2022-2023学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高二上学期期末数学试题 解析版

2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测

数学

（满分：150分  考试时间：120分钟）

注意事项：

1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．

4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．在空间直角坐标系中，点与点关于（    ）

A．原点对称 B．平面xOy对称 C．平面yOz对称 D．平面xOz对称

3．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ）

A． B． C． D．

4．四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌中，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有（    ）

A．24种 B．9种 C．10种 D．26种

5．的展开式中，项的系数为（    ）

A．2 B．14 C．48 D．

6．已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一种数字编码，则不同的数字编码共有（    ）

A．120种 B．60种 C．40种 D．10种

8．已知抛物线，其焦点为F，P是拋物线C上的动点，若点，点Q在以FM为直径的圆上，则的最小值为（    ）

A． B． C．8 D．9

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的离心率可以是（    ）

A． B．2 C． D．

10．设，则下列式子正确的是（    ）

A．  B．

C． D．

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是（    ）

A．的周长为6 B．的面积的最大值为

C．存在点P，使得 D．的最大值为7

12．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．点P在线段上

C．平面

D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．二项式的展开式中，第4项为______．

14．已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．

15．已知空间向量，．若与平行，则______．

16．设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，与在第一象限内交于点M，．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念．

（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；

（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点．设，，，用，，表示，并求BN的长．

19．（12分）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．

（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；

（2）展开式中系数最大的项是第几项？

20．（12分）已知直线与拋物线的准线相交于点A，O为坐标原点，且．

（1）求拋物线C的标准方程；

（2）若Q为抛物线C上一动点，M为线段FQ的中点，F为抛物线的焦点，求点M的轨迹方程．

21．（12分）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，且，N为BE的中点，M为CD的中点．

（1）求证：平面ABCD；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

22．（12分）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，椭圆C的上顶点为M，右顶点为N，O为坐标原点，的面积为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与曲线相切，与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围．

2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测

数学  参考答案

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．A　【解析】依题意，得，则．故选A．

2．D　【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面xOz对称的点的坐标为，则根据题中所给的坐标，可以判断它们关于平面xOz对称．故选D．

3．C　【解析】由直线l与直线m垂直，设直线l，m的斜率分别为，，则，即，解得．易得圆C的圆心为，故直线l的方程为，整理可得直线l的方程为．故选C．

4．D　【解析】红桃+黑桃：（种）；红桃+梅花：（种）；黑桃+梅花：（种）．

故取出两张不同花色的纸牌，共有：（种），故选D．

5．B　【解析】在中，项由的项与x的积和的项和的积组成，故可得的系数为．故选B．

6．C　【解析】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；

对于B，因为，因此成立，B正确；

对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不一定正确；

对于D，，D正确．故选C．

7．D　【解析】由题意可得，该题等价于求5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数，为（种）．故选D．

8．A　【解析】由题得点F的坐标为，则圆H的圆心为，半径．

因为点P在抛物线上，且抛物线的准线为，所以等于点P到准线的距离．

过点P作准线的垂线，垂足为R．要使取到最小值，即最小，此时R，P，Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H．如图所示，此时．故选A．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9．AC　【解析】设半焦距为c．①若双曲线的焦点在x轴上，此时双曲线的方程为．

因为双曲线的两条渐近线为，所以．

由，所以双曲线的离心率；

②若双曲线的焦点在y轴上，此时双曲线的方程为．

双曲线的两条渐近线为，所以．

由，所以双曲线离心率为．

故该双曲线的离心率为或．故选AC．

10．ACD　【解析】令，则，即，A正确；

令，则，即①，

则，B错误；

令，则，即②．

由①②，可得，，C、D正确．故选ACD．

11．BD　【解析】对于A，由椭圆，得的周长为，A错误；

对于B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积，B正确；

对于C，当P为椭圆短轴顶点时，最大，

此时，

即为锐角，故不存在点P使得，C错误；

对于D，由椭圆，所以．

又，所以，所以，D正确．故选BD．

12．BC　【解析】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，所以，A错误；

对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，，，且，，

所以，，．

因为，所以，所以，即，所以，

所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；

对于C，由，，根据三垂线定理，可得，．

因为，平面，所以平面，C正确；

对于D，，，平面的一个法向量为．

设与平面的夹角为，为锐角，

其正弦值为．

由，得，D错误．故选BC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．　【解析】的展开式中第4项为．

14．　【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离．

因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．

15．　【解析】由，，得．

因为与平行，所以，解得，所以，所以．

16．　【解析】由椭圆及双曲线的定义，得，，．因为，所以．

因为，即，所以，得．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件，

甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为，

所以．

（其他正确解答也可得分）

（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种，

排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体，

同余下的2位老师作全排列有种，

甲、乙的排列有种．

由分步乘法计数原理，得，所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法．

18．解：因为N是CM的中点，

所以

．

由题意，可得，，，

，，

所以

，

所以，即BN的长为．

19．解：（1）二项式展开式的通项公式为．

（公式写对得1分）

因为第3项和第4项的系数比为，所以，

化简得，解得，

所以．

令，得，所以常数项为第17项．

（2）设展开式中系数最大的项是第项，

则

（列不等式组正确得1分，化简2分）

解得．（少一种情况扣1分）．

因为，所以或，

所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．

20．解：（1）对抛物线，

其准线方程为．

因为准线与直线交于点A，

所以点A的坐标为．

因为，则，解得，（斜率列式正确的1分，结果1分）

则抛物线C的标准方程为．

（2）由（1）知，则．

设，，根据M为线段FQ的中点，

可得即

由Q为抛物线C上一动点，可得，即，

整理可得点M的轨迹方程为．

21．（1）证明：方法一：如图，取AB的中点P，连接NP，PD．（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现扣1分）

因为N为BE的中点，所以，．

又因为，，

所以，且，所以四边形NPDF是平行四边形，

所以．

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以平面ABCD．

（缺条件平面ABCD，平面ABCD，扣1分．）

方法二：易得AE，AB，AD两两垂直，

如图，以A为原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现的扣1分．）

因为平面ABCD是边长为2的正方形，，

且，N为BE的中点，M为CD的中点，

所以，，，，，，，，

所以．

因为平面ABCD的一个法向量为，

所以，即．

又因为平面ABCD，所以平面ABCD．

（2）解：因为，，

设平面MNF的一个法向量为，

则

令，则，所以．

因为平面ABCD，，所以平面ABCD，

因为平面ABCD，所以．

又因为，，平面MFD，

所以平面MFD，

所以平面MFD的一个法向量为．

设二面角的平面角为，

则，所以，

（正确求出余弦值得1分．）

所以二面角的平面角的正弦值为．

22．解：（1）设椭圆C的半焦距为．

因为双曲线的离心率为，

所以椭圆C的离心率为，即①．

因为的面积为1，所以②．

结合①、②与，解得，，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由（1）知，曲线为圆．

当与圆D相切的直线l斜率不存在时，直线，

由解得，则．

当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为，，，

由消去y并整理，得，（此处缺少化简后的方程扣1分．）

，即，

，．

又因为直线l与圆相切，

所以，即，显然，

则

，

于是得．

（此处表示出AB的长度要有弦长公式，没有弦长公式扣1分．）

令，（此处需要说明t的取值范围，不写取值范围扣1分．）

则．

而，即，因此．综上所述，的取值范围为．