2021-2022学年天津市静海区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市静海区九年级上学期数学期中试卷及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列方程中，一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件即可．
【详解】解：A选项：若，则不是一元二次方程.
B选项：化简后，得，不成立.
C选项：整理得，是一元二次方程.
D选项：，不是一元二次方程.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 4，﹣1，5B. 4，﹣5，﹣1
C. 4，5，﹣1D. 4，﹣1，﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．
【详解】∵一元二次方程4x2﹣1=5x，
∴整理为：4x2﹣5x﹣1=0，
∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．
3. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把抛物线y=2x2的顶点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点的坐标为（-4，1），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（-4，1）
所以平移后所得的抛物线的解析式y=2（x+4）2+1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k．
4. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5. 已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（ ）
A. ﹣2B. 2C. ﹣4D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，
解得k＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解. 熟记一元二次方程解得定义是解决此题的关键.
6. 关于抛物线y=x2﹣4x+4，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 与x轴只有一个交点
C. 对称轴是直线x=2D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=x2﹣4x+4，
∴该抛物线的开口向上，故选项A正确，
（﹣4）2﹣4×1×4=0，故该抛物线与x轴只有一个交点，故选项B正确，
对称轴是直线，故选项C正确，
当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项D错误，
故选D．
【点睛】考查二次函数的性质，把一般式化为顶点式是解题的关键．
7. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】经观察二次函数y=x2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解．
【详解】∵y=x2-6x+5，
∴y+(-3)2=x2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4．
故选:C．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的知识，回忆配方法解一元二次方程的步骤；
8. 若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2
C. y2＜y1＜y3D. y3＜y1＜y2
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣2，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解：∵二次函数y＝（x+2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴对称点为（﹣1，y1），
且x＞-2时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
9. 若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a≥﹣且a≠0B. a≤﹣
C. a≥﹣D. a≤﹣且a≠0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：且．
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．
10. 若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 13B. 16C. 12或13D. 11或16
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．
【详解】∵x2-5x+6=0，
∴（x-3）（x-2）=0，
解得：x1=3，x2=2，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x=3时，3+4＞6，能组成三角形；
当x=2时，2+4=6，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是3，
∴这个三角形的周长为：4+6+3=13.
故选A．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．
11. 如图，在中，，将绕点旋转到'的位置，使得，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠C'CA＝∠CAB＝64°，由折叠的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA＝64°，由三角形内角和定理可求解．
【详解】∵CC′∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝64°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠C'CA＝64°，
∴∠C'AC＝180°−2×64°＝52°，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
12. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示则下列结论中正确的个数是（ ）
①ab＞0；②a+2b＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，即可判断①②；根据当时，，即可判断③；由函数图像可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=-3有两个不同的交点，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴a-2b=0，故②错误；
∵当时，，
∴③正确，
∵方程ax2+bx+c＝﹣3的解可以看做是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=-3的交点的横坐标，
∴由函数图像可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=-3有两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，故④正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
二、填空题
13. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.
【答案】(﹣1，3)
【解析】
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：.
故答案为.
14. 二次函数y＝的图象开口向上，则k＝___．
【答案】
【解析】
【分析】由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得，由此求解即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得，
∵图像的开口向上，
∴即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键．
15. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛．
【答案】6
【解析】
【详解】设应邀请x个队参加比赛，
由题意则有：x(x-1)=15，
解得x=6或x=-5(不合题意，舍去），
故应邀请6个队参加比赛．
故答案为：6．
【点睛】考点：一元二次方程的应用．
16. 一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=-，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为______m．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意，把y=-4直接代入解析式即可解答．
【详解】根据题意B的纵坐标为-4，
把y=-4代入y=-x2，
得x=±8，
∴A（-8，-4），B（8，-4），
∴AB=16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为16．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为_____．
【答案】（2，3）．
【解析】
【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P对称图形P′，可得所求点的坐标．
【详解】如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
18. 已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上有三点(﹣3，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是_____（用“＜”连接）．
【答案】y2＜y1＜y3
【解析】
【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k（a＞0），
∴该函数开口向上，对称轴是直线x＝-1，当x＞-1时，y随x的增大而增大，当x＜-1时，y随x的增大而减小，即函数图像上的点离对称轴越远其函数值越大，
∵|-3-（-1）|＝2，|-（-1）|＝1.5，|2-（-1）|＝3，点A（-3，y1）、B（，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，
∴y2＜y1＜y3，
故答案：y2＜y1＜y3．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题
19. 解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）x2﹣x﹣12＝0．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
20. 如图，在平面直角坐标系中、ABC的顶点坐标分别为A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)
（1）在图中画出ABC关于点O的中心对称图形，并写出点，点，点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）点的坐标为（-4，-6），点的坐标为（-5，-2），点的坐标为（-2，-1），画图见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点，点，点的坐标，然后描出点，点，点，最后顺次连接点，点，点即可；
（2）根据的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三个小三角形面积求解即可．
【详解】解：（1）∵是△ABC关于原点对称的中心对称图形， A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，
∴点的坐标为（-4，-6），点的坐标为（-5，-2），点的坐标为（-2，-1）；
∴如图所示，即为所求；
（2）由图可知 ．
【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．
21. 如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB=12，BE=5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是 ，旋转角为 度；
（2）△AEF是 三角形；
（3）求EF的长．
【答案】（1）点A，90°；（2）等腰直角；（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形和已知即可得出答案．
（2）根据旋转得出全等，根据全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF，AE=AF，求出∠EAF=∠BAD，即可得出答案．
（3）求出AE，求出AF，根据勾股定理求出EF即可．
【详解】解：（1）从图形和已知可知：旋转中心是点A，旋转角的度数等于∠BAD的度数，是90°，
故答案为：点A，90；
（2）等腰直角三角形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
（3）由旋转可知∠EAF=90°，△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，△EAF是等腰直角三角形
在Rt△ABE中，∵AB=12，BE=5
∴
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等．
22. 国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，某大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017年利润为200万元，2019年利润为288万元，求该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率．
【答案】该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%
【解析】
【分析】设该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为x，然后根据2017年利润为200万元，2019年利润为288万元，列出方程求解即可．
【详解】解：设该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为x，
由题意得：，
解得，
∴该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%，
答：该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
23. 已知抛物线y＝ax2﹣2x+c，经过(﹣3，0)，(0，3)两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴及顶点坐标．
【答案】（1）；（2）抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-1，4）
【解析】
【分析】（1）将(﹣3，0)，(0，3)代入抛物线解析式中求解即可；
（2）根据（1）所求，将抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c，经过(﹣3，0)，(0，3)两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式；
（2）∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-1，4）．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标，解题的根据在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
24. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问涨价为多少时，才能使得利润最大？最大利润是多少？
【答案】涨价为20元时，才能使得利润最大，最大利润是9000元．
【解析】
【分析】设该商品涨价x元，利润为W，则每天卖出的数量为（500-10x）个，然后根据利润=（售价-进价）×数量，列出二次函数关系式求解即可．
【详解】解：设该商品涨价x元，利润为W，则每天卖出的数量为（500-10x）个，
由题意得：
，
∵，
∴当时，W最大，最大为9000，
∴涨价为20元时，才能使得利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意列出二次函数关系式 求解．
25. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，求∠ABC度数；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P到x轴的距离等于4时，求动点P的坐标．
【答案】（1）；（2）∠ABC=45°；（3）点P的坐标为（，4）或（，4）或（1，4）
【解析】
【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出点C的坐标，从而可以求出OB=OC，由此即可得到答案；
（3）由点P到x轴的距离等于4，得到P点的坐标轴为4或-4，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴OC=3，
∵B点坐标为（3，0），
∴OB=3，
∴OB=OC，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，即∠ABC=45°；
（3）∵点P到x轴的距离等于4，
∴P点的坐标轴为4或-4，
当P点纵坐标为4时，则，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为（，4）或（，4）；
当点P的纵坐标为-4时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（1，4），
∴综上所述，点P的坐标为（，4）或（，4）或（1，4）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质与判定，点到坐标轴的距离，熟知相关知识是解题的关键．