八年级上数学寒假作业 (26)

这是一份八年级上数学寒假作业 (26)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 4，4，8
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列等式成立是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6. 如图，已知，，不正确等式是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（ ）

A cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
8. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点 分别是 平分线上的点， 于点， 于点 ，下列结论错误的（ ）
A. B. 与互余的角有两个C. D. 点是的中点
10. 如图所示，已知是的平分线，垂直平分，垂足是，交的延长线于，下列结论不正确的是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 当x=___时，分式无意义．
12. 一个长方形的面积为a3－2a2＋a，宽为a，则长方形的长为___________.
13. 已知：如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使AOB≌DOC，你补充的条件是_________．
14. 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点．△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积为_______cm2．
15. 如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是________．
16. 如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．
17. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是_________，其面积为_________．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18. 已知，求的值．
19. 计算：．
20. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
22. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，．

（1）画出关于轴对称的图形；
（2）写出、的坐标（直接写出答案）_______；______．
（3）写出的面积为_______；（直接写出答案）
（4）在轴上求作一点，使得点到点与点的距离之和最小．
23. 从沈阳到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍．
（1）求普通列车的行驶路程．
（2）若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度（千米/时)的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短小时，求高铁的平均速度．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24. 已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

（1）如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．
（2）如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．
（3）如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．
25. 对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：
若点Q满足，则称点Q为线段“中垂点”；当时，称点Q为线段的“完美中垂点”．
（1）如图1，，下列各点中，线段中垂点是__________
（2）如图2，点A为x轴上一点，若为线段OA的“完美中垂点”，则线段OQ的两个“完美中垂点”的坐标是______和________，两者的距离是________
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点在y轴上，在线段上方画出线段的“完美中垂点”M，直接写出________（用含m的式子表示）．并求出．
八年级上数学寒假作业
一、选择题（请把答案填入下列方框内，每小题3分，共30分）
1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 4，4，8
【答案】C
【解析】
【详解】选项A，3+4<8，不能构成三角形，
选项B，5+6=11，不能构成三角形，
选项C，5+6>10,6-5<10,可以构成三角形，
选项D，4+4=8，不能构成三角形，
所以选C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法和除法、幂的乘方和积的乘方的运算性质，利用排除法求解．
【详解】A、应为a3•a4=a7，故本选项错误；
B、应为（a3）4=a12，故本选项错误；
C、每个因式都分别乘方，正确；
D、应为，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘法和除法、幂的乘方和积的乘方的运算运算法则是解答本题的关键．
4. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的基本性质及分式的加法法则进行即可．
【详解】解：∵，
∴A成立，符合题意；
∵，
∴B不成立，不符合题意；
∵，
∴C不成立，不符合题意；
∵，
∴D不成立，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的加法，熟练掌握性质和运算法则是解题的关键．
5. 下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】能用平方差公式分解因式的多项式的特征是两个数的平方差，
所以①②不能，③④能.
故选B．
6. 如图，已知，，不正确的等式是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故B选项、C选项正确，D选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（ ）

A. cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半得出AE＝2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED＝CE，即可得出CE的值．
【详解】∵ED⊥AB，∠A＝30°，∴AE＝2ED．
∵AE＝6cm，∴ED＝3cm．
∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，∴ED＝CE，∴CE＝3cm．
故选C．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED＝CE．
8. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额=第二次人均捐款额，据此列出方程即可．
【详解】解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意，有
=，
故选B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9. 如图，点 分别是 平分线上点， 于点， 于点 ，下列结论错误的（ ）
A. B. 与互余的角有两个C. D. 点是的中点
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得， 可以证明A选项正确；同样可得，可以证明C选项正确；证明 得 ，同理 ，可以证明D选项正确；
【详解】解：A、平分 ，，

同理： ，

选项正确，不符合题意；
B、与互余的角有： ；选项错误，符合题意；
C、 ；选项正确，不符合题意；
D、，


同理：
，即点是的中点；选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
10. 如图所示，已知是的平分线，垂直平分，垂足是，交的延长线于，下列结论不正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，故A正确；
∵不一定是等腰三角形，
∴不能证明，故B错误；
∵垂直平分，
∴，故C正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 当x=___时，分式无意义．
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：根据分式分母为0分式无意义的条件，要使在实数范围内有意义，必须x﹣2=0，即x=2．
12. 一个长方形的面积为a3－2a2＋a，宽为a，则长方形的长为___________.
【答案】(a－1)2
【解析】
【详解】根据题意得，(a3－2a2＋a)÷a=a2-2a+1=(a-1)2.
故答案为(a-1)2.
13. 已知：如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使AOB≌DOC，你补充的条件是_________．
【答案】AO=DO
【解析】
【分析】由已知条件可得∠A＝∠D，对顶角∠AOB＝∠DOC，应添加一对对应边相等，可添加AO=DO，或AB=DC,或BO=CO，再利用ASA，或AAS判定即可．
【详解】解：添加AO=DO，
在AOB与DOC中，
∠A＝∠D，AO=DO，∠AOB＝∠DOC，
AOB≌DOC（ASA），
故答案为：AO=DO．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点．△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积为_______cm2．
【答案】9
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是：明白利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
15. 如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是________．
【答案】6
【解析】
【分析】连接OD．由题意可知OP＝DP＝OD，即△PDO为等边三角形，所以∠OPA＝∠PDB＝∠DPA=60°，推出△OPA≌△PDB，根据全等三角形的对应边相等知OA＝BP＝3，则AP＝AB−BP＝6．
【详解】解：如图，连接OD，
∵PO＝PD，
∴OP＝DP＝OD，
∴△PDO为等边三角形，即∠DPO＝60°，
∵等边△ABC，
∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，
∴∠OPA＝180°−60°−∠DPA=120°−∠DPA
∠PDB＝180°−∠DPA−60°=120°−∠DPA
∴∠OPA=∠PDB，
∴ 在△OPA和△PDB中，
∴△OPA≌△PDB（AAS），
∵AO＝3，
∴AO＝PB＝3，
∴AP＝6．
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，关键在于求证△OPA≌△PDB．
16. 如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．
【答案】74
【解析】
【分析】首先根据三角形角平分线的定义求出∠BCE，然后在Rt△CBD中求出∠BCD，从而得到∠DCF，最终在Rt△CDF中求解即可得出结论．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°-40°-72°=68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD＋∠B=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-72°=18°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF＋∠CDF=90°，
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-16°=74°，
故答案为：74．
【点睛】本题考查三角形中角平分线相关的角度计算，掌握三角形中角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余是解题关键．
17. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是_________，其面积为_________．
【答案】 ①. 或 ②. 25
【解析】
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，

∵，
∴，
∴三角形的顶角为；
∵，
∴，
∴；
②当为钝角三角形时，如图2，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形的顶角为；
∵，
∴，
∴．
∴该等腰三角形的顶角的度数为或，面积为25．
故答案为：或，25．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18. 已知，求的值．
【答案】13
【解析】
【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，然后将整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】解：
，
∵，
∴原式.
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．
【详解】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【答案】△ABC是等边三角形．证明见解析
【解析】
【分析】直接利用因式分解法将原式变形进而分解因式即可.
【详解】△ABC是等边三角形，
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
则a=b，b=c，
故a=b=c，
则△ABC是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
22. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，．

（1）画出关于轴对称的图形；
（2）写出、的坐标（直接写出答案）_______；______．
（3）写出的面积为_______；（直接写出答案）
（4）在轴上求作一点，使得点到点与点的距离之和最小．
【答案】（1）作图见解析
（2）；
（3）
（4）作图见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出A，， 的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）利用割补法求三角形面积；
（4）连接交轴于点，连接，点即为所作．
【小问1详解】
解：如图，分别作出A，， 的对应点，，，
连接，，，
则'即为所作．
【小问2详解】
如图，，，，
故答案为：；．
【小问3详解】
，
故答案：．
【小问4详解】
如图，连接交轴于点，连接，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴最小值为，
即此时点到点与点的距离之和最小，
则点即为所作．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，坐标与图形，两点之间线段最短，利用割补法求三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 从沈阳到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍．
（1）求普通列车的行驶路程．
（2）若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度（千米/时)的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短小时，求高铁的平均速度．
【答案】（1）普通列车的行驶路程是千米； （2）高铁的平均速度是千米/时
【解析】
【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【详解】（1）根据题意得：
400×1.3=520（千米），
答：普通列车的行驶路程是520千米；
（2）设普通列车平均速度是千米/时，则高铁平均速度是千米/时，根据题意得：
．
解得，
经检验是原方程根，且符合题意，
所以高铁的平均速度是(千米/时)．
答：高铁的平均速度是千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24. 已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

（1）如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．
（2）如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．
（3）如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．
【答案】（1）；
（2）成立；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，、的平分线相交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，可得出等腰三角形的个数；根据等腰三角形的性质，即可得出与、之间的关系；
（2）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系；
（3）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵、的平分线相交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴等腰三角形有：，，，，，共个，
与、的数量关系是：，
故答案为：；．
【小问2详解】
与、数量关系是：．理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【小问3详解】
与、间的数量关系是：．
理由如下：
∵，
∴，，
又∵，分别是与的角平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质．线段间的等量代换是解题的关键．
25. 对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：
若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，称点Q为线段的“完美中垂点”．
（1）如图1，，下列各点中，线段的中垂点是__________
（2）如图2，点A为x轴上一点，若为线段OA的“完美中垂点”，则线段OQ的两个“完美中垂点”的坐标是______和________，两者的距离是________
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点在y轴上，在线段上方画出线段的“完美中垂点”M，直接写出________（用含m的式子表示）．并求出．
【答案】（1）
（2），，
（3）
【解析】
【分析】（1）由“中垂点”定义即可求解；
（2）画出图形，根据等边三角形性质求解即可；
（3）分别以为圆心，以的长为半径画弧，二者的交点即为M；证明根据全等三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
解：∵，
∴线段的垂直平分线为直线，
∵Q是线段的中垂点，
∴点Q在线段的垂直平分线上，即点Q在直线上，
∴点Q的横坐标为2，
∴只有是线段的中垂点，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵Q为线段的“完美中垂点”，
∴，即为线段的一个“完美中垂点”，
设线段的另外一个“完美中垂点”为L，如下图所示，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∴
故答案为：，，；
【小问3详解】
解：如图，分别以A、P为圆心，以的长为半径画弧，二者的交点即为M；
∵M是的“完美中垂点”，点Q为线段的“完美中垂点”
∴，
∴和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴．
故答案为：m