2022-2023学年贵州省卓越发展计划高二下学期6月测试数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省卓越发展计划高二下学期6月测试数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=−1,0,1,2,4，B=xx−1≤1，则A∩B=( )
A. −1,2B. 1,2C. 0,1,2D. −1,0,1,2
2.已知a,b∈R，a+2i=b+ii，(i为虚数单位)，则
( )
A. a=1，b=−2B. a=−1，b=2
C. a=−1，b=−2D. a=1，b=2
3.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A. y=sin(2x+π2)B. y=cs(2x+π2)
C. y=sin2x+cs2xD. y=sinx+csx
4.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N100,σ2，若P(80≤ξ≤100)=0.45，则P(ξ≥120)的值
( )
A. 0.1B. 0.9C. 0.45D. 0.05
5.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多−斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列an为“斐波那契数列”且满足：an=an−1+an−2n≥3,n∈N*，则a4+a8=( )
A. 12B. 16C. 24D. 39
6.在▵ABC中，E为AC上一点，AC=3AE，P为线段BE上任一点，若AP=xAB+yAC，则1x+1y的最小值是
( )
A. 3+2 2B. 4+2 3C. 6D. 8
7.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.有4名大学生参加了冬奥会新闻中心志愿者服务，下列说法正确的是( )
A. 将4名志愿者每人都安排一项工作(一共4项不同的工作)的不同方法数为24种
B. 将4名志愿者分配到3个采访场馆，每个采访场馆至少分配一名志愿者，所有分配方案共有72种
C. 将4名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，不同的安排方法有140种
D. 将4名志愿者分配到记者招待会、集体采访2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，不同的分配方案共有14种
8.已知函数fx是定义在R上的可导函数，且满足f−x+fx=0，f′x>1，f−1=−2，则不等式fx−1>x的解集是
( )
A. −1,+∞B. 1,+∞C. 2,+∞D. 3,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知fx是定义在R上的奇函数，图像关于直线x=1对称，且fx在区间−1,3内的图像如图所示，下列说法正确的是
( )
A. f−4C. 直线x=−3是函数的一条对称轴D. 点4,0为函数的一个对称中心
10.已知向量a= 3,1，b=csθ,sinθ，则下列说法正确的是
( )
A. 若θ=2π3，则a,b=π2B. 若a//b，则θ=π6
C. a⋅b的最大值为 3+1D. a−b的取值范围是1,3
11.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是BC与AC上的任一点，BD=λBC，AE=μAC，AB=BC=BB1，则下列结论正确的是
( )
A. 存在λ,μ∈0,1，使得BE⊥C1E
B. 平面B1EB⊥平面ABC
C. 若A1B1//平面DEC1，则λ=μ=13
D. 若∠ABC=60∘，且E为AC中点，则平面BDE与平面B1C1E所成的夹角的余弦值为 5719
12.已知实数a，b满足0<1a<1b<1，且lnalnb=1，则
( )
A. 2a>2bB. ab>e2
C. lg2ab+1ab
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.(2x+1x)4展开式的常数项是 .(用数字作答)
14.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是 ．
15.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为13，则C的离心率为 ．
16.已知数列an满足a1=4，nan+1=2n+1an，则数列an的通项公式为 ，若数列{an(n+1)(n+2)}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题．
①bsinA+sinC=a−csinB+csinA+sinC．
②2acsB=2c−b．
③a2−b2=accsB−12bc．
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________________
(1)求A；
(2)若a=2，点D在线段BC上，且AD⋅BC=0，求AD的最大值．
18.(本小题12分)
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．
19.(本小题12分)
2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为20n(n∈N∗)，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
附表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(1)求n的值；
(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名男生被第二次调查的概率．
20.(本小题12分)
如图1，已知ABFE是直角梯形，EF/​/AB，∠ABF=90∘，∠BAE=60∘，C、D分别为BF、AE的中点，AB=5，EF=1，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角F−DC−B的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点．
(1)证明：FN⊥AD；
(2)若M为AE上一点，且AMAE=λ，则当λ为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为5 714．
21.(本小题12分)
设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．
22.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+1．
(1)求函数fx在x=0处的切线方程；
(2)当a≥1时，证明：fx≤a2ex−a．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集运算，解绝对值不等式，属于基础题．
利用集合的运算即可求得结果．
【解答】
解：因为 B=x0≤x≤2 ，故 A∩B= 0,1,2 ．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，复数的运算以及复数相等的条件，属于简单题．
结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】
解：因为 a+2i=b+ii=−1+bi，所以 a=−1，b=2 ．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、正弦、余弦的图象与性质、诱导公式，属于基础题．
利用正弦、余弦的图象与性质，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：对于选项A，y=sin(2x+ π2 )=cs2x，是最小正周期为π的偶函数，符合题意；
对于选项B，y=cs(2x+ π2 )=−sin2x，虽然最小正周期为π，但属于奇函数，故排除；
对于选项C，y=sin2x+cs2x= 2sin2x+π4 ，虽然最小正周期为π，属于非奇非偶函数，故排除；
对于选项D，y=sinx+csx= 2sinx+π4 ，函数的最小正周期为2π，属于非奇非偶函数，故排除．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概念与正态密度函数，属于较易题．
由已知可得 μ=100 ，根据正态分布的对称性可推得 Pξ≥120=0.05 ，即可得出答案．
【解答】
解：由已知可得， μ=100 ，所以 Pξ≥100=0.5 ．
又 P80≤ξ≤100=0.45 ，根据正态分布的对称性可得 P100≤ξ≤120=0.45 ，
所以 Pξ≥120=Pξ≥100−P100≤ξ≤120=0.5−0.45=0.05 ．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的通项求解指定的项，属于基础题．
由题写出数列 an 的前8项，即可得答案．
【解答】
解：由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知 a4+a8=3+21=24 ．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的加减与数乘的混合运算，平面向量基本定理的应用，考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中等题．
由题可得 3y+x=1 ，后由基本不等式可得答案．
【解答】
解：由题可得B，P，E三点共线，
则 AP=λAE+1−λAB ，
又 AP=xAB+yAC ， AC=3AE ，则 AP=λ3AC+1−λAB⇒λ3=y1−λ=x ，⇒3y+x=1 ，则 1x+1y=x+3y1x+1y=4+3yx+xy≥4+2 3yx⋅xy=4+2 3 ．
当且仅当 3yx=xy ，即 y=3− 36,x= 3−12 时取等号．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题．
利用乘法原理求出不同方法数判断A；利用分组分配方法计算判断B；利用组合应用问题列式计算判断C；按两组人数情况分类计算判断D作答．
【解答】
解：对于A，每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为 44=256 (种)，A错误；
对于B，将4名同学按2，1，1分成3组有 C42 种方法，再将这3组分配到3个比赛场馆，
共有 A33 种，则所有分配方案共有 C42⋅A33=36 (种)，B错误；
对于C，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有 C72C53C21=420 (种)，C错误；
对于D，先将4名志愿者分成2组，每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有 C42=6 种分法，
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有 C43A22=8 (种)分法，
因此不同的分配方案共14种，D正确．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数解不等式，属于中等题．
构造新函数，通过已知条件，判断新函数的单调性，再由单调性解出不等式．
【解答】
解：构造函数 Fx=fx−x ，因为 f′x>1 ，所以 F′x=f′x−1>0 ，
可知函数 Fx 在 R 上单调递增， F1=f1−1=−f−1−1=1 ，
不等式 fx−1>x 化为 fx−1−x−1>1 ，即 Fx−1>F1 ，
由单调递增可得 x−1>1 ，即 x>2 ．
故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查奇偶性，对称性所组成的周期函数的性质，属于一般题．
先求出 fx 的周期，再根据 fx 的周期性逐项分析．
【解答】
解：由题意， fx 的对称点是 0,0 ，对称轴是 x=1 ， ∴f−x=−fx,f2−x=fx,f2+x=f2−−x=f−x=−fx ，
f4+x=−f2+x=fx ，所以 fx 的周期 T=4×1−0=4 ；
∴f−4=f−4+4=f0=0,f5=f4+1=f1=1,f−4如果 fx−4=fx+1 ，则有 fx=fx+5 ，则 fx 的周期为5，与前面的分析矛盾，B错误；
由于 x=1 是对称轴，周期为4，所以 x=1−4=−3 也是对称轴，C正确；
由于 0,0是对称点，所以 0+4,0=4,0 也是对称点，D正确；
故选：ACD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，平行向量的坐标表示，向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示。属于中档题．
对于A，利用向量的数量积运算与垂直的性质判断即可；对于B，利用向量平行的坐标表示求解即可；对于C，利用向量的数量积运算与辅助角公式求解即可；对于D，利用向量的数量积运算与三角函数的性质即可得解．
【解答】
解：对于选项A，当 θ=2π3 时， b=cs2π3,sin2π3=−12, 32 ，
此时 a⋅b= 3×−12+ 32×1=0 ，故 a⊥b ，a,b=π2 ，故A正确；
对于选项B，若 a//b ，则 csθ= 3sinθ ，所以 tanθ= 33 ，所以 θ=π6+kπ ， k∈Z ，故B错误；
对于选项C， a⋅b= 3csθ+sinθ=2 32csθ+12sinθ=2sinθ+π3∈−2,2 ，故C错误；
对于选项D，因为 a= 3,1 ， b=csθ,sinθ ，
所以 a= 32+12=2 ， b= cs2θ+sin2θ=1 ， a⋅b=2sinθ+π3 ，
所以 a−b= a−b2= a2−2a⋅b+b2= a2−2a⋅b+b2= 5−4sinθ+π3 ，
因为 sinθ+π3∈−1,1 ，所以 5−4sinθ+π3∈1,9 ，
所以 a−b∈1,3 ，故D正确．
故选：AD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查平面与平面所成角的向量求法，直线与直线垂直的概念，面面垂直的判定以及线面平行的性质，属于一般题．
A选项，当E为AC中点，通过说明 BE⊥平面 AA1C1C 可得 BE⊥C1E ；B选项，注意到 BB1⊥ 面ABC即可；C选项，由题可得 A1B1//DE ；D选项，如图以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面BDE与平面 B1C1E 法向量即可．
【解答】
解：对于A，当 μ=12 时，E为AC中点，
又∵ AB=BC，∴在等腰三角形ABC中，BE⊥AC，
又在直三棱柱中，AA1⊥ 平面ABC且BE在平面ABC内，
∴ AA1⊥BE 且 AA1∩AC=A， AA1，AC在平面 AA1C1C 内，
∴ BE⊥ 平面 AA1C1C 且 C1E 在平面 AA1C1C 内，∴ BE⊥C1E，A正确;
对于B，在直三棱柱中，BB1⊥平面ABC且 BB1 在平面 B1EB 内，
∴平面 B1EB⊥ 平面ABC，B正确;
对于C，若 A1B1 /​/ 平面 DEC1，
因 A1B1//AB,AB⊂ 平面ABC，平面ABC ∩ 平面 DEC1 =DE，
则 A1B1//DE，则任意 λ=μ 且 λ,μ∈0,1即可满足，C错误;
对于D，如图建系，设 AB=BC=BB1=2，
则 B10, 3,2，C11,0,2，E0,0,0，
设平面 B1C1E 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅EB1=0n⋅EC1=0⇒ 3y+2z=0x+2z=0，取 n=2,2 3,−1，
又平面BDE的一个法向量为 0,0,1 ．
则平面BDE与平面 B1C1E 所成的夹角的余弦值为 11× 4+43+1= 5719，D正确．
故选：ABD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，利用指数函数及对数函数的图像与性质比较大小，由基本不等式证明不等式，属于较难题．
由题可得 a>e>b>1 ，A选项，由指数函数单调性可判断选项；B选项，由基本不等式结合 lnalnb=1 ，可得 ln2ab4>1 ，即可判断选项；C选项，由 a>e>b>1 ，可得 ab+1>a+b ，即可判断选项；D选项，构造函数 fx=exxx>1 ，利用导数判断其单调性，结合 a>e>b>1 可判断选项．
【解答】
解：因为 0<1a<1b<1 ，且 lnalnb=1 ，可得 a>e>b>1 ，
选项A：∵ a>e>b>1 ，函数 y=2x 在R上单调递增，∴ 2a>2b ，故A正确；
选项B：因为 1=lnalnb1 ，
解得 lnab>2 ，所以 ab>e2 ，故B正确；
选项C：因为 a>e>b>1 ，则 a−1b−1=ab+1−a+b>0 ，
可得 ab+1>a+b ，所以 lg2ab+1>lg2a+b ，故C错误；
选项D：构造函数 fx=exxx>1 ，则 f′x=exx−1x2>0 ，
所以函数 fx=exx 在 1,+∞ 上单调递增，又 a>e>b>1 ，
所以 eaa>ebb ，所以 eaeb>ab ，即 ea−b>ab ，故D正确．
故选：ABD
13.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查二项展开式及其通项，属于较易题．
求出给定二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答．
【解答】
解： (2x+1x)4 展开式的通项公式是 Tr+1=C4r(2x)4−r(1x)r=24−rC4rx4−2r,r∈N,r≤4 ，
由 4−2r=0 ，得 r=2 ，
所以 (2x+1x)4 展开式的常数项为 T3=22C42=4×6=24 ．
故答案为：24．
14.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念和计算，属于中档题．
根据题意列出所有事件的情况，记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，分别求出A、B的结果个数，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式求解即可．
【解答】
解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，
则A={(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
AB={(女，女)}．
于是可知P(A)= 34 ,P(AB)= 14，
在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，
得P(B|A)= P(AB) P(A) = 1434 = 13 ．
故答案为：13．
15.【答案】 63
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质，是中档题．
设P(x ​0，y ​0)，则Q(−x ​0，y ​0)，根据斜率公式结合题意可得：k AP⋅k AQ= 13，再结合 x2a2+y2b2=1，整理可得离心率．
【解答】
解：已知A(−a,0)，设P(x ​0，y ​0)，则Q(−x ​0，y ​0)，
k AP= y0x0+a，
k AQ= y0a−x0，
故k AP⋅k AQ= y0x0+a⋅ y0a−x0= y02a2−x02= 13①，
∵ x02a2+ y02b2=1，即 y02= b2(a2−x02)a2②，
②代入①整理得： b2a2= 13，
e= ca= 1−b2a2= 63．
故答案为： 63．
16.【答案】an=n⋅2n+1；6
【解析】【分析】
本题考查数列与不等式的结合，根据数列的递推公式求通项公式，裂项相消法求和，属于较难题．
根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出 Sn ，再借助数列单调性计算得解．
【解答】
解：在数列 an 中， a1=4 ，由 nan+1=2n+1an 得：
an+1n+1=2⋅ann ，而 a11=4 ，
于是得数列 {ann} 是以4为首项，2为公比的等比数列，
则 ann=4⋅2n−1 ，即 an=n⋅2n+1 ，
所以数列 an 的通项公式为 an=n⋅2n+1 ；
显然， an(n+1)(n+2)=n⋅2n+1(n+1)(n+2)=(n+1)⋅2n+2−(n+2)⋅2n+1(n+1)(n+2)=2n+2n+2−2n+1n+1 ，
则 Sn=(233−222)+(244−233)+(255−244)+⋯+(2n+1n+1−2nn)+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2 ，
由 Sn≥30 得： 2n+2n+2−2≥30 ，即 2n+2n+2≥32 ，
令 bn=2n+2n+2 ，则 bn+1bn=2(n+2)n+3>1 ，即数列 {bn} 是递增数列，
由 2n+2n+2≥32 ，得 bn≥32 ，而 b6=32 ，
因此， bn≥b6 ，从而得 n≥6 ， nmin=6 ，
所以满足不等式 Sn≥30 的 n 的最小值为6．
故答案为： an=n⋅2n+1 ；6
17.【答案】解：(1)若选择①：由已知条件及正弦定理，得 ba+c=a−cb+ca+c ，
即 b−ca+c=a−cb .整理得 b2+c2−a2=bc ．
由余弦定理， csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12 ．
又因为 A∈0,π ，所以 A=π3 ；
若选择②：因为 2acsB=2c−b ，由正弦定理得 2sinAcsB=2sinC−sinB ，
所以 2sinAcsB=2sinA+B−sinB=2sinAcsB+csAsinB−sinB ，
所以 2csAsinB−sinB=0 ，又 sinB≠0 ，所以 csA=12 ，因为 0若选择③：因为 a2−b2=accsB−12bc ，所以根据余弦定理，可得 a2−b2=ac⋅a2+c2−b22ac−12bc ，所以 b2+c2−a2=bc ，
所以 csA=b2+c2−a22bc=12 .因为 A∈0,π ，所以 A=π3 ．
(2)因为 a2=b2+c2−2bccs A=b2+c2−bc⩾2bc−bc=bc ，
所以 bc⩽4 ，当且仅当 b=c=2 时取等号．
又由图可知，因为 12bcsin A=12AD⋅a 且a=2 ，
所以 AD=12bcsin A= 34bc⩽ 3 ，
当且仅当 b=c=2 时取等号.故AD的最大值为 3 ．

【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，考查正弦定理及变形，两角和与差的正弦公式，由基本不等式求最值或取值范围，属于中等题．
(1)若选①，由题结合正弦定理可得 b2+c2−a2=bc ，后由余弦定理可得答案；若选②，由正弦定理得 2sinAcsB=2sinC−sinB ，结合 sinC=sinA+B 可得答案；若选③，则由余弦定理可得 a2−b2=ac⋅a2+c2−b22ac−12bc ，整理后由余弦定理可得答案；(2)由余弦定理， a=2 结合基本不等式可得 bc≤4 ，后由两种方式表示 S▵ABC ，即可得答案．
18.【答案】解：(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则 P(A)=C32C72C104=3×21210=310 ；
(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为 20100=15 ，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得 P(B)=15 ，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足 X∼B3,15 ，
P(X=0)=C30150453=64125,P(X=1)=C3115452=48125 ，
P(X=2)=C3215245=12125,P(X=3)=C33153450=1125 ．
所以X的分布列为
所以 E(X)=3×15=35 ．

【解析】本题考查二项分布的均值，利用二项分布求分布列，古典概率及其计算，属于中等题．
(1)先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的盒数，再利用古典概型求解即可；
(2)先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．
19.【答案】解：(1)完成列联表如图所示：
K2=40n(15n×10n−10n×5n)225n×15n×20n×20n=83n ，
由题意可得 5.024≤8n3<6.635 ，解得 1.884≤n<2.488125 ，
又因 n∈N* ，所以 n=2 ；
(2)由(1)得了解中国航天事业的学生有 25×2=50 人，
其中男生有 30 人，女生有 20 人，
则所抽取5人中男生有 30×550=3 人，设为A，B，C，女生有 20×550=2 人，设为a，b，
则从5人中再抽取3人的基本事件有：
ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,Aab,BCa,BCb,Bab,Cab, 共10种，
其中符合男生至少2人的基本事件有：
ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb, 共7种，
则至少有2名男生被第二次调查的概率 P=710 ．

【解析】本题考查独立性检验，分层随机抽样，古典概型及其计算，属于中等题．
(1)求出K2，再对照临界值表结合题意可得5.024≤K2<6.635，即可得解；
(2)先根据分层抽样求出所抽取5人中男生和女生的人数，再根据古典概型即可得解．
20.【答案】解：(1)∵由图1得： DC⊥CF ， DC⊥CB ，且 CF∩CB=C ，
∴在图2中 DC⊥ 平面 BCF ， ∠BCF 是二面角 F−DC−B 的平面角，
则 ∠BCF=60∘ ，又∵C是BF中点，∴CF=CB，∴ ▵BCF 是正三角形，且由题意有N是BC的中点， FN⊥BC ，
又 DC⊥ 平面BCF， FN⊂ 平面BCF，
可得 FN⊥CD ，而 BC∩CD=C ， BC,CD⊂ 平面ABCD．
∴ FN⊥ 平面ABCD，而 AD⊂ 平面 ABCD ，∴ FN⊥AD ．
(2)因为 FN⊥ 平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 N−xyz ，
则 A5, 3,0 ， B0, 3,0 ， D3,− 3,0 ， E1,0,3 ，设 Mx0,y0,z0，
∴ AM=x0−5,y0− 3,z0 ， AE=−4,− 3,3 ， AD=−2,−2 3,0 ， DE=−2, 3,3 ．
∵ AM=λAE ，∴ x0−5=−4λy0− 3=− 3λz0=3λ⇒x0=5−4λy0= 3− 3λz0=3λ ．
∴ M5−4λ, 3− 3λ,3λ ，∴ BM=5−4λ,− 3λ,3λ ，
设平面 ADE 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅AD=0n⋅DE=0⇒ −2x−2 3y=0−2x+ 3y+3z=0 ，取 n= 3,−1, 3 ，
设直线BM与平面ADE所成角为 θ ，
∴ sinθ=csn,BM=n⋅BMn⋅BM=5 3 3+1+3⋅ 28λ2−40λ+25=5 714 ，
∴ 28λ2−40λ+13=0 ，∴ λ=12 或 λ=1314 ．

【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的性质，属于中等题．
(1)由题可得 ∠BCF 是二面角 F−DC−B 的平面角，利用其可说明 FN⊥ 平面 ABCD ，即可证明结论；
(2)如图建立空间直角坐标系，设 Mx0,y0,z0 ，由 AMAE=λ ，可得 M5−4λ, 3− 3λ,3λ ，后表示出平面ADE的法向量，利用直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 5 714 得到关于 λ 的方程，即可得答案．
21.【答案】解：(1)抛物线的准线为 x=−p2 ，当 MD 与x轴垂直时，点M的横坐标为P，
此时 MF=p+p2=3 ，所以 p=2 ，
所以抛物线C的方程为 y2=4x ；
(2)[方法一]：【最优解】
设 My124,y1,Ny224,y2,Ay324,y3,By424,y4 ，直线 MN:x=my+1 ，
由 x=my+1y2=4x ，可得 y2−4my−4=0 ， Δ>0,y1y2=−4 ，
由斜率公式可得 kMN=y1−y2y124−y224=4y1+y2 ， kAB=y3−y4y324−y424=4y3+y4 ，
直线 MD:x=x1−2y1⋅y+2 ，代入抛物线方程可得 y2−4x1−2y1⋅y−8=0 ，
Δ>0,y1y3=−8 ，所以 y3=2y2 ，同理可得 y4=2y1 ，
所以 kAB=4y3+y4=42y1+y2=kMN2
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 α,β ，所以 kAB=tanβ=kMN2=tanα2 ，
若要使 α−β 最大，则 β∈0,π2 ，设 kMN=2kAB=2k>0 ，则 tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤12 1k⋅2k= 24 ，
当且仅当 1k=2k 即 k= 22 时，等号成立，
所以当 α−β 最大时， kAB= 22 ，设直线 AB:x= 2y+n ，
代入抛物线方程可得 y2−4 2y−4n=0 ，
Δ>0,y3y4=−4n=4y1y2=−16 ，所以 n=4 ，
所以直线 AB:x= 2y+4 ．
[方法二]：
由题可知，直线MN的斜率存在．
设 Mx1,y1,Nx2,y2,Ax3,y3,Bx4,y4 ，直线 MN:y=kx−1，
由 y=k(x−1)y2=4x 得： k2x2−2k2+4x+k2=0 ， x1x2=1，同理， y1y2=−4 ．
直线MD: y=y1x1−2(x−2) ，代入抛物线方程可得： x1x3=4 ，同理， x2x4=4 ．
代入抛物线方程可得： y1y3=−8 ，所以 y3=2y2 ，同理可得 y4=2y1 ，
由斜率公式可得： kAB=y4−y3x4−x3=2(y1−y2)4(1x2−1x1)=y2−y12(x2−x1)=12kMN，
(下同方法一)若要使 α−β 最大，则 β∈0,π2 ，
设 kMN=2kAB=2k>0 ，则 tan (α−β)=tan α−tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k⩽12 1k⋅2k= 24 ，
当且仅当 1k=2k 即 k= 22 时，等号成立，
所以当 α−β 最大时， kAB= 22 ，设直线 AB:x= 2y+n ，
代入抛物线方程可得 y2−4 2y−4n=0 ， Δ>0,y3y4=−4n=4y1y2=−16 ，所以 n=4 ，所以直线 AB:x= 2y+4 ．
[方法三]：三点共线
设 My124,y1,Ny224,y2,Ay324,y3,By424,y4 ，
设 Pt,0 ，若 P、M、N三点共线，由 PM=y124−t,y1,PN=y224−t,y2，
所以 y124−ty2=y224−ty1 ，化简得 y1y2=−4t ，
反之，若 y1y2=−4t ，可得MN过定点 t,0，
因此，由M、N、F三点共线，得 y1y2=−4 ，
由M、D、A三点共线，得 y1y3=−8 ，
由N、D、B三点共线，得 y2y4=−8 ，
则 y3y4=4y1y2=−16 ，AB过定点(4,0)，
(下同方法一)可得kMN=2kAB，
若要使 α−β 最大，则 β∈0,π2 ，
设 kMN=2kAB=2k>0 ，则 tan (α−β)=tan α−tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k⩽12 1k⋅2k= 24 ，
当且仅当 1k=2k 即 k= 22 时，等号成立，
所以当 α−β 最大时， kAB= 22 ，所以直线 AB:x= 2y+4 ．

【解析】本题考查抛物线的定义和方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化化归思想和运算求解能力，属于难题．
(1)由抛物线的定义可得 MF=p+p2 ，即可得解；
(2)法一：设点的坐标及直线 MN:x=my+1 ，由根与系数的关系及斜率公式可得 kMN=2kAB ，再由两角差的正切公式及基本不等式可得 kAB= 22 ，设直线 AB:x= 2y+n ，结合根与系数的关系可解；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，找到直线 AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
22.【答案】解：(1)因为函数 fx=lnx+1x>−1 ，所以 f′x=1x+1 ，
∴ f′0=1 ，∴ f0=0，
所以函数 fx 在 x=0 处的切线方程 y=x ．
(2)设 gx=lnx+1−x x>−1 ，则 g′x=1x+1−1=−xx+1 ，
所以 gx 在 −1,0 单调递增，在 0,+∞ 单调递减，
又 g0=0 ，故 gx≤0 ，即当 x>−1 时， lnx+1≤x (*)．
令 hx=x−a2ex+a ， x>−1 ，
h′x=1−a2ex ，令 h′x=0 得 x=−2lna≤0 ，
当 −2lna≤−1 即 a≥ e 时， h′x<0 ，有 hx 在 −1,+∞ 上单调递减，
所以 hx当 −2lna>−1 即 1≤a< e 时，有 hx 在 −1,−2lna 单调递增，在 −2lna,+∞ 单调递减，
所以 hx≤h−2lna=−2lna+a−1 ，
令 φa=2lna−a+1 ， φ′a=2a−1>2 e−1>0 ，
所以 φa 在 1, e 单调递增，有 φa≥φ1=0 ，所以 hx≤0 ，
故 a≥1 时， hx≤0 对 x∈−1,+∞ 恒成立，即 x≤a2ex−a 对 x∈−1,+∞ 恒成立，
由(*)可知 lnx+1≤x ，
因此，当 a≥1 时， lnx+1≤a2ex−a ．

【解析】本题考查利用导数解不等式，求曲线上一点的切线方程，属于较难题．
(1)利用导数的几何意义求出斜线的斜率，再求出切点坐标，利用点斜式写出斜线方程；
(2)先证明 lnx+1≤x ，再证明 x≤a2ex−a 即可．
牛排种类
菲力牛排
肉眼牛排
西冷牛排
T骨牛排
数量/盒
20
30
20
30
男生
女生
合计
了解
10n
不了解
5n
合计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
男生
女生
合计
了解
15n
10n
25n
不了解
5n
10n
15n
合计
20n
20n
40n