湖北省孝感市云梦县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖北省孝感市云梦县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为
A．（3，4）B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）
5．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A．B．
C．D．
6．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
7．某商品经过两次连续涨价后，售价比原来增长21%，则平均每次涨价的百分率为（ ）
A．10%B．10.5%C．15%D．20%
8．如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为（ ）
A．B．C．D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
9．点关于原点O对称的点的坐标为 ．
10．函数图象的对称轴是 ．
11．一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
12．已知函数，当时，y随x的增大而减小，请写出一个满足要求的m的值 .
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
14．运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ．
15．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为 ．

16．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有 .（只需填写结论序号）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1)其图象经过，，三点；
(2)其图象顶点为，且经过．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，.
(1)将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的；
(2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(3)和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可．
20．如图，已知，，，将边绕点C逆时针旋转角至的位置，连接．
(1)求的度数；
(2)过点作的垂线，与交于点E，交的延长线于点F，连接．求证：是等腰直角三角形．
21．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若满足，求k的值．
22．某超市试销一种新商品，在销售过程中，超市每天以每件100元的价格将当天所进该商品全部售出.一个月（按30天计算）后，对销售情况进行了统计：该商品第x天的进价y（元/件）与x（天）之间的相关信息如下表：
该商品在销售过程中，日销售量（件）与（天）之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出该商品的日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）
(2)此超市在销售该商品的过程中，第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
23．如图1，为等边三角形，其边长为3．点，分别在边，上，且，连接，显然有；
（图1） （图2） （图3）
(1)问题发现
如图2，若将绕点A逆时针旋转一个角度，结论“”仍成立吗?请作出判断，并证明你的结论；
(2)问题解决
如图3，在（1）的情形下，当点B，D，E三点正好在一条直线上时，求的长．
24．如图，抛物线与轴相交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴相交于点C，连接，．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为；
①若点P在直线的下方，当四边形的面积最大时，求m的值；
②过点P作与x轴相交于点E，当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
含答案与解析
1．A
【分析】旋转后能够与原图像重合的图形即为中心对称图形，逐个判断过去即可．
【详解】、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，能够熟记定义是解题关键．
2．A
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】解：∵为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键．
3．A
【分析】将一元二次方程进行配方的步骤为第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；据此进行运算后判断，即可求解．
【详解】解：，
，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键．
4．C
【分析】将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP'位置可看Rt△OPA点O逆时针旋转90°到Rt△OP'A'，根据旋转的性质得PA=P'A'=4， OA=OA'=3，然后根据第二象限内点的坐标特征求解．
【详解】如图，OA=3，PA=4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，
∴∠P′A′O=∠PAO=90°，P′A′=PA=4．OA=OA'=3，
∴P′点的坐标为（﹣3，4）．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
5．A
【分析】根据函数平移法则：左加右减(x），上加下减(y)可知， 进而得出变化后的解析式．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
将抛物线左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的顶点坐标为，
得到的抛物线的解析式为，故A正确．
故选：A
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，将变形为，利用根与系数的关系求出，利用一元二次方程的根的定义求出， 整体代入即可求解．
【详解】解： a，b是方程的两个实数根，
，，
，
，
故选C．
7．A
【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据经过两次连续涨价后，售价比原来增长21%，列出一元二次方程，解出取正值即可．
【详解】设平均每次涨价的百分率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即平均每次涨价的百分率为10%，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可知，，是旋转角，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由旋转的性质可知，，是旋转角，
∴，
∴，
故选：C．
9．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可求解．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
10．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求出抛物线的对称轴．本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系．用配方法或对称轴公式可求抛物线的对称轴．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
对称轴是：．
故本题答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
由题意得，，解得，，则，解方程即可．
【详解】解：∵是的根，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴或，
解得，或，
故答案为：．
12．4（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线的解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，由时，y随x增大而减小可得m的取值．
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴时，y随x增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为：4（答案不唯一）．
13．且
【分析】根据且，计算即可．
【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的条件，熟练掌握根的判别式，写出相应不等式并求解是解题的关键．
14．10m##10米
【分析】令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案．
【详解】令，得，
解得，（舍）．
所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10m．
故答案为：10m．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．
15．##70度
【分析】此题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，根据旋转的性质得到，推出，求出，即可求出，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
16．②③④
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．由抛物线的开口方向以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图可知，
∵对称轴为直线，
∴，
∴；
①，错误；
②∵的图象经过点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∴，正确；
③由图象可知，抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个相异的实数根，正确；
④∵函数的最大值为，
∴，即，正确．
故答案为：②③④．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
【详解】（1），
∴，
∴．
∴，．
（2），
，
∴或，
∴，
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．
（1）设交点式，利用待定系数法即可求解；
（2）设顶点式，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：∵其图象经过，，
∴设．
∵图象经过，
∴，
∴．
∴，
∴；
（2）解：∵其图象顶点为，
∴设．
∵图象经过，
∴，
∴．
∴，
∴．
19．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)△A1B1C和△A2B2C2关于点P(－1，0)对称
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点A1，B1即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据中心对称的定义结合图形即可求解．
【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可知△A1B1C和△A2B2C2关于P（﹣1，0）对称．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握“等边对等角”以及“三线合一”是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得出，，则，再推出，，得出，最后根据即可求解；
（2）根据三线合一得出．则垂直平分，进而得出． 则，即可求证是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：∵绕点C逆时针旋转角至的位置，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
又，
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∴垂直平分．
∴．
∴．
在中，．
∴是等腰直角三角形
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）由题意得，，计算求解即可；
（2）由题意知，，，由，可得，即，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，，
∴k的取值范围为．
（2）解：∵，
∴，．
∵，
∴，即，整理得．
解得或（舍去）．
∴，
∴k的值为6．
22．(1)
(2)第17天的日销售利润最大，最大日销售利润为4418元
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设销售利润为w元，分两种情况求出解析式，再由二次函数，一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设，将（1，126），（30，68）代入得：
，
解得，
∴；
（2）设日销售利润为w(元)．
当时，＝
＝．
∴当时，．
当时，w＝＝．
函数在时递减，
∴当时，．
综上所述，第17天的日销售利润最大，最大日销售利润为4418元．
【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．(1)仍成立，详见解析
(2)
【分析】（1）证明为等边三角形，根据题意证明故可求解；
（2）作于点F，由为等边三角形，得到，，利用求出，再根据，即可求解．
【详解】（1）仍成立．
∵为等边三角形，
∴．
又，
∴为等边三角形．
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）作于点F．
∵为等边三角形．
∴，．
∴，，．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)，，
(2)①；②，
【分析】（1）代入和即可求解；
（2）①作轴交BC于点D，设D(m，m－3)，由四边形面积，得到面积的函数，故可求解；
②当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，由，故，根据平行四边形的特点作图即可求解．
【详解】（1）对于，当时，，
令，则或3，
故点A、B、C的坐标分别为：、、；
（2）①当四边形面积最大时，的面积也最大．
如图，作轴交于点D．
∵，
∴：．
∴．
∴．
∴．
∴当最大时，．
即：当四边形面积最大时，．
②如图，，
∴点P的纵坐标为．

∴，∴．（舍去）
如图两图，．

∵，．
∴由平移得．
∵点E在x轴上，
∴，
∴．
综上所述，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、面积计算、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
时间（天）
进价（元/件）
50