第27章 圆复习 华东师大版数学九年级下册课件

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第27章 单元复习课一、圆的相关概念1.圆的定义有两种表述方式(1)运动的观点：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.(2)集合的观点：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合.由圆的定义可知，确定圆的因素有两个：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.2.3.与圆有关的概念较多，在辨析与圆有关的概念时，要深刻理解每个概念的内涵与外延，熟练把握.如：(1)等圆与同心圆：等圆是指半径相等的圆，对于位置没有限制；同心圆是指圆心相同的圆.(2)弦与直径：直径是一条特殊的弦，且经过圆心，它是圆中最长的弦.直径是弦，但弦不一定是直径.(3)半圆与弧：半圆是弧，但弧不一定是半圆.(4)对于等弧的理解，从定义来看，要求的是能够完全重合的弧为等弧，实质上，弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°.若两条弧为等弧，则必须满足长度及度数都相等，二者缺一不可.4.两个概念：(1)圆心角：顶点在圆心的角；(2)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.圆心角的顶点在圆的内部，所以其边一定与圆相交；圆周角必须满足两个条件，二者缺一不可.5.经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(1)一个三角形有且只有一个外接圆，但是一个圆有无数个内接三角形.(2)三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三顶点的距离相等，等于外接圆的半径.(3)锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.6.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.(1)一个三角形有且只有一个内切圆，但是一个圆有无数个外切三角形；(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；(3)与三角形内心有关的证明或计算，往往连结顶点与内心，构造角平分线，应用角平分线的性质来证明或计算.7.圆的切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，切线长是切线上一条线段的长，可以度量.8.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．与之有关的概念如图所示：与正多边形有关的定义都是以正多边形的外接圆为基础的.在理解定义时，要注意与多边形的相关元素之间的对应关系.二、圆的相关性质、判定及定理1.垂径定理(1)垂径定理及其推论①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.如图,⊙O中，若CD为直径，CD⊥AB,垂足为M，则AM=BM，②平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.如图,⊙O中，若AM=BM(AB不是直径)，CD为直径，则AB⊥CD，(2)理解垂径定理要注意以下问题：①定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线，其本质是“经过圆心”.②定理中的“弦”是直径时，结论仍然成立.③垂径定理可以这样理解：一条直线，如果它具备两条：a经过圆心；b垂直于圆的一条弦.那么这条直线就具有另外三个性质：a平分弦；b平分弦所对的劣弧；c平分弦所对的优弧.(3)垂径定理的其他推论垂径定理成立的基础是圆的轴对称性，垂径定理及其推论可以概括为：一条直线，如果它满足:①经过圆心；②垂直于圆的一条弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推三”.注：在垂径定理的推论中，对被平分的弦不是直径的要求是不可去掉的，在圆中任意的两条直径都是互相平分的，但是它们不一定垂直.(4)垂径定理的应用垂径定理是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等的重要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据.①应用垂径定理证明时，一般是过圆心作弦的垂线，构造线段或弧相等.若有弦的中点，则连结圆心及弦的中点，构造垂直关系.②与垂径定理有关的计算，一般是利用弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形结合勾股定理及方程的思想求解.如图,常用的关系式为：r2= +d2,r=d+h等.若已知弦长a和弓形的高h，则需要构建关于r的方程，利用方程的思想来解决.③确定弧所在圆的圆心的方法，根据弦的垂直平分线经过圆心，在弧上任意作两条弦，两弦的垂直平分线的交点就是弧所在圆的圆心.④应用垂径定理解决实际问题，关键是根据实际问题抽象出几何模型，利用垂径定理来解决问题.2.弧、弦、圆心角、圆周角的关系(1)弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，有三组量：两个圆心角、两条弧、两条弦，只要有一组量对应相等，它们所对应的其余各组量也都相等.此定理成立的基础是圆的旋转不变性.在应用上述关系解决问题时，可根据需要选取有关部分；“在同圆或等圆中”这一条件不能漏掉，如在不同的圆中，相等的圆心角所对的弦及弧不一定相等，但是相等的弧所对的圆心角一定相等，因为等弧只有在同圆或等圆中才有可能存在.(2)圆周角定理及其推论①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.②半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).③90°的圆周角所对的弦是直径.(3)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.3.切线的判定及性质(1)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.①切线的性质可以作如下拓展：a切线和圆只有一个公共点；b切线和圆心的距离等于圆的半径；c经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；d经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.②有圆的切线时，辅助线的作法一般是连结切点和圆心，构造垂直关系来解题.(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．切线长定理能把许多圆的知识串联起来，并能找出一些规律性的东西，便于应用，也有利于开阔思路．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，直线OP交⊙O于D，E，交弦AB于C，则：①由切线长定理得PA=PB，∠3=∠4.②由等腰三角形三线合一得PC⊥AB，AC=BC.③由垂径定理得：④由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP．⑤连结AD，BD，由AD，BD分别平分∠PAB，∠PBA得：D为△ABP的内心．⑥∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8．(3)圆切线的判定方法①定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．②数量关系：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线．③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．应用切线的判定定理证明直线与圆相切时，常用的辅助线的作法为：(1)若已知直线与圆有公共点，则连结圆心和公共点证明垂直，即“连半径，证垂直”；(2)若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，即“作垂直，证等径”.(4)直角三角形内切圆的半径与三边的关系设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，内切圆的半径为r，则有 ,或 (由面积法得到).4.定理的应用(1)在同圆或等圆中，证两弦相等时，常用的方法是找这两弦所对的弧、圆心角、圆周角相等.同样，证明弧相等时，则考虑弧所对的弦及有关的角之间存在的关系.(2)利用圆周角定理解决问题时，常进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等或圆心角相等的问题.(3)把圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，当题目中有直径这一条件时，辅助线的作法一般是构造直径所对的圆周角是直角，综合勾股定理等知识来解题.没有直径时常通过添加辅助线作直径，创造条件，再利用圆周角的性质解题.(4)若出现圆内接四边形，则利用其对角互补解决问题.注：(1)在进行相关命题的判断时，易忽视“在同圆或等圆中”这个条件而造成误判；(2)与圆周角有关的问题常因图形不确定而产生多解的情况，此时易忽视分情况进行讨论而导致丢解的错误.5.相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．(1)要正确区别连心线和圆心距：连心线是通过不同心的两个圆的圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆心之间的线段的长度.显然，两个圆的圆心的连线(线段)一定在连心线(直线)上．(2)“相切两圆的连心线经过切点” ，也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上” ，或“经过相切两圆的切点和一个圆的圆心的直线必经过另一个圆的圆心” .(3)两圆相切时，连心线是常见的一条辅助线，使用连心线时要注意：连心线是直线而不是线段；有时也用圆心距作辅助线．注：由两圆相切的位置关系判断数量关系时，易忽视存在两种情况而造成漏解.三、圆中的位置关系1.点与圆的位置关系的判断方法方法一：确定点和圆的位置关系，就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系.先求出点到圆心的距离，并与圆的半径作比较，如果P是圆所在平面内的一点，d表示点到圆心的距离，r表示圆的半径，那么：d＜r ⇔P在圆内；d=r ⇔P在圆上；d＞r ⇔P在圆外．方法二：利用圆内角、圆周角、圆外角三种角之间的大小来判断，如果AB是⊙O的一条弦，点Q是⊙O上的一点，P点、Q点在直线AB的同旁(如图)，则有：(1)∠APB＞∠AQB⇔点P在圆内；(2)∠APB=∠AQB⇔点P在圆上；(3)∠APB＜∠AQB⇔点P在圆外．2.直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系既可转化为直线和圆的交点的个数，又可转化为点(圆心)到直线的距离与半径的大小关系.若⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则具体情况如下表：3.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系可以分为三大类：相离、相切、相交.相离包括外离与内含两种情况，相切包括外切与内切，在理解它们时，要注意每个圆上的点相对于另一个圆的位置关系.(1)圆和圆的位置关系，不但考虑了数(两圆公共点的个数)，而且考虑了形(两圆的位置关系)，两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类．(2)两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，唯一的公共点称为切点．(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径R与r不可能相等，即具有内切或内含关系的两圆不可能为等圆，否则，这两个圆重合．四、圆中的相关计算1.正多边形的有关计算正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的外接圆的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形的边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角αn的一半，即 另一个锐角为一个内角的一半，即 所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.这样就把正n边形的计算问题转化为解直角三角形的问题.计算公式：(1)正n边形每个内角的度数：(2)正n边形的中心角的度数：(3)正n边形的每个外角的度数：(4)正n边形的对角线的条数：注:(1)计算时易记错公式导致错误.(2)易将正n边形的边心距和半径混淆.2.弧长及扇形面积公式(半径为R的圆中)(1)弧长：n°的圆心角所对的弧长(2)扇形的面积：①n°的圆心角所对的扇形面积②弧长为l的扇形的面积弧是圆的一部分，扇形是圆面的一部分，所以在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长2πR，所以1°的圆心角所对的弧长为 圆心角为1°的扇形的面积为由此可以得到弧长和扇形的面积计算公式.在公式中，n，180，360应理解为1°的倍数，计算时都不带单位.扇形的第二个面积公式，与三角形的面积公式类似，为了便于记忆，可以把扇形理解成一个曲边的等腰三角形.两个公式在计算时要根据条件灵活选用.五、圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长.圆锥侧面积是扇形面积.如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n°(如图)，则它们之间有如下关系：同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：圆锥的全面积为：πrl+πr2. 圆的对称性【相关链接】圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.与之相关的定理有垂径定理及其推论,圆心角、弧、弦之间的关系.它们是计算线段的长度,证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据.应用垂径定理时,常作圆心到弦的垂线段,与半径、弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理计算或证明．【例1】如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=______,CD=______.【思路点拨】【自主解答】如图连结OA,设⊙O的半径为R,由垂径定理得AC= AB=3, OC=R-1,根据勾股定理, AC2+OC2=OA2得32+(R-1)2=R2,解得R=5, ∴OC=4,CD=9.答案：4 9 圆周角定理及其推论【相关链接】圆周角定理提供了与圆有关的角的转化方法.圆周角与圆心角的关系、同弧或等弧所对的圆周角相等是证明角相等的重要依据,进而也可计算或证明有关线段的问题.在题目中,若有直径,常作直径所对的圆周角,构造直角三角形,利用解直角三角形的知识解决问题．【例2】如图,点A，B，C，D都在⊙O上,OC⊥AB,∠ADC=30°,求∠BOC的度数. 【思路点拨】【自主解答】∵点A，B，C，D都在⊙O上,OC⊥AB, ∵∠ADC=30°,∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°,∴∠BOC的度数为60°. 切线的性质与判定、切线长定理【相关链接】(1)在证明直线与圆的位置关系时,若有公共点,则连结公共点与圆心,证半径与直线垂直；若直线与圆的公共点未知时,可作出圆心到直线的垂线段,证明圆心到直线的距离和半径相等,从而判定直线和圆相切；(2)利用切线的性质时,常连结切点和圆心,则半径与切线垂直；切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等及垂直关系的重要依据．【例3】如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC,垂足为D，连结BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．(1)判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)求线段AF的长．【思路点拨】(1) (2) 【自主解答】(1)AG与⊙O相切. 证明：连结OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点， ∴点A是 的中点，∴OA⊥BE．又∵AG∥BE，∴OA⊥AG．∴AG与⊙O相切．(2)∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°．又OA=OB，∴△ABO为正三角形．又AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD= ， AD= ．又∠EBC= =30°，在Rt△FBD中， FD=BD·tan ∠EBC=BD ·tan 30°= 圆和圆的位置关系【相关链接】圆和圆的位置关系重点考查两圆相切和相交两种情况,其中相切又分为外切和内切,在解题时常常因考虑不全而漏解.相交时常添加的辅助线是两圆的公共弦,把两圆中的角或线段联系起来,起到了桥梁的作用．【例4】如果两圆的半径分别为6和4，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是( ) (A)内含 (B)内切 (C)相交 (D)外切【思路点拨】【自主解答】选D.∵两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，又∵4+6=10，∴这两圆的位置关系是外切． 弧长和扇形、圆锥面积的相关计算【相关链接】(1)弧长和扇形面积的计算,关键是寻求所在圆的半径及弧所对的圆心角；(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长为圆锥底面圆的周长,半径为圆锥的母线；圆锥的高、母线和底面半径构成一个直角三角形；(3)计算不规则图形的面积时,常转化为规则图形面积的和或差来解决．【例5】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC= , 若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周则所得的几何体的表面积为( )(A)4π (B)(C)8π (D) 【思路点拨】【自主解答】选D.由三角形绕斜边旋转后得到的,求表面积,实际是两个圆锥的侧面积之和,一个圆锥的母线是原直角三角形的一条直角边,半径是斜边的中线,等于2,圆锥的侧面是个扇形,其弧长为圆锥底面圆的周长,即4π,其半径是圆锥的母线长,即AC的长,然后再利用扇形的面积公式S= ×弧长×半径 则两个的和为【命题揭秘】圆是数学的重点之一,也是中考的热点,纵观近几年中考,题型包含选择题、填空题、解答题.在填空题、选择题里常常考的是单独的一个知识点，如：圆周角、点与圆的位置关系、两圆的位置关系、弧长的计算等,解答题是稍微综合点的,常常是几个知识点综合起来考.常考的有：切线的性质与判定,垂径定理或圆周角定理结合勾股定理或相似三角形来考.1.已知两圆的直径分别为2 cm和4 cm，圆心距为3 cm,则这两个圆的位置关系是( )(A)相交 (B)外切(C)外离 (D)内含【解析】选B.两圆半径分别为1 cm和2 cm,圆心距等于两圆半径之和，所以这两个圆外切.2.如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,∠ABP的度数为( )(A)15° (B)30°(C)60° (D)90°【解析】选B.当P点运动到点D时,此时∠APB=∠ADB为最大角.在直角三角形ABD中,AB=2,AD=1,所以∠ABP=30°.3.如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为( )(A)1 (B) (C) (D)【解析】选C.连结AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠A=60°，∵点E为BC的中点，∠AED=90°，∴AB=AC，∴△ABC是等边三角形．△EDC是等边三角形，边长是2．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴ 和弦BE围成的部分的面积= 和弦DE围成的部分的面积．∴阴影部分的面积=故选C．4.用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为_____cm.【解析】把n=120°,r=6代入 得l=4π;所以圆锥的底面周长为4π,则4π=2Rπ,所以R=2.答案：25.母线长为3,底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为______.【解析】答案：3π6.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝______．【解析】连结BE.∵BC∥OA，∴BE为⊙P的直径.由A(2，0)，B(1，2)，得BC=1，AO=2，BE=2，∴AE=2-1=1.在直角三角形ABE中，tan∠FDE＝tan∠ABE＝答案：7.如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°.求证：(1)BD=CD； (2)△AOC≌△CDB.【证明】(1)∵AD为⊙O的直径，∴ ∠ACD=90°，又∵∠A=30°，OA=OC=OD， ∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又∵BC与⊙O切于C，∴∠OCB=90°，∴∠BCD=30°，∴∠B=30°，∴∠BCD=∠B，∴BD=CD.(2)∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，∴AC=BC，∴△AOC≌△BDC.8.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD.(1)求证：CD是⊙O的切线;(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6,tan∠CDA= ,求BE的长.【解析】(1)如图，连结OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO.∵∠CDA=∠CBD,∴∠CDA=∠ODB.又AB是⊙O的直径,∴∠ADO+∠ODB=90°,∴∠ADO+∠CDA=90°即∠CDO=90°,∴CD是⊙O的切线.(2)由tan∠CDA=tan∠ABD=∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∵BC=6，∴CD=4。∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE=DE，BE⊥BC，∴BE2+BC2=EC2即(4+BE)2=62+BE2,解得BE=【拓展思维】圆中常见辅助线口诀半径与弦长计算,弦心距来中间站．圆上若有一切线,切点圆心半径连．切线长度的计算,勾股定理最方便．要想证明是切线,半径垂线仔细辨．是直径,成半圆,想成直角径连弦．弧有中点圆心连,垂径定理要记全．圆周角边两条弦,直径和弦端点连．弦切角边切线弦,同弧对角等找完．要想作个外接圆,各边作出中垂线．还要作个内接圆,内角平分线梦圆．如果遇到相交圆,不要忘作公共弦．内外相切的两圆,经过切点公切线．若是添上连心线,切点肯定在上面．要作等角添个圆,证明题目少困难.9.如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G.(1)求证：OF·DE=OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积.(结果保留根号)【解析】(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO.∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD.∴△FOE∽△ADE. 即OF·DE＝OE·AD. ∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH.∴OF·DE＝OE·2OH.(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6.代入(1)结论，得AD＝12. ∴OH＝6.在Rt△ABC中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°.∴BH＝BO·sin60°＝∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB