专题1.28 通过作辅助线证明三角形全等方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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全等三角形除了倍长中线、截长补短法外，还有其他很多方法，下面就一些基本方法作分类讲练。 .
【方法一】连接两点
【例1】如图，已知：，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
解：连接，如图，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ．
【答案】全等三角形的对应边相等
【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长．
解：连接AB，，如图，
∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
【方法二】作平行线法
【例2】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【答案】见详解
【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．
解：过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DE，
∵，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴∆EMD≅∆CME，
∴．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
【方法三】作垂线法
【例3】如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．
【答案】（1）见分析；（2）∠DCF＝45°．
【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论；
（2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．
解：证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS）；
（2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，
∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，
∴∠FMA＝45°＝∠FAM，
∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，
∵EF＝FC，
∴∠FEM＝∠FCA，
在△AEF和△MCF中，
，
∴△AEF≌△MCF（AAS），
∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，
∵△EAF≌△DAF，
∴∠EFA＝∠DFA，
∴∠DFA＝∠MFC，
∴∠AFM＝∠DFC＝90°，
∵DF＝EF＝CF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠DCF＝45°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．
【答案】（1）见分析；（2）∠DCF＝45°．
【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论；
（2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．
解：证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS）；
（2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，
∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，
∴∠FMA＝45°＝∠FAM，
∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，
∵EF＝FC，
∴∠FEM＝∠FCA，
在△AEF和△MCF中，
，
∴△AEF≌△MCF（AAS），
∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，
∵△EAF≌△DAF，
∴∠EFA＝∠DFA，
∴∠DFA＝∠MFC，
∴∠AFM＝∠DFC＝90°，
∵DF＝EF＝CF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠DCF＝45°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【方法四】倍长中线法
【例4】【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题．
(1)由已知和作图能得到的理由是____________．
A． B． C． D．
(2)探究得出的取值范围___________．
A． B． C． D．
【问题解决】
(3)如图2，在中，，，是的中线，求证：．
【答案】(1)B；(2)C；(3)见分析
【分析】（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到F，使，连接，证明， 得出，，证明，得出，证明即可．
解：是中线，
，
在与中，
，
故选：B；
（2）解：由知：，
，，
由三角形三边之间的关系可得：，
即，
解得：，
故选：C；
（3）证明：延长到F，使，连接，如图所示：
是中线，
，
在与中，
，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，平行线的判断和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理．
【举一反三】
【变式】如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ．
【答案】2.4
【分析】延长到点，使，首先证明，然后得到，，然后根据等腰三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可．
解：如解图，延长到点，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴．
故答案为：2.4．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
【方法五】截长补短法
【例5】如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
解：如图，在上截取 连接
平分













故选：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（ ）

A．3 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．
解：在AC上截取AE=AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE，
又∠B=2∠ADB
∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，
∴∠DEC =∠EDC，
∴CD=CE，
∵，，
∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
【方法六】补全图形法
【例6】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见分析；（2）BEG是等腰直角三角形，见分析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
解：证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
【举一反三】
【变式】已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．
解：证明：如图，
延长交的延长线于，
平分
【点拨】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．
【方法七】旋转法
【例7】Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
【答案】见分析
【分析】首先过点作交的延长线于，易证得，即可得，继而证得．
解：证明：过点作交的延长线于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线构造旋转全等模型．
【举一反三】
【变式1】如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【答案】，，．
【分析】通过旋转至，可得 是等边三角形，将 放在一个三角形中，进而求出各角大小。
解：将逆时针旋转，得到，
∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,
∴是等边三角形. 则
又∵ ∴
故以线段三边构成的三角形为
所以


故答案为： .
【点拨】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键.
【变式2】正方形 ，点E为平面内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，．已知点M为的中点，连接．
(1)如图1，①若点E为边边上一点，补全图形；
②判断并证明线段和的数量关系．
(2)如图2，若点E是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)①见分析，②，见分析；(2)成立，见分析
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②用证明，可得，而，即知；
（2）延长到N，使，连接，由，可得，，即知，由绕点B顺时针旋转得到，有，，得，故，即得，故，从而．
解：（1）①补全图形，如图：
②．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将绕点B顺时针旋转90°得到，
∴F在上，，
∴，
∴，
∵M为斜辺的中点，
∴，
∴；
（2）（1）中线段和的数量关系仍然成立，证明如下：
延长到N，使，连接，如图：
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
∵绕点B顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判断与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．