(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第03讲 平面向量的减法运算（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 相反向量
1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2．性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量．
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【即学即练1】 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解析 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
则eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c.

方法二 如图②，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(CB,\s\up6(→))＝c，连接OC，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c.
反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
知识点02 向量的减法
1．定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
2．减法法则：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→))，如图所示．
3．几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
【即学即练2】（1）[多选]下列各向量运算的结果与eq \(AC,\s\up6(→))相等的有( )
A.eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)) C.eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))
答案 AD
(2)化简下列各式：
①eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))； ②(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))．
解析 ①eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→)).
②(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋0＝eq \(AD,\s\up6(→)).
知识点03 用已知向量表示其他向量
【即学即练3】如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))及eq \(CE,\s\up6(→)).
答案 答案见解析.
解析 ∵四边形ACDE是平行四边形，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝c－a，
eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝c－b，∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.
反思感悟
用已知向量表示其他向量的步骤
(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．
能力拓展
考法01 向量减法法则
【典例1】1．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上任一点，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
详解 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式训练】
已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，以OA，OB为边作平行四边形OACB，
则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
考法02 向量减法的运算律
【典例2】化简 SKIPIF 1 < 0 ______．
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
反思感悟
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
【变式训练】
1．（多选）下列能化简为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 ABC
详解 A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确.
B选项， SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
C选项， SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.
故选：ABC
2．空间任意四点A、B、C、D，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
考法03 向量减法的几何意义与应用
【典例3】 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试用向量 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
答案 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
详解 解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】
1．如图所示，单位圆上有动点A，B，当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
答案 D
详解 因为 SKIPIF 1 < 0 ，A，B是单位圆上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向.
故选：D.
2．如图，等腰梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
详解 连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，
点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
分层提分
题组A 基础过关练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在BC边上，且 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可用基底 SKIPIF 1 < 0 表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
详解 解析：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
详解 解： SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C.
3．下列化简结果错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
详解 对A，原式 SKIPIF 1 < 0 ，正确；对B，原式 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对C，原式 SKIPIF 1 < 0 ，正确；对D，原式 SKIPIF 1 < 0 ，错误.
故选：D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
C．互为相反向量的两个向量模相等
D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
详解 对于A， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，也满足 SKIPIF 1 < 0 ，B不正确；
对于C，由互为相反向量的定义知，互为相反向量的两个向量模相等，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：B
5． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 A
详解 由向量的运算法则，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A.
6．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
详解 根据三角形法则可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
根据向量减法的运算法则可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
根据三角形法则可得 SKIPIF 1 < 0 正确，所以D正确.故选：D.
7．（多选）化简以下各式，结果为 SKIPIF 1 < 0 的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 ABC
详解 对于A， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确.故选：ABC.
8．（多选）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则线段 SKIPIF 1 < 0
D．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向共线，则 SKIPIF 1 < 0
答案 AD
详解 选项A：由 SKIPIF 1 < 0 得点B在线段 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确：
选项B；三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 反向共线时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
选项D： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 反向共线时， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：AD．
9．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，以OA，OB为边作平行四边形OACB，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
答案 ①②③
详解 对于①， SKIPIF 1 < 0 ，故①成立；对于②，设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故②成立；
对于③， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于④， SKIPIF 1 < 0 ，故④不成立.
故答案为：①②③.
11．如图所示，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 是该平行四边形外一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试用向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 .
答案 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
详解 解：由平面向量的减法可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
12．已知点 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形 SKIPIF 1 < 0 内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ．
答案 答案见解析.
详解 ∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形．
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
题组B 能力提升练
1．在平行四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．- SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
详解 如图，由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 三等分点，
所以， SKIPIF 1 < 0 故选：B.
2．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0.6B．0.8C．0.4D．0.5
答案 D
详解 因为D为BC的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又AE= SKIPIF 1 < 0 EC，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，由平面向量的基本定理可知满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
3．（多选）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，下列计算错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 BC
详解 根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 A正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B错误； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D正确.故选：BC
4．（多选）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，下列结论中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 CD
详解 解：对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确；
对于B选项，根据平行四边形法则， SKIPIF 1 < 0 ，故B选项正确；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，故C选项错误；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，故D选项错误.故选：CD
5．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 设 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心.由于 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．如图所示，中心为O的正八边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．（结果用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示）
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 由题图可知， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_________．
答案 SKIPIF 1 < 0
详解 解： SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8．在三角形ABC中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______
答案 1
详解 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故答案为：1．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 的对角线AC和BD相交于点O，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________， SKIPIF 1 < 0 ＝________．(用 SKIPIF 1 < 0 表示)
答案 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
详解 如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试以 SKIPIF 1 < 0 为基底表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
答案 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
详解 在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
1．已知正六边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
详解 作出图形如下图所示，设直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 为这两条线段的中点，
由图形可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
SKIPIF 1 < 0 ，③
联立②③，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，代入①，
得 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
详解 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故选：B
3． 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则给出下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
其中正确的结论为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案 C
详解 对于①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，故①错误；
对于②：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则以 SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形为正方形，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于③：因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确，
故选：C.
4．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内两两不相等的向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），则实数k的值可能为（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案 ABC
详解 依题意，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则以 SKIPIF 1 < 0 的终点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的圆，两圆的公共点 SKIPIF 1 < 0 即为满足题意的 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
分别以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径均为 SKIPIF 1 < 0 的圆有两个公共点 SKIPIF 1 < 0 ，半径均为 SKIPIF 1 < 0 的圆有两个公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆有一个公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆有一个公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，符合条件的公共点 SKIPIF 1 < 0 最多6个，满足题意的 SKIPIF 1 < 0 最多6个，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为6.
故选：ABC
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0
（1）用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ； （2）用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ．
答案 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
详解 （1）设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，可知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
6．如图，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试用基底 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
答案 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
详解 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
7．如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ．
答案 (1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
解析：(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 .
8．证明：当向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线时，
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ．
答案 (1)答案见解析
(2)答案见解析
解析 (1)
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，
以 SKIPIF 1 < 0 为邻边作一个平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
课程标准
课标解读
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减综合运算．
1、通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力.
2、熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算.
3、在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广.