高中考试数学特训练习含答案——函数的单调性与最值

这是一份高中考试数学特训练习含答案——函数的单调性与最值，共5页。

基础巩固组
(
), ,
푘 푥 + 2 푥 ≤ 0
1
.已知函数 f(x)=
则“k<1”是“f(x)单调递增”的( )
2푥 + 푘,푥 > 0,
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
푥,
푎 푥 > 1
,
2
.已知函数 f(x)=
是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围是( )
푎
(4- )푥 + 2,푥 ≤ 1
2
A.(1,+∞)
B.[4,8)
C.(4,8)
D.(1,8)
3
.已知函数 f(x)= 푥2- 2푥- 3,则该函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,1]
C.(-∞,-1]
B.[3,+∞)
D.[1,+∞)
4
.若 2x+5y≤2-y+5-x,则有(ꢀꢀ)
A.x+y≥0
C.x-y≤0
B.x+y≤0
D.x-y≥0
5
.函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,若 f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1 的 x 的取值范围是 ( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-1,1]
D.[1,3]
6
.(2020 全国 2,理 11,文 12)若 2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0
C.ln|x-y|>0
B.ln(y-x+1)<0
D.ln|x-y|<0
1
2
2
2
7
.函数 f(x)=
-푥 +2푚푥-푚 -1的单调递增区间与值域相同,则实数 m 的取值为( )
A.-2
B.2
C.-1
D.1
8
.(多选)(2020 山东滕州一中月考,6)下列四个说法,其中不正确的是( )
A.函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递增,则 f(x)在 R 上是增函数
B.若函数 f(x)=ax2+bx+2 与 x 轴没有交点,则 b2-8a<0 且 a>0
C.当 a>b>c 时,则有 ab>ac 成立
D.y=|1+x|和 y= (1 + 푥)2表示同一个函数
2
푥
π푥
2
9
.(多选)已知函数 f(x)=x- ,g(x)=acs +5-2a(a>0).给出下列四个命题,其中是真命题的为( )
A.若∃x∈[1,2],使得 f(x)-1
B.若∀x∈R,使得 g(x)>0 恒成立,则 0
C.若∀x ∈[1,2],∀x ∈R,使得 f(x )>g(x )恒成立,则 a>6
1
2
1
2
D.若∀x ∈[1,2],∃x ∈[0,1],使得 f(x )=g(x )成立,则 3≤a≤4
1
2
1
2
1,
푥 > 0,
1
0.设函数 f(x)= 0,푥 = 0, g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的单调递减区间是 .
-1,푥 < 0,
2
푥 + 1
푥
1
1
1.函数 f(x)=
在区间[1,2]上的值域为 .
2
푥
푥 + 3,푥 ≥ 1,
-
2.已知函数 f(x)=
,则 f[f(-3)]= ,f(x)的最小值是 .
( 2
),
lg 푥 + 1 푥 < 1
综合提升组
푥1 + 푥
1
2
1
3.(多选)(2020 山东淄博 4 月模拟,12)函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x ,x ∈[a,b],有 f
2 ≤
1
2
2
[
f(x )+f(x )],则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,则下列说法错误的是( )
1
2
A.f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的
B.f(x2)在[1, 3]上具有性质 P
C.若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]
푥 + 푥 + 푥 + 푥
1
1
2
D.对任意 x ,x ,x ,x ∈[1,3],有 f
2
3
4 ≤ [f(x )+f(x )+f(x )+f(x )]
1
2
3
4
1
2
3
4
4
1-
-1
ln푥,0 < 푥 ≤ 1,
+ ln푥,푥 > 1,
1
1
푎
1
4.(2020 山东聊城二模,14)已知 f(x)=
若 f(a)=f(b),则 + 的最小值为 .
푏
创新应用组
푓(푥)
푥
1
5.如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增,且函数 y=
在区间 I 上单调递减,那么称函数 y=f(x)是区间
1
3
I 上的“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”.若函数 f(x)= x2-x+ 是区间 I 上的“缓增函数”,则“缓增区
2
2
间”I 为( )
A.[1,+∞)
C.[0,1]
B.[0, 3]
D.[1, 3]
1
6.(2020 山东枣庄二模,8)已知 P(m,n)是函数 y= - 푥2- 2푥图像上的动点,则|4m+3n-21|的最小值是
( )
A.25
B.21
C.20
D.4
参
考
答
案
课
时
规
范
练
6
函
数
的
单
调
性
与
最
值

1
.D 若 f(x)单调递增,则 k>0 且 k(0+2)≤20+k,解得 0充分性和必要性都不成立.
,
푎 > 1
푎
4-
> 0,
2
3
.B 由 f(x)在 R 上单调递增,则有
解得 4≤a<8.
2
푎
(4- ) + 2 ≤ 푎,
2
.B 设 t=x2-2x-3,由 t≥0,即 x2-2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3.
所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数 t=x2-2x-3 的图像的对称轴为 x=1,
所以函数 t 在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.
所以 f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
4
5
2
6
.B 设函数 f(x)=2x-5-x,易知 f(x)为增函数,又 f(-y)=2-y-5y,由已知得 f(x)≤f(-y),∴x≤-y,∴x+y≤0.
.D 由题意 f(-1)=-f(1)=1,-1≤f(x-2)≤1 等价于 f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-1≤x-
≤1,即 1≤x≤3.所以 x 的取值范围是[1,3].
.A ∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.
∵
∴
∴
f(t)=2t-3-t 在 R 上为增函数,且 f(x)x0,∴y-x+1>1,
ln(y-x+1)>ln 1=0.故选 A.
1
2
2
2
7
.B ∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴
-푥 +2푚푥-푚 -1 ≥ 2,
1
2
∴
∴
f(x)的值域为[2,+∞),∵y=
x 是减函数,y=-(x-m)2-1 的单调递减区间为[m,+∞),
f(x)的单调递增区间为[m,+∞).
由条件知 m=2.
푥,푥 ≤ 0,
ln푥,푥 > 0
8
.ABC f(x)=
,满足在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递增,但 f(x)在 R 上不是增函数,故
A 错误;当 a=b=0 时,f(x)=2,它的图像与 x 轴无交点,不满足 b2-8a<0 且 a>0,故 B 错误;当 a>b>c,但
a=0 时,ab=ac,不等式 ab>ac 不成立,故 C 错误;y= (1 + 푥)2=|x+1|与 y=|x+1|的对应关系相同,定义域
也相同,是同一个函数,故 D 正确.故选 ABC.
9
.ACD 对于 A,由 f(x)在[1,2]上单调递增,则 f(x)min=f(1)=-1,所以 a>-1,故 A 正确;对于 B,只需
5
3
g(x)min>0,由 g(x)min=-a+5-2a=5-3a>0,得 02
2
f(x)min>g(x)max,即-1>5-a,解得 a>6,故 C 正确;对于 D,只需 g(x)min≤f(x)min,g(x)max≥f(x)max,f(x)max=f(2)=2-
π푥
2
π
=
1,所以 x ∈[1,2],f(x )∈[-1,1],当 x∈[0,1]时, ∈ 0,2 ,所以 g(x)在[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=5-
1
1
5-
5-
- ,
2푎 ≤ 1
푎 ≥ 1,
2
a,g(x)max=g(0)=5-a,所以 g(x)∈[5-2a,5-a],由题意,可得
解得 3≤a≤4,故 D 正确.故选 ACD.
푥2,푥 > 1,
1
0.[0,1) ∵g(x)= 0,푥 = 1, 函数图像如图所示,∴函数 g(x)的单调递减区间为[0,1).
-
푥2,푥 < 1
,

4
3
2푥
푥 + 1
2(푥 + 1)- 2
푥 + 1
2
푥 + 1
1
1. , ∵f(x)=
=
=2-
,∴f(x)在区间[1,2]上单调递增,即
1
4
3
4
3
f(x)max=f(2)= ,f(x)min=f(1)=1.故 f(x)的值域是 1,
.
1
2.0 2 2-3 因为 f(-3)=lg [(-3)2+1]=lg 10=1,所以 f[f(-3)]=f(1)=1+2-3=0.
2
푥
2
푥
当
x
≥
1
时
,
x
+
-
3
≥
2
·
2
-
3
=
2
2
-
3
,
当
且
仅
当
x
=
,
即
x
=
2
时
,
等
号
成
立
,
此
时
f
(
x
)
=
2
2
-
3
<
0
;
푥
m
i
n
푥
当 x<1 时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时 f(x)min=0.
所以 f(x)的最小值为 2 2-3.
2
,
1
≤
푥
<
3
,
푥
1
3.ABD 对于 A,函数 f(x)=
在
[
1
,
3
]
上
具
有
性
质
P
,
但
f
(
x
)
在
[
1
,
3
]
上
的
图
像
不
连
续
,
故
A
错
1
1,푥 = 3
误
;
对
于
B
,
f
(
x
)
=
-
x
在
[
1
,
3
]
上
具
有
性
质
P
,
但
f
(
x
2
)
=
-
x
2
在
[
1
,
3
]
上
不
满
足
性
质
P
,
故
B
错
误
;
对
于
C
,
因
为
1
2
f(x)在 x=2 处取得最大值 1,所以 f(x)≤1,由性质 P 可得 1=f(2) ≤ [f(x)+f(4-x)],即 f(x)+f(4-x)≥2,因为
푥1
+ 푥
2 + 푥3 + 푥4
푥 + 푥 + 푥 + 푥
1
1
2
f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以 f(x)=1,x∈[1,3],故 C 正确;对于 D,f
2
3
4 =f
≤
f
2
2
4
2
푥1 + 푥
푥3 + 푥
4
1
4
2 +f
[f(x )+f(x )+f(x )+f(x )],
故
D
错误.故选
ABD.
≤
1
2
3
4
2
2
-
,
,
2
e
1 ln푥 0 < 푥 ≤ 1
-1 + ln푥,푥 > 1,
1
4. 因为 f(x)=
所
以
函
数
在
(
0
,
1
]
上
单
调
递
减
,
在
(
1
,
+
∞
)
上
单
调
递
增
.
由
f
(
a
)
=
f
(
b
)
,
得
1
-
l
n
a
=
-
1
+
l
n
b
,
0
<
a
≤
1
,
b
>
1
,
所
以
l
n
a
b
=
2
,
即
a
b
=
e
2
.
1
푎
1
푏
1
1
1
푏2
푏2- e2
(e푏)2
设
y
=
+
=
+ ,令 y'=
―
=
=0,则 b=e,即函数 y 在(1,e]上单调递减,在(e,+∞)上单调
푏
e2
푏
e2
1
푎
1
2
e
递
增
,
所
以
当
b
=
e
时
,
+
有
最
小
值
,
最
小
值
为
.
푏
1
2
3
2
1
5.D 因为函数 f(x)= x2-x+ 的对称轴为 x=1,所以函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.又因为当
푓(푥)
푥
1
2
3
2푥
1
2
3
2푥
1
2
3
2푥2
푥2- 3
2푥2
,由 g'(x)≤0 得 1≤x ≤ 3,即函数푓(푥)
x≥1 时,
= x-1+ ,令 g(x)= x-1+ (x≥1),则 g'(x)= ―
=
푥
1
2
3
2푥
=
x-1+ 在区间[1, 3]上单调递减,故“缓增区间”I 为[1, 3 ].
1
6.C 函数 y= - 푥2- 2푥的图像是半圆,圆心为 C(-1,0),半径为 r=1,如图,作直线 4x+3y-21=0.∵C 到直
|
- 4 + 0- 21|
=5,∴P(m,n)到直线 4x+3y-21=0 的距离为 d'=|
,其最
4푚 + 3푛- 21|
线
4
x
+
3
y
-
2
1
=
0
的
距
离
为
d
=
4
2 + 32
5
小
值
为
5
-
1
=
4
,
∴
|
4
m
+
3
n
-
2
1
|
的
最
小
值
为
5
×
4
=
2
0
.
故
选
C
.