专题1.10 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点1】判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
【知识点2】判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
特别指出：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【考点一】全等三角形➼➻斜边、直角边定理的理解
【例1】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．有两条直角边对应相等B．有一条斜边和一个锐角对应相等
C．有一条直角边和一条斜边对应相等D．有两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
解：A、符合判定，故本选项不符合题意；
B、符合判定或，故本选项不符合题意；
C、符合判定，故本选项不符合题意．
D、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：，，，，．
【举一反三】
【变式1】给出下列四组条件：
① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；
③ ∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F； ④ AB＝DE，AC＝DF，．
其中，能确定△ ABC和△ DEF全等的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法：结合选项进行判定
解：① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定
② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E，不能判断
③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F，不能判断
④ AB＝DE，AC＝DF，，可根据判断
所以能确定的条件有2组
故选：B
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2】如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．

【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
【考点二】全等三角形➼➻用斜边、直角边定理证明三角形全等
【例2】如图，，，垂足分别为C、B，，求证：．

【分析】利用证明即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【点拨】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，熟练掌握证明三角形全等是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．

【答案】(1)见分析； (2)
【分析】（1）直接依据直角三角形全等判定定理“斜边直角边”判定即可；
（2）关键第（1）问结论可知为等腰直角三角形，故可求即可．
（1）解：

在和中
（2），
【点拨】本题考查了直角三角形的全等判定，及全等三角形的性质，关键是掌握全等判定的条件运用，灵活运用全等三角形的性质定理进行计算．
【变式2】如图，相交于点．
求证：； (2) 若，求的大小．

【答案】(1)证明见分析； (2)．
【分析】（1）根据证明；
（2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案．
解：（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴（）；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【考点三】全等三角形➼➻斜边、直角边定理与三角形性质综合
【例3】如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
求证：； (2) 求证：．

【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
解：（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．

【分析】由题意易得，由证明，得，由平行线的判定定理即可证明结论．
解：证明：，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，平行线的判定等知识，证明两个直角三角形全等是解题的关键．
【变式2】如图，在四边形中，于，交的延长线于点，，．试探究线段，，之间的数量关系，并证明．

【答案】，证明见分析
【分析】如图所示，连接，先证明得到，进而证明得到，再根据线段之间的关系即可证明．
解：，证明如下：
如图所示，连接，

在和中，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，，
．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知用证明三角形全等是解题的关键．
【考点四】全等三角形➼➻灵活选用三角形全等判定方法证明
【例4】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
图中有几对全等的三角形？请一一列出．
选择一对你认为全等的三角形进行证明．

【答案】(1)3对．分别是：△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF；(2)△BDE≌△CDF，证明见分析．
【分析】（1）根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．
（2）根据HL可判断△BDE≌△CDF．
解：（1）3对．分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
（2）△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
又D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
【点拨】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【举一反三】
【变式1】如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD．请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：

【分析】已知：AB=AE，BC=DE，求证：AC=AD，∠BAC=∠EAD；由“SAS”可证△ABC≌△AED，可得AC=AD，∠BAC=∠EAD．
解：已知：AB=AE，BC=DE，
求证：AC=AD，∠BAC=∠EAD，
证明：∵AB=AE，
∴∠B=∠E，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD；
也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似．
【点拨】本题考查证明的概念，根据题意写出已知、求证、证明过程，在证明时需要用到全等三角形的性质与判定，答案不唯一．
【变式2】已知：如图，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC．求证：OB=OD．
【分析】根据已知条件先证△ABC≌△ADC，得∠DCO=∠BCO，再证△BCO≌△DCO，即可得出OB=OD
解：证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS)
∴∠DCO=∠BCO(
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO(SAS)
∴OB=OD(全等三角形对应边相等)