2023-2024学年河南省商丘市名校高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市名校高二上学期11月期中考试数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的半径为
( )
A. 4B. 2C. 2D. 1
2.已知直线l1:x+y+1=0，l2:2x+2y-3=0，则l1,l2之间的距离为( )
A. 2 2B. 5 24C. 24D. 2
3.如果直线2x-4y+1=0与直线x+my-1=0垂直，那么m的值为
( )
A. -2B. -12C. 12D. 2
4.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是A1D1的中点，N是线段CA1上的点，且CN:NA1=1:4，用a，b，c表示向量NM的结果是
( )
A. 45c-45a-310bB. -15a-15b+45c
C. 15a-310b-15cD. 12a+b+c
5.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y-a=0a∈R的位置关系是
( )
A. 相交B. 相切C. 内含D. 以上均有可能
6.若圆O：x2+y2=4过双曲线x2a2-y2b2=1的实轴端点，且圆O与直线l：y=x+b相切，则该双曲线的离心率为
( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2
7.方程kx-1+ 1-x-22=0有两相异实根，则实数k的取值范围是
( )
A. 0,13B. -13,0C. -13,0∪13D. 0,13∪-13
8.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是
( )
A. AE⋅CD=0B. EA+EB+EC+ED=0
C. AE= 62D. AE⋅AC=12
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有( )
A. 直线的斜率越大，倾斜角越大
B. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b在第二象限
C. 过点-2,-3且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5
D. 已知直线kx-y-k-1=0和以M-3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≥32或k≤-12
10.已知在直角坐标系中，等边▵ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为 32，则BC的斜率可能为
( )
A. - 35B. -2 35C. -2 3D. -3 3
11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P满足BP=12BC+λBB1，其中λ∈[0,1]，则( )
A. P∈棱CC1B. P∈平面BCC1B1
C. BP//AA1D. AP⊥BC
12.已知直线l：x-y-1=0交椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0于不同两点A，B，且椭圆C经过点0,1， 3,12，则下列结论正确的是
( )
A. 椭圆C离心率为 22
B. 椭圆C的焦距是2 3
C. ▵AOB的面积是45(O是坐标原点)
D. 椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为 10+ 22
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.向量m=0,1,0，n=0,1,1的夹角为______．
14.若方程x24-k+y2k-1=1表示椭圆，则实数k的取值范围是 ．
15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为PC的中点，，设直线PC与平面BDE所成的角为θ，则sinθ=______．
16.定义：圆锥曲线C：x2a2+y2b2=1的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心， a2+b2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为x26+y23=1，P是直线l：3x-2y+9=0上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP(O是坐标原点)，当∠MPN为直角时，kOP的值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)已知直线l过点P2,-1，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)已知▵ABC中，A1,0，B2, 3，∠ABC=π3，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程．
18.(本小题12分)
已知A-1,0，B2,0，动点C满足CACB=12，直线l：mx-y+m+1=0．
(1)求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；
(2)若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且PQ=2 2，求实数m的值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB // CD，且CD=2AB=2，BC=2 2，∠ABC=90°，M为BC的中点．
(1)求证：平面PDM⊥平面PAM；
(2)若二面角P-DM-A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点T2,3，且有一条倾斜角为120∘的渐近线，直线l:y=kx-2与C相交于A,B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求AB的长度．
21.(本小题12分)
某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”(如图2)
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B的大小为23π,求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点Pa,b的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且AB=2 7，AF1+BF1=6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点D3,0的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点F1，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若S▵GQDS▵GPE=52，求PQ所在直线的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解圆的半径．
解： x2+y2-4x-2y+1=0 可化为 x-22+y-12=4 ，所以圆半径为 r=2 ，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】先对直线 l2 变形，再用平行线间距离公式进行求解．
解：已知平行直线 l1:x+y+1=0 与 l2:x+y-32=0 ，
则 l1 与 l2 间的距离 d=1--32 1+1=5 24 ．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】利用直线垂直的充要条件，可得答案．
解：由题知： 2×1+-4×m=0 ，解得 m=12 ．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果．
解：由题意可得， NM=AM-AN=12AA1+AD1-15AA1+45AC=310AA1+12AD1-45AC ，
∵ AC=a+b ， AD1=b+c ，∴ NM=310c+12b+c-45a+b=45c-45a-310b ．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】利用圆与圆的位置关系求解．
解：两个圆的圆心分别为 O10,0 ， O2-1,1 ，且圆心 O2-1,1 在圆 O1 上，
因为圆 O2 的半径不确定，所以均有可能．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据圆的方程先求 a=2 ，再利用相切可得 b=2 2 ，从而可得离心率．
解：圆O： x2+y2=4 的圆心 O0,0 ，半径为 r=2 ，
因为圆O： x2+y2=4 过双曲线 x2a2-y2b2=1 的实轴端点，所以 a=2 ，
又圆O与直线l： y=x+b 相切，所以 b 2=2 ，则 b=2 2 ，故 c=2 3 ．
所以双曲线的离心率为 3 ．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】令 y=- 1-x-22 ，则问题转化为 y=kx-1 与 y=- 1-x-22 有两个交点，数形结合即可求出 k 的取值范围．
解：由 kx-1+ 1-x-22=0 ，则 kx-1=- 1-x-22 ，令 y=- 1-x-22 ，
则 x-22+y2=1 ，所以曲线 y=- 1-x-22 表示以 2,0 为圆心， 1 为半径的圆在 x 轴及 x 轴下方的半圆，
因为方程 kx-1+ 1-x-22=0 有两相异实根，即 y=kx-1 与 y=- 1-x-22 有两个交点，
其中 y=kx-1 表示过点 A0,-1 的直线，
作出直线 y=kx-1 与曲线 y=- 1-x-22 的图象如图，
其中 B3,0 ，且 kAB=0+13-0=13 ，
当 k=0 时直线 y=-1 与曲线 y=- 1-x-22 有且只有一个交点，
结合图象可知 k 的取值范围是 0,13 ．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】由题意得 E 是正四面体 ABCD 外接球的球心．设点 O 是顶点 A 在底面的射影，取 CD 的中点G， AB 的中点F，求得 OB ， AO ， AE ，可判断C；求得 EF=EG ，结合 EA+EB=2EF ， EC+ED=2EG ，可判断B；由 AE⊥BC 可判断A；求出 cs⟨AC,AE⟩= 63 ，进而求得 AC⋅AE ，可判断D．
解：由题意得 E 是正四面体 ABCD 外接球的球心．

设点 O 是顶点 A 在底面的射影，则 AO 是正四面体 ABCD 的高，
OB 是 ▵BCD 的外接圆半径，
对于A，因为 AE⊥ 底面 BCD ， CD⊂ 底面 BCD ，
所以 AE⊥CD ，所以 AE⋅CD=0 ，故A正确；
取 CD 的中点G， AB 的中点F，连接 BG ， GF ， FC,FD ，则O在 BG 上，
设 FG 中点为 M ，
因为 AG=BG= 3 ，则在等腰 ▵BGA 中， GF⊥AB ，则 MA=MB= AF2+(FG2)2 ，
同理，在等腰 ▵CFD 中， MC=MD= CG2+(FG2)2= AF2+(FG2)2 ，
则 M 为外接球的球心，即 M 与 E 重合，则E在 FG 上，
因为 AG=BG= 32×2= 3 ，
则 OB=23BG=23× 32×2=2 33 ， AO= AB2-OB2=2 63 ，
因为 BE2=(AO-AE)2+BO2 ，即 AE2=(AO-AE)2+OB2 ，
则 AE2=2 63-AE2+2 332 ，解得 AE= 62 .故C正确；
对于B， FG⊥AB,EG⊥CD ，
所以 EF= AE2-AF2= 32-1= 22 ， EG= DE2-DG2= 32-1= 22 ，
则 EF=EG ，又 EA+EB=2EF ， EC+ED=2EG ，则 EA+EB=-(EC+ED) ，
所以 EA+EB+ EC+ED=0 ，故B正确；
对于D，因为 cs⟨AC,AE⟩=cs⟨AC,AO⟩=AOAC= 63 ，
所以 AC⋅AE=ACAEcsAC,AE=2× 62× 63=2 ，故D错误．
故选：D
9.【答案】BD
【解析】【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A，由直线的斜截式即可判断B，当直线过原点时，即可判断C，求得 kPM,kPN ，即可判断D．
解：对于A，在 0∘,90∘ 内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在 90∘,180∘ 时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在 0∘,180∘ 时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；
对于B，若直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限，则 k<0 ， b>0 ，所以点 k,b 在第二象限，选项B正确；
对于C，当直线过原点时，直线方程为 y=32x ，故C错误；
对于D，直线 kx-y-k-1=0 可化为 kx-1-y+1=0 ，所以直线恒过定点 P1,-1 ， kPM=-1-11+3=-12 ， kPN=-1-21-3=32 ，直线与线段相交，所以 k≥32 或 k≤-12 ，故D正确．
故选：BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】设AB的倾斜角 α ，BC的倾斜角 β ，其中 tanα= 32 ，作出可能的图形，由图形得出 β 与 α 的关系，再由两角和的正切公式求得直线 BC 的斜率．
解：设AB的倾斜角 α ，BC的倾斜角 β ，如图所示：
或
则 β=α+π3 或 β=2π3+α ， tanα= 32 ，
当 β=α+π3 时， tanβ=tanπ3+α= 3+ 321-32=-3 3 ，
当 β=2π3+α 时， tanβ=tan2π3+α=- 3+ 321+32=- 35 ，
故选：AD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定及性质，空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
取BC得中点M，由BP=12BC+λBB1，得λBB1=MP，即可判断ABC；通过证明BC⊥平面AMP，即可判断D．
【解答】
解：取BC的中点M，B1C1的中点M1，连接AM，AP，MP，如图：
由BP=12BC+λBB1，
得λBB1=BP-12BC=BP-BM=MP，λ∈[0,1]，
所以λ=0时，M与P重合；
λ=1时，P与M1重合，此时MP//BB1；
0<λ<1时，MP//BB1，故A错误，B正确；C错误；
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
λ=0时，BC⊥AM，即AP⊥BC；
λ≠0时，因为BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥BB1，又MP//BB1，所以BC⊥MP，
又BC⊥AM，AM，MP⊂平面AMP，AM∩MP=M，
所以BC⊥平面AMP，又AP⊂平面AMP，
所以AP⊥BC，故D正确．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】AB选项，待定系数法得到椭圆方程，进而得到离心率和焦距；C选项，联立直线 x-y-1=0 与椭圆方程，求出 A,B 两点纵坐标，进而由 S=12OPy1-y2 求出答案；D选项，设出与l： x-y-1=0 平行的直线 l' ，当 l' 与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立 l' 与椭圆方程，由根的判别式等于0求出 l' 的方程，从而求出答案．
解：AB选项，将两点 0,1 ， 3,12 坐标代入椭圆方程中，得 b2=13a2+14b2=1 ，
解得： a=2 ， b=1 ，可得 c= 3 ，于是 e=ca= 32 ，焦距为 2 3 ．
从而知A错误，B正确；
C选项，记 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，AB的方程为 x=y+1 ，

由 x2+4y2=4x=y+1 ，消去x得 5y2+2y-3=0 ，解得 y1=-1 ， y2=35 ，
直线l与x轴交于点 P1,0 ，则 S=12OPy1-y2=12×1×85=45 ，故C正确．
D选项，设与l： x-y-1=0 平行的直线为 l' ： x-y+m=0m≠-1 ，
当 l' 与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，
联立 x-y+m=0 与 x2+4y2=4 可得， 5x2+8mx+4m2-4=0 ，
由 Δ=64m2-204m2-4=0 ，可得 m=± 5 ，
当 m= 5 时，直线 l' ： x-y+ 5=0 ，此时两平行线距离为 5+1 1+1= 10+ 22 ，
当 m=- 5 时，直线 l' ： x-y- 5=0 ，此时两平行线距离为 - 5+1 1+1= 10- 22 ，
故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为 10+ 22 ，D正确．
故选：BCD．
13.【答案】π4
【解析】【分析】利用空间向量夹角运算公式直接求解即可．
解：因为向量 m=0,1,0 ， n=0,1,1 ，
所以 csm,n=m⋅nm⋅n=0×0+1×1+0×11× 12+12=1 2= 22 ，所以两向量夹角大小为 π4 ．
故答案为： π4
14.【答案】(1,52)∪(52,4)
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义与标准方程应用问题，是基础题．
根据方程x24-k+y2k-1=1表示椭圆，列出关于k的不等式组，即可求出k的取值范围．
【解答】
解：因为方程x24-k+y2k-1=1表示椭圆，
则{4-k>0k-1>04-k≠k-1，解得1所以实数k的取值范围是(1,52)∪(52,4)．
故答案为(1,52)∪(52,4)．
15.【答案】 33
【解析】【分析】以 A 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面 BDE 的一个法向量为 m=1,1,0 ，结合点平面的距离公式，求得点 P 到平面 BDE 的距离为 d= 22 ，在直角 ▵PAC 中，即可求解．
解：因为 PA⊥ 底面 ABCD ，且 AB,AD⊂ 平面 ABCD ，所以 PA⊥AB ， PA⊥AD ，
又因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AB⊥AD ，
以 A 为原点， AB,AD,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 A0,0,0 ， B1,0,0 ， C1,1,0 ， D0,1,0 ， P0,0,2 ，
因为 E 为 PC 的中点，所以 E12,12,1 ，
所以 BE=-12,12,1 ， BD=-1,1,0 ， BP=-1,0,2 ，
设平面 BDE 的法向量为 m=x,y,z ，则 m⋅BE=-12x+12y+z=0m⋅BD=-x+y=0 ，
取 x=1 ，可得 y=1,z=0 ，所以 m=1,1,0 ，
所以 P 到平面 BDE 的距离为 d=BP⋅mm=1 2= 22 ，
在直角 ▵PAC 中，可得 PC= PA2+AC2= 22+( 2)2= 6 ，
所以 PE= 62 ，所以 sinθ=dPE= 22 62= 33 ．
故答案为： 33 ．

16.【答案】-125 或0
【解析】【分析】根据蒙日圆的定义求出题中蒙日圆的方程，结合题意可知P为直线l与圆 x2+y2=9 的交点，进而求出直线l与该圆的的交点坐标，即可求得答案．
解：根据蒙日圆定义，椭圆 x26+y23=1 相应的蒙日圆圆O方程为 x2+y2=a2+b2=9 ，
则由题意可知当 ∠MPN 为直角时P点在圆 x2+y2=9 上；
圆心 (0,0) 到直线l： 3x-2y+9=0 的距离 d=|9| 32+(-2)2=9 13<3 ，
即直线l与圆O相交，设交点为A、B，联立 3x-2y+9=0x2+y2=9 ，
可得 x1=-1513y1=3613 或 x2=-3y2=0 ，不妨取点 A-1513,3613 、 B-3,0 ，
因为P是直线l： 3x-2y+9=0 上的一点， ∠MPN 为直角，
即点P为直线l与圆 x2+y2=9 的交点；
即点P与点A或B重合，此时 kOA=-125 ，或 kOB=0 ，
所以直线OP的斜率为 -125 或0，
故答案为： -125 或0．
17.【答案】解：(1)若直线l经过原点，又过点 P2,-1 ，则其斜率为 -12 ，
故其方程为 y=-12x ，即 x+2y=0 ；
若直线l不经过原点，设其方程为 xa-ya=1 ，又其过点 2,-1 ，则 2a+1a=1 ，
解得 a=3 ，故直线l方程为 x3-y3=1 ，整理可得 x-y-3=0 ；
综上所述，满足题意的直线方程为 x+2y=0 或 x-y-3=0 ．
(2)因为 kAB= 3-02-1= 3 ， ∠ABC=π3 ，
设BC交x轴于点M，则根据条件可知 ▵ABM 为等边三角形，则 M3,0 ，M为BC中点，则 C4,- 3 ．
kAC=0+ 31-4=- 33 ，故AC直线方程为 y-0=- 33x-1 ，
即 x+ 3y-1=0 ，故AC直线方程为 x+ 3y-1=0 ．

【解析】【分析】(1)利用截距互为相反数，分两种情况以及直线所过点可求答案；
(2)根据三角形的特征求出 C 的坐标，求出直线斜率，可得方程．
18.【答案】解：(1)设 Cx,y ，因为动点C满足 CACB=12 ，所以 x+12+y2 x-22+y2=12 ，
整理可得 x2+y2+4x=0 ，即 x+22+y2=4 ，
即动点C的轨迹方程为 x+22+y2=4 ．
动点C的轨迹是以 N-2,0 为圆心， 2 为半径的圆．
(2)设圆的半径为 r ，圆心到直线l的距离为d，则 d=m-1 m2+1 ，
因为 PQ2=4r2-d2 ，则 4r2-d2=8 ，
因为 r=2 ，所以 d= 2 ，即 m-1 m2+1= 2 ，解得 m=-1 ．

【解析】【分析】(1)根据题意，设 Cx,y ，由两点间距离公式列出方程，代入计算，化简，即可得到结果；
(2)根据题意，由点到直线的距离公式结合弦长公式，列出方程，代入计算，即可得到结果．
19.【答案】(1)证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1，CD=2，BM=CM= 2，
可得AM2=3，DM2=6，
过A作AE⊥CD，垂足为E，
则DE=1，AE=2 2，求得AD2=9，
则AD2=AM2+DM2，
∴DM⊥AM，
∵PA⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD，
∴DM⊥PA，
又PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAM，
∴DM⊥平面PAM，
∵DM⊂平面PDM，
∴平面PDM⊥平面PAM；
(2)解：由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，
则∠PMA为二面角P-DM-A的平面角，为30∘，
则PA=AM⋅tan30∘=1．
以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，D(2 2,-1,0)，C(2 2,1,0)，M( 2,1,0)，
PC=(2 2,1,-1)，PD=(2 2,-1,-1)，PM=( 2,1,-1)，
设平面PDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅PD=2 2x-y-z=0n⋅PM= 2x+y-z=0,
取x=1，得n=(1, 22,3 22)，
∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为：
csPC,n=|PC⋅n||PC|⋅n= 2 10⋅ 6= 3030．
【解析】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
(1)在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AD2=AM2+DM2，则DM⊥AM，再由PA⊥面ABCD，得DM⊥PA，利用线面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，进一步得到平面PDM⊥平面PAM;
(2)由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P-DM-A的平面角为30∘，求得PA=1.以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出PC的坐标及平面PDM的一个法向量，利用向量法可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
20.【答案】解：(1)解：设双曲线C的标准方程为 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 ，
可得渐近线方程为 y=±bax ，
因为双曲线C过点 T2,3 ，且有一条倾斜角为120°的渐近线，
可得 4a2-9b2=1 ，且 -ba=tan120∘=- 3 ，解得 a=1,b= 3 ，
所以双曲线C的标准方程为 x2-y23=1 ．
(2)解：由(1)可知：该双曲线的渐近线方程为 y=± 3x ，所以直线l的斜率为 ± 33 ，
因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，
因此不妨设直线l的斜率为 33 ，可得直线 l 的方程为 y= 33x-2
联立方程组 x2-y23=1y= 33x-2 ，整理得 8x2+4x-13=0 ，
设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，则有 x1+x2=-12 ， x1x2=-138 ，
则 AB= 1+ 332×x1-x2=2 33× x1-x22=2 33× x1+x22-4x1x2 =2 33× 14-4×-138=3 ，即 AB 的长度为 3 ．

【解析】【分析】(1)设双曲线C的标准方程为 x2a2-y2b2=1 ，根据题意得到 4a2-9b2=1 ，且 -ba=- 3 ，求得 a,b 的值，即可求解；
(2)根据题意，不妨设直线l的斜率为 33 ，得到直线 l 的方程为 y= 33x-2 ，联立方程组，结合弦长公式，即可求解．
21.【答案】解：(1)证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴OH//BC且OH=12BC，
在图1中AG//BC且AG=12BC，EF//BC且EF=BC．
所以在图2中，AG//BC且AG=12BC，
∴AG//OH且AG=OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，则AO//HG，
由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，
∴AO//平面GCF．
(2)由图1，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角．
∴∠AEB=23π，
以E为坐标原点，EB，EF的方向分别为x轴和y轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz如图，
设CB=2EB=2EA=4，则B2,0,0、O1,2,0、A-1,0, 3，
∴OB=1,-2,0，BA=-3,0, 3，
易知平面ABE的一个法向量m=(0,1,0)，
设平面OAB的一个法向量n=(x,y,z)，
由n⋅OB=0n⋅BA=0，得x-2y=0-3x+ 3z=0,
取x=2，则y=1，z=2 3，
于是平面OAB的一个法向量n=(2,1,2 3)，
∴cs ⟨n,m⟩=n⋅m|n||m|=1 17，
∴平面OAB与平面ABE夹角的余弦值为 1717．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)取线段CF中点H，连接OH、GH，可得四边形AOHG是平行四边形，然后由线面平行的判定定理即可证明；
(2)由题可得∠AEB即为二面角A-EF-E的平面角，以E为坐标原点，EB，EF的方向分别为x轴和y轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，分别求解平面ABE和平面OAB的一个法向量，利用空间向量夹角公式即可求解．
22.【答案】解：(1)由题意，过点 Pa,b 的直线l经过原点，
所以l的方程为 y=bax ，且点A，B关于原点对称．
设 Ax0,y0 ，将 y=bax 代入 x2a2+y2b2=1 ，化简得 x2=a22 ，即 x02=a22 ，∴ y02=b22 ．
∵ AB=2 7 ，∴ 4x02+y02=2a2+b2=28 ．
根据对称性 AF1+BF1=AF1+AF2=6 ，
根据椭圆定义得 2a=6 ，∴ a2=9 .∴ b2=5 ．
所以C的方程为 x29+y25=1 ．
(2)易知左焦点 F1-2,0 ，又点E在x轴的投影为点 F1 ，所以 E-2,53 ，如下图所示：
设 G0,y0 ，则 y053=35 ，可得 y0=1 ，即 G0,1 ，
易知 ca=23 ，利用三角形相似可得 GDGE=32 ，可得 S▵GQDS▵GPE=12GQ⋅GDsin∠QGD12GP⋅GEsin∠EGP=3GQ2GP=52 ，
所以 GQ=53GP ，即 GQ=-53GP ，
设 Qx1,y1 ， Px2,y2 ，则 GQ=x1,y1-1 ， GP=x2,y2-1 ，
即 x1=-53x2 ．
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为 x=0 ，
此时 GQGP= 5+1 5-1≠53 ，不符合条件．
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为 y=kx+1 ，
联立 y=kx+1x29+y25=1 得 5+9k2x2+18kx-36=0 ．
x1+x2=-18k5+9k2x1x2=-365+9k2x1=-53x2 ，解得 x2=27k5+9k2x22=10855+9k2 ，
可得 27k5+9k22=10855+9k2 ，即 k2=2099 ，解得 k=±2 5533
综上，PQ所在直线的方程为 2 5533x-y+1=0 或 2 5533x+y-1=0 ．

【解析】【分析】在求解椭圆中三角形面积比例问题时，往往根据解三角形的面积公式将面积比转化为线段长度的比值或点坐标的比值，再由韦达定理解出相关参数即可实现问题求解．
(1)利用过原点的直线截得的弦长 AB=2 7 可得 2a2+b2=28 ，由对称性可知 2a=6 ，即可求出椭圆方程；
(2)易知 F1-2,0 ，可得 E-2,53 ，利用面积比可知 GQ=-53GP ，对直线 PQ的斜率是否存在分类讨论可得 x=0 不合题意，联立直线和椭圆方程利用韦达定理解出斜率即可求得直线方程．