2023年北师大附高一上期末考试数学试卷（word版含答案）

这是一份2023年北师大附高一上期末考试数学试卷（word版含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D. 120
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则函数的减区间是（ ）
A B. C. D.
8. 已知实数，且，则最小值是（ ）
A. 21B. 25C. 29D. 33
二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A. ，B. 存在，使得
C. 至少有一个无理数，使得是有理数D. 有的有理数没有倒数
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为第一象限角
B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
C. 终边经过点的角的集合是
D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为
11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递增
C. 的值域为RD. 当时，有最大值
12. 如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设为x，射线扫过的阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 在上为减函数B.
C. D. 图象的对称轴是
三、填空题（本大题共4小题，共20）
13 求值：__________．
14. 已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．
15. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是______．
16. 已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）计算；
（2）计算．
18 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19. 已知是第四象限角．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
20. 已知函数．
（1）证明函数为奇函数；
（2）解关于t的不等式：．
21. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）
22. 已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，求在区间上的最大值；
（3）是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2022-2023学年北师大高一上数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.
【详解】由解得，所以，
由解得，所以，
所以，
故选:B.
2. 已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.
【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
故选：B
3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得，从而得到，结合诱导公式求出答案.
【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，
所以， 所以，
其中，，
即点的坐标为：．
故选：D．
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.
【详解】不等式，
∴，即．
∴或，
解得：或，
∴解集是．
故选：B．
5. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.
【详解】因为直径16步，故半径为步，
（平方步），
设扇形的圆心角为，则，
即．
故选：A
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.
【详解】因为，，，
所以．
故选：A
7. 已知函数，则函数的减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.
【详解】由解得或，
所以的定义域为.
函数的开口向上，对称轴为，
函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.
故选：C
8. 已知实数，且，则的最小值是（ ）
A. 21B. 25C. 29D. 33
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】∵，等式恒成立，
∴，
由于，所以
∵，
当且仅当时，即时取等号．
∴，∴，故的最小值为21．
故选：A
二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A. ，B. 存在，使得
C. 至少有一个无理数，使得是有理数D. 有的有理数没有倒数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.
【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以，使，所以A是真命题，故A正确；
对于B．对应方程，，方程无解，故B错误；
对于C．命题是存在量词命题，，使得是有理数，所以C是真命题；
对于D．有理数0没有倒数 ，故D正确；
故选:ACD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为第一象限角
B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
C. 终边经过点的角的集合是
D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限；
B选项，顺时针转动了30°，故B正确；
C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；
D选项，由扇形面积公式进行求解
【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故A错误；
B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是，故B正确；
C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，C正确；
D选项，扇形面积为，故D错误．
故选：BC．
11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递增
C. 的值域为RD. 当时，有最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A正确；
B选项，先求出在上均单调递减，结合奇偶性得到B正确；
C选项，由在和上的单调性结合奇偶性得到的值域，C错误；
D选项，根据在上的单调性得到最大值.
【详解】对于A，由得函数定义域为，
所以．
由，
可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
对于B，当且时，函数，
该函数图象可由函数图象向右平移2个单位得到，
所以函数在和上均单调递减，
由偶函数性质，可知在上单调递增，故B正确；
对于C，由B可得，当且时，
函数在和上均单调递减，
所以该函数在的值域为；
又因为函数为偶函数，且，
所以在其定义域上的值域为，故C错误；
对于D，当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以有最大值为，故D正确．
故选：ABD．
12. 如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设为x，射线扫过的阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 在上为减函数B.
C. D. 图象的对称轴是
【答案】BC
【解析】
【分析】当点在的中点时，此时，即可判断B，根据阴影部分的面积变化可知的单调性，进而可判断A，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.
【详解】对于A选项，取的中点为，当时,点在之间运动时，阴影部分的面积增加，所以在上单调递增，A选项错误；
对于B选项，当点在的中点时，此时，所以，，故B正确，
对于C选项，取BC的中点G，连接OG，
作点P关于直线OG的对称点F，则，所以，
OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知，
因为，即，C选项正确；
对于D选项，由C选项可知，，则，
所以，，
所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误．
故选：BC
三、填空题（本大题共4小题，共20）
13. 求值：__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解
【详解】，
，
所以
故答案：.
14. 已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．
【详解】由题意是幂函数，
，解得或，
又是R上的增函数,则 .
故答案为：3.
【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题．
15. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.
【详解】由于“”的必要不充分条件是“”，所以
则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求，
故a的取值范围是．
故答案为：
16. 已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______．
【答案】－3，－2或1
【解析】
【分析】先由求出，确定，再变形得到，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在与内，从而确定k的所有可能值.
【详解】①由方程，解得：，
因为，
故；
②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程在区间内有一个实根．
故方程在区间内有且仅有一个实根．此时，
下面证明：方程在区间内有一个实根，
函数，在区间和内各有一个零点，
因为时，，故函数在区间是增函数，
又，，
即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，
即方程在区间内有且仅有一个实根，
此时.
故答案为：－3，－2或1．
四、解答题（本大题共6小题，共70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 （1）计算；
（2）计算．
【答案】（1）0；（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；
（2）利用对数运算法则及性质进行计算.
【详解】（1）
；
（2）
.
18. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再求；
（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
因为或，
所以或；
（2）因为或，所以.
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以A.
当时，符合题意，此时有，解得：a