课时质量评价7　函数的单调性与最值练习题

这是一份课时质量评价7　函数的单调性与最值练习题，共4页。试卷主要包含了已知定义在R上的函数f 满足等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A．[1,2]B．[－1,0]
C．[0,2]D．[2，＋∞)
A 解析：由于f (x)＝|x－2|x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2，))结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1,2]．
2．(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln(x＋2)B．y＝eq \r(x＋1)
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)D．y＝x＋eq \f(1,x)
AB 解析：函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上单调递增；函数y＝eq \r(x＋1)的增区间为[－1，＋∞]，所以在(0，＋∞)上单调递增．
3．若函数f (x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．1
B 解析：因为f (x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上单调递增，且f (x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B．
4．若函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是( )
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．(4，＋∞)D．(－∞，4)
B 解析：因为f (x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0. 而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a. 因为a<0，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，2)．
5．已知函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)＜f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
D 解析：因为函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且f (2x－1)＜f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，所以0≤2x－1＜eq \f(1,3)，解得eq \f(1,2)≤x＜eq \f(2,3).
6．已知函数f (x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(π)，c＝lneq \f(1,3)，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为( )
A．f (a)＞f (b)＞f (c)B．f (b)＞f (c)＞f (a)
C．f (c)＞f (a)＞f (b)D．f (c)＞f (b)＞f (a)
D 解析：因为a＝33.1＞30＝1,0＜b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(π)＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)＝1，c＝lneq \f(1,3)＜ln 1＝0，所以c＜b＜a.又因为函数f (x)在R上单调递减，所以f (c)＞f (b)＞f (a)．故选D．
7．若f (x)＝eq \f(x＋a－1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，3) 解析：f (x)＝eq \f(x＋a－1,x＋2)＝eq \f(x＋2＋a－3,x＋2)＝1＋eq \f(a－3,x＋2)，要使函数f (x)在区间(－2，＋∞)上单调递增，需使a－3<0，解得a<3.
8．若函数f (x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是________．
(－∞，2] 解析：因为f (x)在R上单调递增，所以a－1>0，即a>1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]．
9．定义在R上的奇函数y＝f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式f (lgeq \f(1,9)x)>0的解集为________________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(0 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))或f (lgeq \s\d8(eq \f(1,9))x)> f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
所以lgeq \s\d8(eq \f(1,9))x>eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(010．已知定义在R上的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1；②当x>0时，f (x)>－1.
(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4.
解：(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1.
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f (x1－x2)>－1.
又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数．
(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.
由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4，得f (x2＋x＋1)>f (3)．
又函数f (x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1.
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
B组 新高考培优练
11．若函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(|x|)－\f(1,x2)))在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝( )
A．eq \f(31,16)B．2
C．eq \f(9,4) D．eq \f(11,4)
A 解析：可令|x|＝t，则1≤t≤4，y＝eq \r(t)－eq \f(1,t2)，易知y＝eq \r(t)－eq \f(1,t2)在[1,4]上单调递增，所以其最小值为1－1＝0；最大值为2－eq \f(1,16)＝eq \f(31,16).所以m＝0，M＝eq \f(31,16)，则M－m＝eq \f(31,16).故选A．
12．(2020·山东师范大学附中月考)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x1≠x2时，有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)<0恒成立．若f (3x＋1)＋f (2)>0，则x的取值范围是________．
(－∞，－1) 解析：根据已知条件，当x1≠x2时，有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)<0恒成立，得函数f (x)是定义在R上的减函数．又因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，所以－f (2)＝f (－2)，故f (3x＋1)＋f (2)>0等价于f (3x＋1)>－f (2)＝f (－2)，所以3x＋1<－2，即x<－1.
13．设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
[0,1) 解析：由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))
函数的图象为如图所示的实线部分．根据图象，g(x)的单调递减区间是[0,1)．
14．已知f (x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝eq \f(1,2)时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝eq \f(1,2)时，f (x)＝x＋eq \f(1,2x)＋2，
任取1≤x1则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))＝eq \f(x1－x22x1x2－1,2x1x2).
因为1≤x11，
所以2x1x2－1>0.
又x1－x2<0，所以f (x1)所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以f (x)在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝eq \f(7,2).
(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)>0恒成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋a>0，,x≥1))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－x2＋2x，,x≥1.))
等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3.故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．