笛卡尔心形曲线,它的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程,并求曲线和曲线的交点(异于极点)的极径;（2）若曲线的参数方程为(t为参数),且曲线和曲线相交于除极点以外的M,N两点,求线段MN的长度.23、已知函数.（1）求不等式的解集;（2）设函数的最大值为M,若a,b,c均为正数,且,求的最小值.参考答案1、答案：B解析:由得,因为在内增函数,所以有,解得,即.因此,.故选:B.2、答案：A解析:,为纯虚数的充要条件为,因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件.故选:A.3、答案：D解析:一方面因为函数在R上单调递增,所以,另一方面又因为函数在上单调递减,所以,结合以上两方面有所以.故选:D.4、答案：B解析:设等差数列的公差为d,,则,故,即,解得,,故选:B.5、答案：A解析:由题意可得,由可得,即,即,解得,所以.故选:A.6、答案：B解析:7、答案：C解析:,,根据向量加法及减法的平行四边形法则可知,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等即ABCD为矩形,则的形状为直角三角形故选:C.8、答案：D解析:函数,将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标变为原来的2倍可得函数,再向上平移1个单位可得,A中,由解析可知A不正确;B中,,可知,所以先增后减,即在上单调递增不正确;所以B不正确;C中,因为,所以不关于对称,所以C不正确;D中,,则,所以,所以,所以D正确.故选:D.9、答案：C解析:由,得,,又,曲线在点处的切线方程为,即,取,得,取,得.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.故选:C.10、答案：B解析:因为,由正弦定理可得:,则,解得,因为,所以,因为三角形ABC的面积为,则,解得,在三角形ABC中由余弦定理可得:,即,所以,所以,则三角形ABC的周长为故选:B.11、答案：D解析:以A为坐标原点,AB,AD分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设,则,由,知,所以,由,知,所以,所以当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为.故选:D.12、答案：A解析:由题意知,当时,,则不恒成立;当时,若存在实数a使得恒成立,即恒成立,即恒成立,令则当时,,当时,,所以,所以,所以,故选A.13、答案：解析:因为,所以,且,且,又,所以,因为,所以.故答案为:.14、答案：或0.25解析:根据题意,函数是定义在R上的奇函数,且图象关于对称,则有,变形有,故由,又因为,即,则,所以,故答案为:.15、答案：或解析:16、答案：解析:17、答案：（1）可以用线性回归模型拟合y与x的关系,且认为两个变量有很强的线性相关性（2）6.684解析:（1）,,,,所以,所以,所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系,且认为两个变量有很强的线性相关性;（2）,所以,所以y关于x的经验回归方程为,由得,若要使生产A部件的收益不低于15亿元,估计至少需要投入6.684亿元.18、答案：（1）证明见解析（2）.解析:（1）证明:因为平面ABC,平面VAB,所以平面平面ABC,又,平面平面,平面ABC,所以平面VAB,因为平面VAB,所以,因为,M是VB的中点,所以,又,VB,平面VBC,所以平面VBC,因为平面AMN,所以平面平面VBC.（2）以A为坐标原点,AB,AV所在直线分别为y,z轴,过点A作与BC平行的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为平面AMN,平面VBC,平面平面,所以.又M是VB的中点,所以N是BC的中点,则,,,,,,所以,,,则ABC的一个法向量为.设平面AMN的法向量为,则,即,令,得,,所以平面AMN的一个法向量为.设平面AMN与平面ABC的夹角为,所以故平面AMN与平面ABC夹角的余弦值为.19、答案：（1）（2）解析:（1）由结合正弦定理得,,所以,所以,因为,所以,因为B为三角形内角,所以,所以,因为,所以;（2）在中,因为,所以所以解得或,当时,,则C为钝角,不符合题意,则,,所以,故.20、答案：（1）（2）证明见解析解析:（1）因为,所以,,由离心率为,得,所以,所以椭圆C的标准方程为.（2）设,,,则,可设直线PA的方程为,其中,联立,化简,得,则,同理可得,.因为,.所以,所以是定值.21、答案：（1）（2）.解析:（1）,.,为R上的增函数,,在R上恒成立,.令,,,令,解得,可得函数在上单调递减,在上单调递增,时,函数取得极小值即最小值,,,的取值范围是.（2）在内恒成立,,在内恒成立,化为,,令,,,,,当时,,函数在R上单调递增,时,时,不符合题意,舍去;当时,令,解得,函数在上单调递减,在上单调递增,时,函数取得极小值即最小值,,令,则,,令,解得.可得时,函数取得极大值即最大值,,的最大值为.22、答案：（1）,,两曲线交点的极径长为.（2）解析:（1）在平面直角坐标系xOy中,由题意可知,曲线是以点为圆心,半径为1的圆,曲线的直角坐标方程为,即,将,代入并化简得的极坐标方程为,,由消去,并整理得,即,解得(舍)或,所以所求异于极点的交点的极径为.（2）因为曲线的参数方程为(为参数),所以,曲线是过原点,且倾斜角为的直线,所以,曲线的极坐标方程为和,由得,由得,则曲线与曲线两交点的极坐标为,,所以(O为极点).23、答案：（1）（2）12解析:（1）当时,,,;当时,,,;当时,,,.由题意,当时,,无解;当时,令,,解得,.当时,,满足.综上,的解为,,当且仅当,即,时取特量.的最小值为12.研发投入x(亿元)12345收益y(亿元)3791011