八年级上数学寒假作业 (10)

这是一份八年级上数学寒假作业 (10)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列分式中，是最简分式是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若a，3，8是三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 若将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值（ ）
A. 1B. C. 变相反数D. 不变
6. 如图中，平分，则的面积为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
7. 如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 与《九章算术》类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 设，若，则（ ）
A. B. C. 3D. 3或
10. 如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，若，则 （ ）
A. B. C. D.
11. 若关于x的不等式组有解，且关于y的方程的解是正数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
12. 用等长火柴棒按如图所示的规律组成的塔式三角形，图①中有1个等边三角形，图②中有5个等边三角形，图③中有13个等边三角形，那么图④中等边三角形的个数是（ ）
A. 21B. 24C. 26D. 27
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 芯片正在成为需求的焦点，其中的米，将用科学记数法表示_________．
14. 在中，若，则的形状是_________三角形（填钝角、直角和锐角）．
15. 如图所示，若大正方形与小正方形的面积之差是20，则与的面积之和是_________
16. 为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是_________．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解答下面问题：
（1）解方程：；
（2）分解因式：．
18. 在如图所示的中，平分．作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接．求证：．
（1）用尺规在答题卷上完成作图，并标上字母，保留作图痕迹，不写作法；
（2）下面是证明的过程，请按序号在答题卷上将题中横线处补充完整．
证明：
∵平分 ，
∴ ① ，
又∵垂直平分，
∴，
∴．
∴ ② ，
在和中，，
，
∴（ ③ 用字母表示），
∴ ④ ，
∵．
∴．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图中，点D在上，已知．
（1）求的大小；
（2）若，，求的周长．
20. 已知代数式．
（1）化简已知代数式；
（2）若a满足，求已知代数式的值．
21. 如图，已知和的顶点A重合，，，连接交于点M．
（1）证明：；
（2）若，求的大小．
22. 篮球运动是深受年轻人喜爱的运动．今年，“重庆市篮球超级联赛”在忠县三峡港湾电竞馆举行，某商家抓住商机进货，花6000元购进了运动服，花6400元购进了运动鞋，已知一双运动鞋比一套运动服的进价多40元，并且购进运动服的数量是运动鞋的1.25倍．
（1）求该商家购进运动服和运动鞋的数量分别是多少；
（2）该商家分别以200元和160元的单价销售运动鞋和运动服，在运动鞋售出，运动服售出后，为了尽快回笼资金，商家决定对剩余的运动鞋每双打a折销售，对剩余的运动服每套降价3a元销售，很快全部售完，若要保证该商家总利润为2600元，求a的值．
23. 当一个正整数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“亲和数”，例如：879，因为8＋7＋9＝24，则879为“亲和数”；又如：678492，因为6＋7＋8＋4＋9＋2＝36，则678492也是“亲和数”．
（1）直接判断12，139，47364是否为“亲和数”；
（2）写出最小的四位“亲和数”和最大的四位“亲和数”：
（3）若一个四位“亲和数”的十位数字是千位数字的3倍，且个位数字比百位数字小2，求所有满足条件的四位“亲和数”．
24. 对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题：
（1）判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由．
（2）若，是“易解方程”的两个解，求的值；
（3）设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值．
25. 在如图中，，，点D在上，点E在上．
（1）如图①，若，，，求的长；
（2）如图②，过B点作交的延长线于点F，过C点作于E，求证：；
（3）如图③，若，点H在线段上，且，点M、N分别是射线、上动点，试问在点M、N运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由．
八年级上数学寒假作业
（本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称的定义，即图形沿某条直线折叠后，能与原图形的另一部分重合，据此即可一一判定．
【详解】解：选项A、B、C的图形都是轴对称图形，选项D的图形不是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的定义，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，即可一一判定．
【详解】解：A.是最简分式，故该选项符合题意；
B.，故该选项不是最简分式，不符合题意；
C.，故该选项不是最简分式，不符合题意；
D.，故该选项不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式的判定及分式的性质，理解最简分式的定义是解决本题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方和幂的乘方、合并同类项法则以及完全平方公式计算出各选项后再进行判断即可得到答案．
【详解】解：A. ，选项A计算正确，符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C. ，故此选项计算错误，不符合题意；
D. ，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式，熟练掌握相关法则和公式是解答本题的关键．
4. 若a，3，8是三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，
即，
故选：C
【点睛】此题考查了三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
5. 若将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值（ ）
A. 1B. C. 变为相反数D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】把x，y的值都变为它们的相反数，代入原式计算，根据结果即可判定．
【详解】解：当x，y的值都变为它们的相反数时，
得，
故将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简，在解题时要注意对分式基本性质的灵活应用．
6. 如图中，平分，则的面积为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】过点D作于点F，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，属于基础题目，正确添加辅助线、得出是解题关键．
7. 如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解决本题的关键．
8. 与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，再根据善行者行800尺的时间与不善行者行600尺的时间相同列出方程即可．
【详解】解：设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，
由题意得，，即，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9. 设，若，则（ ）
A. B. C. 3D. 3或
【答案】A
【解析】
【分析】首先将原式运用完全平方公式进行变形即可求解．
【详解】解：
①
同理，
又
②
①+②得，
①-②得，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式解方程，正确运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．
10. 如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据折叠求出和的补角，再求即可．
【详解】∵将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，
∴的补角为，的补角为，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据折叠的性质得到和的关系是解题的关键．
11. 若关于x的不等式组有解，且关于y的方程的解是正数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组，根据关于x的不等式组有解，可得a的取值范围；再解分式方程，根据关于y的方程的解是正数，可得a的取值范围，可确定满足条件的整数a的值，进一步求和即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于x的不等式组有解，
∴，
解方程，
去分母，得
解得，
∵关于y的方程的解是正数，
∴且，
∴且，
解得且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组等，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键．
12. 用等长火柴棒按如图所示的规律组成的塔式三角形，图①中有1个等边三角形，图②中有5个等边三角形，图③中有13个等边三角形，那么图④中等边三角形的个数是（ ）
A. 21B. 24C. 26D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形的变化即可求解．
【详解】解：如图，将等边三角形各边四等分可得图形④是由3个图形③拼接而成，再去掉重复的，
故可得图④中等边三角形的个数是
故选：D
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 芯片正在成为需求的焦点，其中的米，将用科学记数法表示_________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14. 在中，若，则的形状是_________三角形（填钝角、直角和锐角）．
【答案】锐角
【解析】
【分析】根据三角形的内角和，以及三角形的三个角之间的比例，计算出最大角的度数，并且判断出三角形的类型即可．
【详解】∵三角形内角和为，，
∴，
即为锐角，
故答案为锐角．
【点睛】本题考查三角形的内角和，三角形的分类，能够根据三个角之间的比例计算出每个角的度数是解决本题的关键．
15. 如图所示，若大正方形与小正方形的面积之差是20，则与的面积之和是_________
【答案】10
【解析】
【分析】设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则，然后根据三角形面积公式计算整式的乘法和加减，进而可得答案．
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则，
所以，
则与的面积之和是：
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出三角形面积．
16. 为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是_________．
【答案】
【解析】
【分析】设A的单价为元，B的单价为元，C的单价为元，算出甲、乙各自的成本和售价，再设甲、乙两种工艺品的销售件数，再利用利润率公式进行计算即可．
【详解】解：设A的单价为元，B的单价为元，C的单价为元，
由题意可知，甲的成本为：，
化简得，
乙的成本为，
甲的售价为：，
乙的售价为：
设甲、乙两种工艺品的销售件数分别是a件、b件，
则总利润为：，
∴利润率为，
整理得，，
即，
即甲、乙两种工艺品的销售件数之比是．
故答案为：
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，利润、成本与利润率之间的关系的应用，理解题意列出等量关系是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解答下面问题：
（1）解方程：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照解分式方程的步骤解方程，即可求解；
（2）利用提公因式法及平方差公式，即可分解因式．
小问1详解】
解：原方程可化为，
解得，
经检验是原分式方程的解，
所以，原方程的解为；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了解分式方程，分解因式，熟练掌握和运用解分式方程的步骤及分解因式的方法是解决本题的关键．
18. 在如图所示的中，平分．作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接．求证：．
（1）用尺规在答题卷上完成作图，并标上字母，保留作图痕迹，不写作法；
（2）下面是证明的过程，请按序号在答题卷上将题中横线处补充完整．
证明：
∵平分 ，
∴ ① ，
又∵垂直平分，
∴，
∴．
∴ ② ，
在和中，，
，
∴（ ③ 用字母表示），
∴ ④ ，
∵．
∴．
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质证明即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：
∵平分 ，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴．
∴，
在和中，，
，
∴（），
∴，
∵．
∴．
故答案为；；；．
【点睛】本题考查作图-基本作图，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图中，点D在上，已知．
（1）求的大小；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】(1)根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求解；
(2)首先根据题意可得，可得，再根据三角形外角的性质可得，可证得是等边三角形，据此即可求解．
【小问1详解】
解：
，，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，，
又，
是等边三角形，
的周长为6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
20. 已知代数式．
（1）化简已知代数式；
（2）若a满足，求已知代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)首先算括号内的及进行因式分解，再把除法运算变为乘法运算，即可求得结果；
(2)由题意得，再把此式代入化简后的式子，即可求得结果．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：由，得，
所以，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，代数式求值问题，准确计算是解决本题的关键．
21. 如图，已知和的顶点A重合，，，连接交于点M．
（1）证明：；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由得到，证明，即可得到结论；
（2）由等边对等角得到，由三角形内角和定理可得，在和中，，，即可得到的大小．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
设与交于点F，由（1）得，
在和中，，，
∴．
【点睛】此题考查了三角形全等判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，证明是解题的关键．
22. 篮球运动是深受年轻人喜爱的运动．今年，“重庆市篮球超级联赛”在忠县三峡港湾电竞馆举行，某商家抓住商机进货，花6000元购进了运动服，花6400元购进了运动鞋，已知一双运动鞋比一套运动服的进价多40元，并且购进运动服的数量是运动鞋的1.25倍．
（1）求该商家购进运动服和运动鞋的数量分别是多少；
（2）该商家分别以200元和160元的单价销售运动鞋和运动服，在运动鞋售出，运动服售出后，为了尽快回笼资金，商家决定对剩余的运动鞋每双打a折销售，对剩余的运动服每套降价3a元销售，很快全部售完，若要保证该商家总利润为2600元，求a的值．
【答案】（1）购买运动鞋的数量是40双，运动服的数量是50套
（2）8
【解析】
【分析】（1）设购买运动鞋的数量是x双，则购运动服的数量是1.25x套，根据“一双运动鞋比一套运动服的进价多40元”列分式方程求解并检验即可；
（2）根据题意得每双运动鞋的进价160元，每套运动服进价120元，结合“总利润为2600元”列出方程求解即可
【小问1详解】
设购买运动鞋的数量是x双，则购运动服的数量是1.25x套，
根据题意可列方程：，
解得：，
经检验是原方程的根，
运动服的数量是（套），
答：购买运动鞋的数量是40双，运动服的数量是50套；
【小问2详解】
依题意每双运动鞋的进价160元，每套运动服进价120元，
故，
整理得，
解得，
答：a的值为8
【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次方程．
23. 当一个正整数各个数位上数字之和为12的倍数，则称其为“亲和数”，例如：879，因为8＋7＋9＝24，则879为“亲和数”；又如：678492，因为6＋7＋8＋4＋9＋2＝36，则678492也是“亲和数”．
（1）直接判断12，139，47364是否为“亲和数”；
（2）写出最小的四位“亲和数”和最大的四位“亲和数”：
（3）若一个四位“亲和数”的十位数字是千位数字的3倍，且个位数字比百位数字小2，求所有满足条件的四位“亲和数”．
【答案】（1）12不是“亲和数”，139不是“亲和数”，47364是“亲和数”
（2）最小的四位“亲和数”为1029；最大的四位“亲和数”是9999
（3）1533，2361，2967，3795
【解析】
【分析】（1）先求各位数字之和，再判断即可得出结论；
（2）根据新定义，即可得出结论；
（3）设千位数字为a，百位数字为b，则十位数字，个位数字为，则，a，b都是自然数，且是12的倍数，分析判断即可得出结论．
【小问1详解】
∵，
而3不是12的倍数，
∴12不是“亲和数”；
∵，
而13不是12的倍数，
∴139不是“亲和数”；
∵
而24是12的2倍，
∴47364是“亲和数”；
【小问2详解】
∵，
而12是12本身，
∴1029是最小的四位“亲和数”．
∵，
而36是12的3倍，
∴9999是最大的四位“亲和数”．
【小问3详解】
设千位数字为a，百位数字为b，则十位数字，个位数字为，则，a，b都是自然数，且是12的倍数，
当时，要使是12倍数，必有，则，
当时，或24，则或9，
当时，，则，
故所有满足条件的四位“亲和数”为：1533，2361，2967，3795
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，新定义，倍数问题，理解新定义是解本题的关键．
24. 对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题：
（1）判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由．
（2）若，是“易解方程”的两个解，求的值；
（3）设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值．
【答案】（1）是“易解方程”， ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）可化为，根据“易解方程”的定义即可判断；
（2）根据“易解方程”的定义可知，，代入即可求解；
（3）设，方程可化为，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入即可求解．
【小问1详解】
解：是“易解方程”，
理由：可化为，，
∴是“易解方程”．
该方程的解为，；
【小问2详解】
解：由题意可得，，
故；
【小问3详解】
解：由题意得是“易解方程”，
设，方程可化为，
易知n和是这个方程的解，
∵n为自然数，
∴，
∴必有，，
∴，，
∴．
【点睛】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值等，理解题中“易解方程”的定义是解题的关键．
25. 在如图中，，，点D在上，点E在上．
（1）如图①，若，，，求的长；
（2）如图②，过B点作交的延长线于点F，过C点作于E，求证：；
（3）如图③，若，点H在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，试问在点M、N运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，最小值为3
【解析】
【分析】对于（1），先作，交的延长线于点P，连接，再根据证明，可知，然后根据含直角三角形的性质得出答案；
对于（2），在上取点G，连接，，使，再根据证明，可得是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案；
对于（3），作点E关于直线的对称点，作点H作直线的对称点，可知，当四点、M、N、共线时，此时的最小值为，可确定点M、N，然后判断为等边三角形，即可得出答案．
【小问1详解】
过点C作，交的延长线于点P，连接，
∵，
∴，则，
∴，由题意和辅助线得和都是的余角，
∴．
又∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴在直角中，，，
∴；
【小问2详解】
在上取点G，连接，，使．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，由，
∴，
即是等腰直角三角形，
由，
∴点E是的中点，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
存在最小值为3．
作点E关于直线的对称点，
作点H作直线的对称点，则，
当四点、M、N、共线时，此时的最小值为，
连接，分别与、于交点即是所找的点M、N，
可知，，
∴，，
∴为等边三角形，
所以．
∴的最小值为3.