专题06 一元一次方程 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

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技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值
技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧
【题型】一、一元一次方程概念
【题型】二、一元一次方程的解法
【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题
【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题
【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题
【考纲要求】
1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．
2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．
3、会列方程(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次方程
【注意】
一元一次方程的特征
1. 只含有一个未知数x
2. 未知数x的次数都是1
3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。
2．解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)未知数的系数化为1.
【技巧归纳】
技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值
【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值
1．已知方程(m－2)x|m|－1＋16＝0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．
2．已知方程(3a＋2b)x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，求方程的解．
3．已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，求式子199(m＋x)(x－2m)＋9m＋17的值．
【类型】一、利用方程的解求字母系数的值
题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值
4．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．ab＝0 D.eq \f(a,b)＝0
5．关于x的方程(2a＋b)x－1＝0无解，则ab是( )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
6．已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的整数k＝__________．
7．已知x＝eq \f(1,2)是方程6(2x＋m)＝3m＋2的解，求关于y的方程my＋2＝m(1－2y)的解．
8．当m取什么整数时，关于x的方程eq \f(1,2)mx－eq \f(5,3)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))的解是正整数？
题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值
9．如果方程eq \f(x－4,3)－8＝－eq \f(x＋2,2)的解与关于x的方程2ax－(3a＋5)＝5x＋12a＋20的解相同，确定字母a的值．
题型3：利用方程的错解确定字母系数的值
10．小马虎解方程eq \f(2x－1,3)＝eq \f(x＋a,2)－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x＝2，试求a的值，并正确解方程．
技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧
【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程
题型1：巧化分母为1
1．解方程：eq \f(4x－1.6,0.5)－eq \f(3x－5.4,0.2)＝eq \f(1.8－x,0.1).
2．解方程：eq \f(2x＋1,0.25)－eq \f(x－2,0.5)＝－10.
题型2：巧化同分母
3．解方程：eq \f(x,0.6)－eq \f(0.16－0.5x,0.06)＝1.
题型3：巧约分去分母
4．解方程：eq \f(4－6x,0.01)－6.5＝eq \f(0.02－2x,0.02)－7.5.
【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程
题型1：巧用拆分法
5．解方程：eq \f(x－1,2)－eq \f(2x－3,6)＝eq \f(6－x,3).
6．解方程：eq \f(x,2)＋eq \f(x,6)＋eq \f(x,12)＋eq \f(x,20)＝1.
题型2：巧用对消法
7．解方程：eq \f(x,3)＋eq \f(x－2,5)＝3eq \f(3,7)－eq \f(6－3x,15).
题型3：巧通分
8．解方程：eq \f(x＋3,7)－eq \f(x＋2,5)＝eq \f(x＋1,6)－eq \f(x＋4,4).
【类型】三、含括号的一元一次方程
题型1：利用倒数关系去括号
9．解方程：eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－1))－2))－x＝2.
题型2：整体合并去括号
10．解方程：x－eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)（x－9）))＝eq \f(1,9)(x－9)．
题型3：整体合并去分母
11．解方程：eq \f(1,3)(x－5)＝3－eq \f(2,3)(x－5)．
题型4：不去括号反而添括号
12．解方程：eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)（x－1）))＝eq \f(2,3)(x－1)．
题型5：由外向内去括号
13．解方程：eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－1))－6))＋2＝0.
题型6：由内向外去括号
14．解方程：2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x－\f(1,2)))))＝eq \f(3,4)x.
【题型讲解】
【题型】一、一元一次方程概念
例1、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【题型】二、一元一次方程的解法
例2、解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3、解方程：
【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题
例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（ ）
A．1200x＝2000（22﹣x）B．1200x＝2×2000（22﹣x）
C．1200（22﹣x）＝2000xD．2×1200x＝2000（22﹣x）
【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题
例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）
A．180B．170C．160D．150
【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题
例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ）
A．17道B．18道C．19道D．20道
一元一次方程（达标训练）
一、单选题
1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·浙江温州·三模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A．B．9C．D．1
4．（2022·河北石家庄·二模）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·四川达州·二模）方程2x-3=5的解为________.
7．（2022·四川广元·二模）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且．若点C点在数轴上且满足，则C点对应的数为________．
三、解答题
8．（2022·四川广元·一模）解方程：．
9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元，B型口罩单价80元．
(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（）盒．求该街道社区人口总数．
一元一次方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0B．11C．D．
3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知，下列等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（ ）
A．0B．1C．D．
5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数．
③若，则．
④若，则．
A．①④B．②③C．①②④D．②③④
二、填空题
6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．
7．（2022·上海静安·二模）方程的解是________．
三、解答题
8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知b是最小的正整数，且a、c满足．
(1)①直接写出数a、c的值 ， ；
②求代数式的值；
(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；
(3)请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是 ．
整
式
方
程
一元一次方程
概念
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法
解法依据是等式的基本性质.
性质①：若a=b，则a±m=b±m；
性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d≠0).
解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.