二次函数-寒假教案

一、知识梳理

（一）、二次函数的图象和性质

1．二次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

 二次函数的图象是一条抛物线．顶点为（－，），对称轴x=－

相关增减性画图理解

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。

3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．

注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”

（二）、抛物线的特征与a、b、c的关系

1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；  抛物线开口向下，则a＜0．

2、b的符号由对称轴决定，

若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－＜0，即＞0，则a、b为同号

若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－＞0，即＜0．则a、b异号．即“左同右异”．

3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．

若抛物线交y轴于正半，则c＞0;

若抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；

若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．

若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；

有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

5、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线(a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标，

a－b+c是抛物线(a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．（x=2，-2时的函数值也会涉及）

（三）、二次函数解析式求法

 ⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

 ⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；

 ⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）。

 注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。

（四）、根据二次函数图象解一元二次方程的近似解

1．二次函数与一元二次方程的关系：

  （1）一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

  （2）二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

    解题小诀窍：抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| x1－x2|来表示。

二、巩固练习

1.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）

A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）

2.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为

A.-1      B.2        C.0或2       D.-1或2

3.如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（   ）

[来源:学§科§网]

A．1个                  B．2个              C．3个            D．4个

4.已知二次函数（为常数）.

（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；

（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？

5.如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．

（1）求线段AD的长；

（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

6.如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．

（1）求a，b的值．

（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．

7.如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

8.已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，.

（1）判断顶点是否在直线上，并说明理由.

（2）如图1，若二次函数图象也经过点，，且，根据图象，写出的取值范围.

（3）如图2，点坐标为，点在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小.

9.平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴有两个交点．

（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；

（2）过点P(0，m﹣1)作直线l⊥y轴，二次函数的图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．

10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC.
 

（1）求点A、B、D的坐标；   

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；   

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.   

11.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克， 为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元千克，y关于x的函数解析式为y= ，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克， 每天的利润是W元(利润=销售收入一成本)

(1)m= _______，n=_______；

(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大?最大利润是多少?

(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天?

12.如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为、是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；

（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值.