浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2021-2022学年高三上学期数学第一次联考试卷

 高三上学期数学第一次联考试卷

一、单选题

1.已知 是虚数单位，则复数 的虚部是（    ）           

A.
B.
C.
D.

2.已知集合 ， ，则 （    ）           

A.
B.
C.
D.

3.已知非零向量 ， ，则“ ”是“ 与 共线”的（    ）           

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

4.设实数 ， 满足 ，则目标函数 的最小值是（    ）           

A.-2
B.-6
C.
D.-5

5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） 

A.2
B.4
C.6
D.12

6.已知单位向量 ， ，满足 ，且 ， 的夹角为 ，则 的值为（    ）           

A.
B.
C.
D.

7.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（    ） 

A.
B.
C.
D.

8.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵 中， ，且 ．下列说法正确的是（    ） 

A.四棱锥 为“阳马”
B.四面体 为“鳖臑”
C.四棱锥 体积的最大值为
D.过 点分别作 于点 ， 于点 ，则

9.已知点 在曲线 （ ）上，设 ，则 的最大值（    ）           

A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，但与b有关
D.与a无关，且与b无关

10.已知数列 满足 ， ，则下列选项正确的是（    ）           

A.
B.
C.
D.

二、填空题

11.鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如下图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 的长度为 ，则线段 的长为        ， 该鲁洛克斯三角形的面积为       ．  

12.已知 ，则       ；若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为       ．   

13.设 ，则         ，         ．   

14.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则         ， 若 的外接圆的周长为 ，则 面积的最大值为       ．   

15.甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于 次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为 ，设 为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是 ，则        ．   

16.已知点 在椭圆 ： （ ）上，左顶点为 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 的最大值和最小值分别为4和 ．直线 点 ，且与 平行，过 ， 两点作 的垂线，垂足分别为 ， ，当矩形 的面积为 时，则直线 的斜率是       ．   

17.已知平面非零向量 、 ， 、 满足 ， ，若 ， ，则 的最小值为       ．   

三、解答题

18.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ．   

（1）求角 的大小；   

（2）已知 ， ，设 为 边上一点，且 为角 的平分线，求 的面积．   

19.如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点 

（1）证明:  平面

（2）若点 为 的中点，求 与平面 所成的角的正弦值.   

20.已知公比 的等比数列 和等差数列 满足： ， ，其中 ，且 是 和 的等比中项．   

（1）求数列 与 的通项公式；   

（2）记数列 的前 项和为 ，若当 时，等式 恒成立，求实数 的取值范围．   

21.已知 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点，点 在抛物线上，其中 ，弦 的中点为 ，以 为端点的射线 与抛物线交于点 ． 

（1）若 恰好是 的重心，求 ；   

（2）若 ，求 的取值范围．   

22.已知函数 ．   

（1）求函数 在 处的切线方程；   

（2）若方程 有两个不同实根 、 证明： ．   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

【解析】【解答】 ，因此，复数 的虚部为 .

故答案为：B.

 
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出答案。

2.【答案】 C  

【解析】【解答】解 得： ，于是得 ，

解 得： ，于是得 ，

所以 .

故答案为：C

 
【分析】首先由一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性求解出不等式的解集，由此得出结合A与B，然后由交集的定义即可得出答案。

3.【答案】 C  

【解析】【解答】因 ， 是非零向量，若 ，则有 ，即 或 ，即 与 共线，

若 与 共线，则 或 ，即得 ，于是有 ，

所以“ ”是“ 与 共线”的充分必要条件.

故答案为：C

 
【分析】根据题意由已知条件结合数量积的运算公式整理即可得出与 共线，反过来由 与 共线，则 或 ，即得 ，于是有 ，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

4.【答案】 D  

【解析】【解答】不等式表示的可行域如图所，由 得 ，作出直线 向上平移过点 时， 取得最小值，

由 ，解得 ，即 ，

所以 的最小值为 ，

故答案为：D

 
【分析】 根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点C时，z取得最小值并由直线的方程求出点C的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。

 

5.【答案】 A  

【解析】【解答】根据三视图还原原几何体的直观图如下图所示：

可知该几何体为三棱锥 ， 为直角三角形，且两条直角边长分别为 ， ， ，

三棱锥 的高为 ，故 .

故答案为：A.

 
【分析】根据题意由三视图即可得出该几何体为三棱锥 ，结合三棱锥的体积公式代入数值计算出结果即可。

6.【答案】 D  

【解析】【解答】因 ， 是单位向量，且 ，于是得 ，解得 ，

则 ，由 ，得 ，又 ，即 ，

所以 .

故答案为：D

 
【分析】由已知条件结合数量积的运算性质代入数值计算出， 然后由夹角的取值范围即可得出夹角的大小，再由二倍角的余弦公式计算出结果即可。

7.【答案】 C  

【解析】【解答】对于A：当 时 ，且 为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，A不正确；

对于B：当 时， ，不符合题意，B不正确；

对于D：当 时，由 可得 ，

当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增，不符合图象特点，D不正确；

故答案为：C.

 
【分析】 根据题意，用排除法分析排除A、B、D，综合可得答案.

8.【答案】 D  

【解析】【解答】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.

所以在堑堵 中， ，侧棱 平面 ,

在A中，因为 ， ，显然 与 不垂直，

且 为矩形，所以四棱锥 不为“阳马”，A不符合题意；

在B中，由 ， 且 ，

所以 平面 ，所以 ，则 为直角三角形，

为直角三角形，

由 平面 ，得 为直角三角形，

不为直角三角形，所以 不是“鳖臑”，，B不符合题意;

在C中，在底面有 ，即 ，

当且仅当 时取等号，

则 ，所以C不符合题意；

在D中，由 平面 ，则 且 ，

则 平面 ，所以

又 且 ，则 平面 ，则 ，所以D符合题意.

故答案为：D.

 
【分析】 利用“阳马”定义直接判断出选项A错误；利用“鳖腰”定义即可判断出选项B错误；当时，四棱锥由此判断出选项C错误；由已知条件推导出平面 ， 从而再由线面垂直的性质定理即可得出， 由此得出选项D正确，从而得出答案。

9.【答案】 B  

【解析】【解答】 表示的是椭圆 的部分，而 是椭圆的下焦点，

设 为椭圆的上焦点， 为直线 与 轴的夹角，则 ，

，

当且仅当 轴时取等号，则只与 有关，与 无关，

故答案为：B.

 
【分析】 由题意画出图形，可知B为椭圆左焦点，设右焦点为C，连接AC，再设AC的倾斜角为0，
由正弦函数的有界性及椭圆定义即可得答案.

10.【答案】 B  

【解析】【解答】由 ， 可得出 ， ， ，

以此类推可知，对任意的 ， ，所以， ，即 ，

所以，数列 为单调递增数列，故 ，A不符合题意；

在等式 的两边同时除以 可得 ，其中 且 ，

所以， ， ，…， ，

累加得 ，所以， ，则 ，故 .

D不符合题意；

对于 ，

所以， ， ，…， ，

累加得 ，可得 ，则 ，

所以， ，故 ， .

故答案为：B.

 
【分析】由已知条件结合数列的递推公式整理即可得出数列的单调性由此即可判断出选项A错误；整理已知的数列的递推公式由累加法即可得出以及， 从而判断出选项B正确，C、D错误，由此得出答案。

二、填空题

11.【答案】 3；

【解析】【解答】因 是正三角形，以点C为圆心的弧AB所对圆心角为 ，则有 ，解得 ，所以 ；

弧AB与弦AB所对弓形面积为 ，

所以鲁洛克斯三角形的面积为 .

故答案为：3；

 
【分析】根据题意由圆弧的简单性质整理即可得出， 由此求解出AC和AB的值，然后由弓形和鲁洛克斯三角形的面积代入数值计算出结果即可。

12.【答案】 18；

【解析】【解答】因为 ，所以 ，

所以 ，

若函数 在 上单调递增，

则 解得： ，

所以 的取值范围为 ，

故答案为：18； .

 
【分析】根据题意选择合适的函数解析式，代入数值计算出函数的值；然后由一次函数和指数函数的单调性求出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。

13.【答案】 -4；31  

【解析】【解答】因为 ，所以 ，

对所给等式，两边对x求导，可得： ，令x=1，得 ，所以 .

故答案为：-4，31.

 
【分析】首先由二项式定理的性质整理得出， 再由导数的运算性质利用特殊值法代入计算出结果即可。

14.【答案】 ；

【解析】【解答】因为 ，整理可得 ，

由余弦定理可得 ， ，故 .

设 的外接圆半径为 ，则 ，故 ，故 ，

由基本不等式可得 ，所以， ，

当且仅当 时，等号成立，所以， ，

故 面积的最大值为 .

故答案为： ； .

 
【分析】首先由余弦定理整理求出角A的大小，然后由圆的基本性质整理得出a的取值，结合基本不等式以及三角形的面积公式代入数值计算出最大值即可。

15.【答案】 16  

【解析】【解答】每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，

每局游戏胜利包括三种情况：

甲投中2次，乙投中2次，概率为 ，

甲投中2次，乙投中1次，概率为 ，

甲投中1次，乙投中2次，概率为 ，

所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为 ，

若游戏的局数是27， 为甲乙两名队员获得胜利的局数，则 ，

所以 ，

故答案为：16.

 
【分析】 根据已知条件，先结合相互独立事件的概率公式，求出每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率，再由二项分布的期望公式代入数值计算出结果即可。.

16.【答案】

【解析】【解答】解：因为 ，又 ，所以 ，

解得 ，所以椭圆的方程为 ，则 ，

设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，

联立 得 ，所以 ，而点A到直线 的距离为 ，

所以矩形 的面积为 ，解得 ，

所以直线 的方程为 ，所以直线 的斜率为 ，

故答案为： .

 
【分析】 利用向量的关系得到从而求出由此即可得到a和B的值，进而求出椭圆的标准方程，然后由点斜式设出直线的方程结合点到直线的距离公式以及两点间距离公式表示出矩形的面积，从而求出n的值，利用点P在椭圆上，求出m的值，从而得到答案.

17.【答案】 0  

【解析】【解答】设 ， ， ，则 ， ，

设点 、 ，则 ，

设 ，则 ，则 ， ，

由 可得 ，化简可得 ，

故点 、 在抛物线 上，

因为 ，则 ，故 、 、 三点共线，

即 为抛物线 的一条过焦点 的弦，

设 ，则 ， ，所以， ，

故点 的轨迹是以 为直径的圆，

设点 、 ，则 ，

而 是线段 的中点 到抛物线 准线的距离，

故以 为直径的圆 与抛物线 准线相切，

当点 不是圆 与直线 的切点时， ；

当点 是圆 与直线 的切点时， .

综上所述， 的最小值为0.

故答案为：0.

 
【分析】首先由向量的坐标公式计算出向量的坐标，结合已知条件做出函数的图象，利用点在抛物线上代入整理由此得出 、 、 三点共线，由数量积的坐标公式整理得出点 的轨迹是以 为直径的圆，结合圆的结合性质以及抛物线的定义即可得出以 为直径的圆 与抛物线 准线相切，由此分情况推进即可得出最小值。

三、解答题

18.【答案】 （1）由正弦定理得 ． 

因为 ，则 ，所以 ，所以 ．

因为 ，所以 ；

（2）在 中，由余弦定理得 ，即 ， 

，解得 ，

由角平分线性质可得 ，所以 ．

过点 作 垂直 于 点，

则 ， ．

所以 ．

【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简然后由同角三角函数的基本关系式，计算出tanA的值从而求出角A的大小。
(2)根据题意结合余弦定理计算出关于c的方程求解出c的值，再由平分线的性质结合三角形的几何意义，利用三角形的面积公式代入数值计算出答案。

19.【答案】 （1）连接 ，∵ ， 为 中点，∴ ； 

，又 ，则 ，∴ ，

所以 ，而 ，则 ，所以 .

又 ，所以 平面 .

 
（2）由（1） 平面 ，可得 ，又 是 中点，∴ ，而 ，∴ ，又 ，所以 平面 ， 

所以 就是 与平面 所成的角.

在直角三角形 中， ，所以 .

故 与平面 所成的角的正弦值为 ．

【解析】【分析】(1)首先由已知条件作出辅助线结合中的的性质得出线线垂直，然后由勾股定理计算出线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由(1)的结论结合线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，利用线面角的定义即可得出 就是 与平面 所成的角 ，和由三角形的计算关系代入数值计算出结果即可。

20.【答案】 （1）设等差数列 的公差为 ， 

因为 ， ， ，且 是 和 的等比中项，

所以 ，整理可得 ，解得 或 .

若 ，则 ，可得 ，不合乎题意；

若 ，则 ，可得 ，合乎题意.

所以 ， ；

（2）因为 ，① 

，②

② ①得 ．

因为 ，即 对 恒成立，

所以 ．

当 且 ， ，故数列 为单调递增数列，

当 为偶数时， ，所以 ；

当 为奇数时， ，所以 ，即 .

综上可得 ．

【解析】【分析】 (1)根据题意设等差数列[的公差为d，由已知列式求得d并求出等比数列的公比，即可得到数列与的通项公式；
(2)利用错位相减法求数列的前n项和为Tn，再由恒成立，利用分离参数法求解实数入的取值范围.

21.【答案】 （1）依题意，抛物线 ： 的焦点 ，设 ， 

由 是 的重心，于是得 ， ，又 ，且 ，从而得 ，而 ，

所以 ；

（2）因 为弦 的中点，即 ，且 ， 

因此， ，

因 、 、 三点共线，则有 ，

显然直线 斜率不为0，则设直线 ： ，

由 消去 得 ，而 ，

解得 ，其中 ，

则 ，

因为 ，从而得 对 递减，

所以 .

【解析】【分析】 (1)根据题意设点， 由三角形的重心坐标，结合A的坐标满足抛物线的方程，可得所求值；
(2)求得M的坐标，由三角形的面积公式求得设直线MF的方程，与抛物线的方程联立，解得B的纵坐标，由此可得
关于y0的函数式，由函数的单调性可得所求范围即可.

22.【答案】 （1）因为 ，故 ， 

所以， ， ，

因此，函数 在 处的切线方程为 ；

（2）由（1）得 ， 

设 ，则 在 上恒成立，

所以， 在 上单调递增，

又 ， ，所以 有唯一实根 ．

当 时， ， 递减；

当 时， ， 递增，

故方程 两根分别在 与 内，不妨设 、 且 ，

设 ， ，则 ，

且 ， ，

当 时， ，所以函数 在 上递增，

当 时， ， 递减；当 时， ， 递增，

所以， 有最小值 ，即 恒成立， ， ．

，则 ，又因为 ，

所以，函数 在 处的切线方程为 ，

构造函数 ，则 ，

当 时， ， 递减；当 时， ， 递增.

所以， ，所以 恒成立，

，即 ，

于是 ．

【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导再把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程即可。
(2)由(1)的导函数的解析式，利用导函数的正负情况即可得出函数的单调性，构造函数， 利用导函数研究出函数的单调性结合函数的单调性即可求出函数的最值，同理构造函数由此即可得出满足题意的中的从而得证出结论。