江西省赣州市南康区2024届九年级上学期期中摸底练习数学试卷(含答案)

这是一份江西省赣州市南康区2024届九年级上学期期中摸底练习数学试卷(含答案)，共10页。

九年级数学试题卷
单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。
已知a，b，c为常数，点P（a，b）在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
2． 科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是
A． B．x（x+1）＝132 C． D．x（x﹣1）＝132
3． 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是
A． B．或 C． D．或
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是
A． B． C． D．
5．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，、、分别切于点A、、，的半径为5，，则的周长为
A．18 B．20
C．24 D．30
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7． 已知方程的根为，则的值为____________．
8． 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
9． 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则 的度数是 ．

第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在中， ，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则的度数为 ．
11．如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则半径为 ．
12．已知二次函数的图像经过点与，关于的方程ax2+bx+c+m=0（m>0）有两个根，其中一个根是5，若关于的方程ax2+bx+c+n=0（0三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x-5＝0．
14．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．
15．如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，
与轴交于点．其中A（3，0），C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点在第四象限的此二次函数图象上，
且S△AOP=4S△BOC，求点的坐标．
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心．
17．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF=BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2的不变值是 ，A＝ ．
（2）说明代数式3x2+1没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
19．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少？

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2）， 直线y＝eq \f(1,2)x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为点E，再过点D作DF⊥m，
垂足为点F，求BE∶MF的值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF＝CE；
22．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
六、解答题（共12分）
23．综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
赣州市南康区2023～2024学年度第一学期期中摸底训练题
九年级数学试题参考答案
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. B 2. D 3. B 4. B 5. D 6. C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 6 8. 9. 35°
10. 80° 11. 2 12. 4或-2
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）原式. 分
（2）（解法不唯一）由题意得. 分
14. （1）证明：依题意，得== 4．
∵ ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根． 分
（2）解：∵，
∴
∴，． 分
∵ 方程的两个根均为负数，
∴ ，解得． 分
15.解：（1）把，代入中得：，，
二次函数解析式为； 分
（2）当时，则，解得或，，
，，，，，
，，
，
， ， 分
点在第四象限，
当时，解得或（舍去），
综上所述，点的坐标为． 分
16.解：

如图1所示，圆心O为所求； 分
如图2所示，圆心O为所求. 分
17.解：（1），
， 分
，
，
． 分
（2），
，
， 分
，
，
． 分
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 解：（1）﹣1和2；3 分
（2）依题意，得：3x2 +1＝x， ∴3x2﹣x+1＝0，分
∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，
∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值． 分
（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0， 分
∴b1＝﹣3，b2＝1．
答：b的值为﹣3或1． 分
19. 解：（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，解得：，
∴与的函数解析式为（10（2）根据题意知，，分
，
当时，随的增大而增大，分
∵10当时，取得最大值，最大值为144， 分
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．分
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1，
将(4，2)代入，得2＝4a＋1，解得a＝eq \f(1,4). 分
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,4)(x－2)2＋1. 分
（2）如图，过点B，C，D分别作y轴的垂线，垂足分别为点Q，G，H，过点C作x轴的垂线，垂足为点P，交直线m于点N.
联立y＝eq \f(1,4)(x－2)2＋1和y＝eq \f(1,2)x＋1，得x2－6x＋4＝0，解得x＝3±eq \r(5)， 分
∴B ，D.
∴BD＝，
CG＝eq \f(DH＋BQ,2)＝3. 分
∴当x＝3时，y＝eq \f(1,2)×3＋1＝eq \f(5,2)，即CP＝eq \f(5,2).
∴CP＝eq \f(1,2)BD.∴圆C与x轴相切． 分
（3）如图，连接CM.
由（2）知圆C的半径R＝eq \f(5,2)，∴CM＝R＝eq \f(5,2)，CN＝R－1＝eq \f(3,2).
由勾股定理，得MN＝2.
又∵NF＝xD－xC＝3＋eq \r(5)－3＝eq \r(5)， ∴MF＝NF－MN＝eq \r(5)－2.
又∵BE＝yB－1＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(5),2)， ∴BE∶MF＝eq \f(\r(5)＋1,2). 分
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°， 分
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．..4分
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°， 分
∵∠BCP=∠BCE， ∴∠ACF=∠ACE， 分
∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC， ∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE． 分
解：（1）66 分
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，
根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，
即得基准点K的高度h为21m 分
②b＞ 分
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76）， 分
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣， 分
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， 分
∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 分
六、解答题（12分）
23. 解：（1）①3 ② 分
（2）由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，解得，
∴当时，， 分
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为， 分
把代入中得：，解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴； 分
（3）①4
②由（3）①可得，
∵，
∴， 分
∴，
∴． 分