2023-2024学年北京市数学九年级第一学期期末统考试题

这是一份2023-2024学年北京市数学九年级第一学期期末统考试题，共18页。试卷主要包含了若两个相似三角形的面积之比为1，若函数y＝等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
A．2B．4C．6D．8
2．一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
5．在中，∠C=90°，∠A=2∠B，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AB=AD且AC⊥BDB．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BDD．AC和BD互相垂直平分
7．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
8．如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D在半径OA上，点F在半径OB上，点E在弧AB上，则扇形与正方形的面积比是（ ）
A．π：8B．5π：8C．π：4D．π：4
9．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）．
A．-1B．2C．-1或2D．-1或2或1
10．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
11．已知P是△ABC的重心，且PE∥BC交AB于点E，BC＝，则PE的长为（ ）.
A．B．C．D．
12．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点为60°角与直尺交点，点为光盘与直尺唯一交点，若，则光盘的直径是（ ）．
A．B．C．6D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球_____个．
14．若3a＝4b（b≠0），则＝_____．
15．小慧准备给妈妈打个电话，但她只记得号码的前位，后三位由，，这三个数字组成，具体顺序忘记了，则她第一次试拨就拨通电话的概率是________．
16．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为 ．
17．函数是关于反比例函数，则它的图象不经过______的象限.
18．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______
三、解答题（共78分）
19．（8分）把一根长为米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为米，面积为S米，
(1)求S关于的函数表达式和的取值范围
(2)为何值时，S最大？最大为多少？
20．（8分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
21．（8分）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
22．（10分）如图1，中，，是的中点，平分交于点，在的延长线上且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2若四边形是菱形，连接，，与交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．
23．（10分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题：
（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求CD的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）若∠A=60°，AC=，求菱形BECD的面积.
26．如图所示，在中，于点E，于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 ；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；
∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°
∴∠ECD=∠CFD
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
有 ；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故选：B．
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
2、D
【解析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：绿球的概率：P＝＝，
故选：D．
本题考查概率相关概念，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
3、D
【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.
【详解】因
则点位于第四象限
故选：D.
本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟记象限的性质是解题关键.
4、B
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
5、C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的值，运用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B，∠C=90°，
∴2∠B+∠B+90°=180°，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴．
故选：C．
本题考查了三角形内角和定理的应用以及特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
6、B
【解析】解：A．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B．根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
C．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选B．
7、A
【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：1，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)
∴它们的周长之比为1：1．
故选A．
【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．
8、B
【分析】连接OE，设正方形的边长为a．根据等腰直角三角形的性质，得OC=CF=a，在直角三角形OFC中，根据勾股定理列方程，用a表示出r的值，再根据扇形及正方形的面积公式求解．
【详解】解：连接OE，设正方形的边长为a，则正方形CDEF的面积是a2，
在Rt△OCF中，a2+（2a）2=r2，即r=a，
扇形与正方形的面积比=：a2=：a2=5π：1．
故选B．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
9、D
【分析】当a-1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到，再求解关于a的方程即可得到答案．
【详解】当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝-4x+2，它与x轴有一个交点；
当a﹣1≠0时，根据题意得
解得a＝-1或a＝2
综上所述，a的值为-1或2或1．
故选：D．
本题考察了一次函数、二次函数图像、一元二次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的性质，从而完成求解．
10、C
【解析】解：A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
C．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：≈0.33；故此选项正确；
D．任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误．
故选C．
11、A
【分析】如图，连接AP，延长AP交BC于D，根据重心的性质可得点D为BC中点，AP=2PD，由PE//BC可得△AEP∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求出PE的长.
【详解】如图，连接AP，延长AP交BC于D，
∵点P为△ABC的重心，BC=，
∴BD=BC=，AP=2PD，
∴，
∵PE//BC，
∴△AEP∽△ABD，
∴，
∴PE===.
故选：A.
本题考查三角形重心的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
12、A
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接，由切线长定理得出、，根据可得答案．
【详解】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如下图所示：
由切线长定理知 ，
∴ ，
在中，
∴
∴光盘的直径为 ，
故选．
本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】解：设红球有n个
由题意得：，
解得：n=1．
故答案为=1．
14、
【分析】依据3a＝4b，即可得到a＝b，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵3a＝4b，
∴a＝b，
∴＝＝＝．
故答案为：．
本题主要考查了比例的性质，求出a＝b是解题的关键．
15、
【解析】首先根据题意可得：可能的结果有：512，521，152，125，251，215；然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵她只记得号码的前5位，后三位由5，1，2，这三个数字组成，
∴可能的结果有：512，521，152，125，251，215；
∴他第一次就拨通电话的概率是：
故答案为.
考查概率的求法，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的之比.
16、1．
【解析】试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=1.
故答案为1.
考点：1一元二次方程；2三角形.
17、第一、三象限
【解析】试题解析：函数是关于的反比例函数，

解得：
比例系数
它的图象在第二、四象限,不经过第一、三象限.
故答案为第一、三象限.
18、m=-1
【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，
而m-1≠0，
所以m的值为-1．
故答案是：-1．
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
三、解答题（共78分）
19、 (1) S=-+2x (0