新疆新和县实验中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学（理）试题

新和县实验中学2022-2023学年第一学期月考考试试卷

高 三 年级   学科： 理科数学 （时间 120分钟 分值：150分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.若复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

2.集合，集合，则（       ）

A．（-2，2） B．（-2，3） C．（-1，2） D．（-1，3）

【答案】C

3.设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】化简不等式，可知 推不出；

由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．

4.材料：函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合所产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数（）的说法正确的是（    ）

A．无极小值，无极大值 B．无极小值，有极大值 

C．有极小值1，无极大值 D．有极小值1，有极大值

【答案】B

【分析】根据给定信息，对函数变形并求导，进而判断其极值情况即可得解.

【详解】依题意，，，

求导得：，由，得，

当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以有极大值，无极小值.

5.设等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．70 B．80 C．120 D．140

【答案】A

【解析】在等差数列中，，则 ，

故，故选：A

6.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

7.设x，y满足约束条件则的范围为________．

A                     B                  

C                       D   

【答案】A

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，可得，即点，

令，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，

直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.

故答案为：3.

故选A

8.已知为正实数且，则的最小值为（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：A

9.定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则=（       ）

A．－2 B．0 C． D．

【答案】B

【分析】

由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值.

【详解】

由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又，

，的周期为4.

.

故选：B.

10.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（       ）

A．向左平移个单位长度                  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度                 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】

根据三角函数图象的变换法则即可求出．

【详解】

因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．

故选：D.

11.设函数，则不等式的解集为_____________.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为,所以,

所以函数为奇函数,因为(当且仅当时,等号成立)所以函数为上的递增函数,所以不等式可化为,所以根据函数为奇函数可化为,所以根据函数为增函数可化为,可化为,可化为,解得:,所以不等式的解集为:.

12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝－x2＋2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log(|x|－1)的零点个数为(　 )

A．0           B．2            C．4         D．6

【答案】C

【解析】由题意知，f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，由g(x)＝f(x)－log(|x|－1)＝0可得f(x)＝log(|x|－1)，所以将函数g(x)的零点个数转化为函数f(x)的图象与h(x)＝log(|x|－1)的图象交点个数，对于h(x)＝log(|x|－1)，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为h(－x)＝log(|－x|－1)＝log(|x|－1)＝h(x)，所以h(x)＝log(|x|－1)为偶函数，所以画出f(x)和h(x)在y轴右侧的图象如图所示，有2个交点，所以f(x)的图象与h(x)＝log(|x|－1)的图象交点个数为4，即g(x)＝f(x)－log(|x|－1)的零点个数为4.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量，，，若，则实数______．

【答案】

【解析】易得，∵，∴，解得．

故答案为：﹒

14.已知,，则的值为________.

【答案】

【分析】

根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得.

【详解】

……（1）

   ……（2）

由（1）+（2）得：

故答案为：

15. 若直线与曲线相切，则切点的坐标为___________.

【答案】

【答案】

16.已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数a取值范围是________.

【答案】

【详解】因为，所以在R上为单调递增函数，当时，的图象如图所示：

因为在R上为单调递增函数，所以，当时，为增函数，所以，

且在x=a处，解得，综上，

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）

17.（10分）设函数的定义域为，集合．

（1）求集合；

（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【解析】（1）要使得函数有意义，只需要

解得，

所以集合．

（2）因为是的必要不充分条件，所以，

当时，，解得；

当时，解得，

综上可知，实数的取值范围是．

18.（12分）已知，其中.

(1)若函数在处取到极值，求实数a的值；

(2)记，若在上单调递增，求实数a的取值范围.

【解析】(1)，由题意，得，

则，经检验，在处取到极小值，满足题意

(2)，

由题意得在恒成立，即

令，可知在上单调递减，

故，a的取值范围是

19.（12分）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【解析】(1)设的公差为，的公比为，

由已知可得，，则，

即．

∵，∴，

又∵，

∴，解得，即．

(2)【理科】由（1）知，

令①，

①式两边同乘得：②，

错位相减得

则．

20.（12分）在中，，，．

(1)求B；

(2)求边上的高．

【答案】(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理求得，由此求得.

（2）利用余弦定理求的，结合面积法求得边上的高.

(1)

由正弦定理得，

由于，所以是锐角，所以

(2)

由余弦定理得，

，

，

解得或，

设边上的高为，

则，

所以，或.

21. （12分）设2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端､共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其余的不喜欢数学.

（1）请完成下面列联表，并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？

（2）采用分层抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为3人中不喜欢数学的男生人数，求的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

临界值表：

【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关   

（2）分布列见解析，数学期望：

22.（12分）已知函数．

(1)若函数图象的切线倾斜角总是锐角，求实数k的取值范围；

(2)若对任意的恒成立，求整数k的最大值．

【解析】(1)由题．

∵函数图象的切线倾斜角总是锐角，

∴对一切正数x恒成立，即恒成立，于是．

(2)因为对任意的恒成立，即对任意恒成立．

令，则，

令，则，

∴函数在上单调递增，

∵，

∴方程在上存在唯一实根，且满足，

当时，，即，当时，，即，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∵是的根，即，

∴，

∴，∵，故整数k的最大值为3．