2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县高二上学期11月期中数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县高二上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．双曲线的焦距是

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由双曲线的标准方程可以求出，再利用公式求出，焦距等于.

【详解】又，所以焦距等于，故本题选D.

【点睛】本题考查了双曲线的焦距，熟记之间的关系是解题的关键.

2．设两条直线的方程分别为x+y﹣a＝0、x+y+b＝0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（　　）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】根据条件,由韦达定理可得,然后利用平行线间的距离公式求出距离.

【详解】解:因为a、b是关于x的方程x2+x+c＝0的两个实数根,

所以,所以两直线间的距离.

故选:C.

【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.

3．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.

【详解】由题意可得，

.

故选：C

4．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交且过圆心 B．相切

C．相离 D．相交但不过圆心

【答案】D

【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.

【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．

故选:D

5．已知抛物线上一点到其 的焦点的距离为，则点在第一象限的横坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解即可.

【详解】设，由抛物线的方程可得准线方程：，

由抛物线的性质可得，可得，代入抛物线方程可得，

故选：B．

6．已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，则等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：根据三角形法则得到，再根据已知条件，应用向量的点积运算得到最终结果.

详解：根据向量的基本定理得到

故答案为B.

点睛：这个题目考查的是向量基本定理，以及空间向量的加减法运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

7．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为．这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，以及三角形两边之和大于第三边的性质进行求解即可.

【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，

由于是以为底边的等腰三角形，

若，即有，，

由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，

即由，，再由三角形的两边之和大于第三边，

可得，由离心率公式可得，

由于，，

则的取值范围是，

故选：C.

8．如图所示，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则下列结论：

①；②平面；

③平面 平面；④平面.

其中正确结论的序号是

A．①② B．③④

C．①③ D．②④

【答案】D

【分析】根据平行与垂直的判定及性质，逐项分析即可.

【详解】如图所示，

连接，，，，，，，分别是棱，，的中点．

对于①，因方，是正三角形，所以与不垂直；

对于②，因为平面平面，并且平面，所以平面．

对于③，显然不正确；

对于④，，所以面．

故选D.

【点睛】本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，属于中档题.

二、多选题

9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【分析】利用向量的加法运算法则以及正方体的性质即可得出．

【详解】解：如图所示：

对于A：，

对于B：，

对于C：，

对于D：，

故选：ABCD．

10．(多选)下列说法中，错误的是（    ）

A．任何一条直线都有唯一的斜率

B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C．任何一条直线都有唯一的倾斜角

D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【答案】ABD

【详解】解析　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．

11．(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为（    ）

A．＝1

B．＝1

C．＝1

D．＝1

【答案】AC

【分析】先求出a、b、c，再写出椭圆方程.

【详解】解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，所以c＝．

因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝，

所以a＝2．所以b2＝a2－c2＝9．

故椭圆C的标准方程是＝1或＝1．

故选：AC

【点睛】求椭圆（双曲线、抛物线）的标准方程：先定位（确定焦点的位置），再定量（定量计算，计算a、b、c的值.）

12．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．过点A与抛物线有一个公共点的直线有3条

C．的最小值为

D．点到直线的最短距离为

【答案】BC

【分析】A选项，利用抛物线定义进行求解，进而求出；B选项，与抛物线相切的线有两条，与x轴平行的有一条；C选项，利用两点之间线段最短进行求解；D选项，转化为两平行线之间距离进行求解最短距离.

【详解】A选项，过点M作MA垂直抛物线准线于点B，根据抛物线定义可知：，即，解得：，代入抛物线中得：，故A错误；

B选项，过点A平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点，过点A的y轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A的直线方程为，与抛物线联立得：，由得：，即与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B正确；

C选项，由抛物线方程可知：，连接AF，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M点，此时最小，最小值为，C正确；

D选项，设与平行且与抛物线相切的直线为，此时直线与抛物线的切点即为M，则与的距离即为点到直线的最短距离，联立与抛物线方程得：，由解得：，故，D选项错误.

故选：BC

三、填空题

13．直线l过点，倾斜角为30°，则直线l的方程为             

【答案】.

【分析】先求直线斜率，再根据点斜式即可得出方程.

【详解】因为直线倾斜角为30°，则斜率，

根据点斜式，则直线方程为：，

化为：．

故答案为：．

14．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为      ．

【答案】

【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.

【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，

因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，

由双曲线定义知：，即，，，

所以双曲线的渐近线为：.

故答案为：

【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线

(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.

15．经过点以及圆与圆交点的圆的方程为        ．

【答案】

【分析】先确定过两圆交点的圆系方程，再将的坐标代入，即可求得所求圆的方程．

【详解】解：设过圆与圆交点的圆的方程为：①

把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，

所求圆的方程为：，

故答案为：．

16．如图，已知长方体中，，，，与平面交于点，则      ．

【答案】

【分析】根据题意设，利用空间向量的运算得出，然后利用四点共面即可求解.

【详解】由题设，

因为，

所以，

又因为、、、四点共面，所以，解得，

故答案为：．

四、解答题

17．已知直线，若直线与直线平行，求的值.

【答案】

【分析】将两条直线方程化为斜截式，利用斜率相等，纵截距不相等可求出结果.

【详解】由得，得直线的斜率为，

由得，得斜率为，

因为直线与直线平行，所以，

解得.

18．已知圆过点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点作圆的切线，求该切线方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）设圆的一般方程为，将、、三点坐标代入圆的一般方程，得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程，再将圆的方程化为标准方程即可；

（2）分两种情况讨论，一种是切线与轴垂直，得出此时切线的方程为，验证此时该直线与圆是否相切，另一种是切线的斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，求出的值，综合可得出切线的方程.

【详解】（1）设圆的一般方程为，

将、、三点坐标代入圆的一般方程，得，解得，

所以，圆的一般方程为，圆的标准方程为；

（2）当切线与轴垂直时，则该直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切；

当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即.

圆心到直线的距离为，解得，

此时，切线的方程为，即.

综上所述，所求切线的方程为或.

【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线的方程的求解，解题时不要忽略了对直线垂直于轴的讨论，从而漏掉答案，考查运算求解能力，属于中等题.

19．如图：在直三棱柱中，，是的中点，是的中点

（1）证明：平面

（2）求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）设是的中点，连接，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可求证；

（2）根据等腰三角形的性质证明，根据直三棱柱证明，即可求证平面，由，可证平面，即可求证.

【详解】（1）设是的中点，连接

在中，是，的中点，

所以，，

又因为，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为面，面，所以平面；

（2）在中，，点是的中点，可得，

因为三棱柱是直三棱柱，所以面，

因为面，所以，

因为，面，面，

所以平面，

又因为，所以平面，

因为面，所以.

20．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；

(2)求点M到直线距离的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点， 根据题意得到，代入即可求解；

（2）设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，根据与C相切时，求得，得到的方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解.

【详解】（1）解：设点，

由，可得，即，

又因为点在圆上，代入可得，

整理得，即点M的轨迹方程.

（2）解：设平行于直线且与相切的直线，

联立方程组，整理得，

当与C相切时，则满足，

解得，即，

所以的方程为或，

所以点M到直线距离的最大值.

21．已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，得到向量，求出平面的法向量，利用向量与平面的法向量垂直，即可证明线面平行；

（2）求出平面与平面的法向量，利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值．

【详解】解：（1）设，取的中点，连接

∵，，三角形AEC为等边三角形，∴.

又∵平面平面，平面平面，平面,

∴平面，平面∴，

又∵，∴.

∴ 以射线 分别为轴、轴、轴的正方向建P立空间直角坐标系，如图，

则，，，

设平面的法向量为，，

∴，

即 ，令，得，又，

∴.

∴，即，

∵平面，

∴平面.   

（2）设平面的法向量为，

∵，即，

令，则，，

∴.

易知平面的一个法向量为.

∴.OP

22．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线的方程．

(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在．

【分析】（1）利用点线距离公式及即可求得，从而求得双曲线的方程；

（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.

【详解】（1）由题意得，，故，

又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，

所以右焦点到渐近线的距离为，解得，

所以，，

所以双曲线C的标准方程为．

（2）假设存在，设，，

由题意知，直线斜率不为0，设直线，

联立，消去，得，

则，，

且，，

因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，

则，即，则，

整理得，故，

即，因为，所以，

故存在．