黑龙江省大庆市肇州二中2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题

这是一份黑龙江省大庆市肇州二中2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了设集合，，则中元素的个数为，已知中，，，，为的外心，若，已知，则，下列命题为真命题的是，下列各式计算正确的有等内容，欢迎下载使用。

选择题：（本大题共8小题，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．已知中，，，，为的外心，若
，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．4D．
7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
8．设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．下列各式计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列B．
C．数列的前项和为D．数列的前项和为
12．如图三棱锥中，点为边中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数使得
B．当两两垂直时，
C．当两两所成角为且为中点时；
D．当两两垂直时，为中点，是锥体表面上一点，若，则动点运动形成的路径长为
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若（为虚数单位），则 ．
14．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
15．某企业2021年年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为 万元．（结果取整数，参考数据：1.24≈2.07，1.25≈2.49）
16．三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程）
17．已知，记．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，求．
18．如图，在正方体中， E、F分别是，CD的中点，
(1)求证：平面ADE；
(2)求异面直线EF，CB1所成的角
19．已知数列满足，．
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求．
20．如图甲，已知在长方形中，，，为的中点.将沿折起，如图乙，使得平面平面.

(1)求证：平面；
(2)若点是线段上一动点，点在何位置时，平面与平面的夹角为.
21．设数列，满足，，，且数列是等差数列，数列是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由．
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，都有，求的取值范围
参考答案：
1．C
【分析】解一元二次不等式可得，求出集合，即可得出结论.
【详解】解不等式可得，即可得；
易知，
所以，即中元素的个数为4个.
故选：C
2．C
【分析】先判断定义域是否相同，再看解析式是否相同即可.
【详解】对于A：定义域都为，，，值域不同，故A错误；
对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误；
对于C：定义域为，定义域为，
且，C正确；
对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，
故选：C
3．A
【分析】根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】过作，垂足分别为，显然为的中点，
所以，即，
因为，
所以有，
故选：A.

4．B
【分析】利用诱导公式即可得到答案.
【详解】，
故选：B．
5．D
【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可.
【详解】根据幂函数性质，知函数、，在上递增，ABC都不是；
而在上递减，且为偶函数，图象关于y轴对称，D是.
故选：D
6．C
【分析】根据已知得出，，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案.
【详解】数列是公差为2的等差数列，
，，
成等比数列，
，即，解得，
故选：C.
7．A
【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
又因为对任意，且，满足，
即对任意，都有，
故函数是幂函数且在上单调递增，
所以，
所以，
则，明显为上的奇函数，
由得，
所以，
所以.
故选：A.
8．D
【分析】先由化简得递推关系，从而求得通项及前项和，要使能成立，即能成立，令，转化为求解的最小值即可.
【详解】由
得，
则有对任意成立，
又，则，
故，且
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由得，，
分离参数得，，
令
则
令，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
由，则当时，
当时，恒有，
又，故的最小值为.
若存在，使得成立，则，
则有，即实数的最小值为.
故选：D.
9．CD
【分析】利用不等式的性质以及幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对A，若，则，A错误；
对B，取，则，B错误；
对C，根据幂函数在单调递增可知，若，则，C正确；
对D，若，则有，所以，D正确；
故选:CD.
10．BC
【分析】根据三角函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
11．ABC
【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出，选项A，由定义证明为等差数列；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.
【详解】由，
设，则，
所以当时，，
两式相减得，，
当时，也适合上式.
则，解得，，
所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
故选项AB正确；
选项C，数列的前项和
，故C项正确；
选项D，，
则前项和为，
故D项错误.
故选：ABC.
12．BC
【分析】假设得到平面，矛盾，A错误，证明平面得到B正确，根据得到C正确，建立空间直角坐标系，根据垂直关系得到，解方程得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：若存在实数使得，则，，确定平面，
平面，这与条件矛盾，错误；
对选项B：，，，平面，
故平面，平面，故，正确；
对选项C：，
，故，正确；
对选项D：如图所示以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，即，
在平面内，直线方程为，，解得，
故路径长为，错误.
故选：BC.
13．
【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
14．/
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，可得，
由题意可知：，
所以
，
即.
故答案为：.
15．59
【分析】利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】设每年应扣除的消费资金为x万元，设年后投入的再生产资金为，
则1年后投入再生产的资金为：，
2年后投入再生产的资金，…
5年后投入再生产的资金
，
∵
∴，取整数为59.
故答案为：59
16．
【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线l是两个平面与的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，可得答案.
【详解】因为平面的方程为，故其法向量可取为，
平面的法向量可取为，
平面的法向量可取为，
直线l是两个平面与的交线，设其方向向量为，
则，令，则，
故设直线l与平面所成的角为 ，
则，
故答案为：
17．(1)最小正周期，对称中心为
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换整理得，进而求最小正周期和对称中心；
（2）根据题意结合角的范围可得，，注意到，结合三角恒等变换求值.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）因为，可得，
又因为，则，
且，，
可知，则，
则，
，
可得
，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以D为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，证明，，再由线面垂直的判定定理证明即可.
（2）用向量表示出，，由求出直线EF，CB1方向向量的夹角，进而可求异面直线的夹角.
【详解】（1）以D为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），
则，，
所以，.
所以，
因为,平面ADE, 平面ADE,
所以平面ADE.
（2）以D为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体的棱长为1，
则（1，1，1），C（0，1，0），
故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－, ，，
，
设异面直线EF，CB1所成的角为，所以
则异面直线EF，CB1所成的角为.
19．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由可得，则即可证明是等差数列；
（2）由（1）知，通过裂项相消法即可求得数列的前项和为.
【详解】（1）由得，
，，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
所以，
所以数列的前项和为，
所以
20．(1)证明见解析；
(2)为的靠近点的三等分点.
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判断推理即得.
（2）以的中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量，结合面面夹角求解即得.
【详解】（1）依题意，由，得，又，则，
而，即有，因此，
而平面平面，平面平面，平面，
于是平面，又平面，则，
因为，且，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，由，得，又平面平面，
平面平面，平面，则平面，
取的中点，连接，则，由（1）知，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
显然是平面的一个法向量，且，
于是，即，则或（舍），
所以为的靠近点的三等分点.
21．（1），
（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）先求出等差数列的公差，再利用，表示出即可求出数列的通项公式；
同样先求出等比数列的公比，再利用即可求的通项公式；
（2）先求出的表达式，并找到其单调区间的分界点，求出其函数值的范围即可得出结论．
【详解】解：（1）由已知，
得公差
所以
故
由已知，
所以公比
所以．
故
（2）设
所以当时，是增函数．
又，所以当时，
而，
所以不存在，使．
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及其应用．是对基础知识的综合考查，属于中档题目．
22．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）把给定的不等式等价变形，构造函数，再利用导数求出函数的最大值即得.
【详解】（1）当时，，求导得，
于是，而，
所以曲线在处的切线方程是，即.
（2）不等式，
令函数，求导得，
令，设，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，于是，
即有，函数在上单调递减，而，
则函数在上单调递增，在上单调递减，从而，
由，成立，得，成立，因此，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.