2023-2024学年江苏省南京市江宁区江宁开发区学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市江宁区江宁开发区学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面有个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.根据下列已知条件，能画出唯一的的是
( )
A. B.
C. D.
3.如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. 三条角平分线的交点B. 三条高所在直线的交点
C. 三条中线的交点D. 三边的垂直平分线的交点
4.如图所示，把长方形沿对折，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
5.如图，、和分别是关于，边所在直线的轴对称图形，若：：：：，则的度数为
．( )
A. B. C. D.
6.如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，下列结论：；是等边三角形；平分；；≌，其中正确的结论有
( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
7.在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：
，则该汽车的车牌号是 ．
8.如图，已知，要用“”判断≌，需添加的一个条件： ．
9.如图，中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接若，，则的周长为 ．
10.如图，的个顶点分别在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．在图中再画格点三角形位置不同于，使得所画三角形与全等，则这样的格点三角形能画 个．
11.如图所示，，，，，，，三点共线则 ．
12.如图，，，、是上的两个点，，，若，，，则的长为 ．
13.如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．
14.如图，点为内任一点，，分别为点关于，的对称点若，则 ．
15.如图，线段、的垂直平行线、相交于点，则，则的度数 ．
16.在中，，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点，，且，则的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，求证：．
18.本小题分
如图，阴影部分是由个小正方形组成的一个直角图形，请用种方法分别在下图方格内涂黑个小正方形，使它们成为轴对称图形．
19.本小题分
如图，与交于点，已知，．
求证：；
若，，求的长．
20.本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在网格上；

在图中画出与关于直线成轴对称的；
在直线上找一点，使得的周长最小；
求的面积．
21.本小题分
如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为请你解答下列问题：
求的长；
试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
22.本小题分
如图，在中，，分别过点向经过点的直线作垂线，垂足为．

如图，当与斜边不相交时，求证：；
当与斜边的位置如图所示时，若，求的长．
23.本小题分
如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过多少秒时，由点、、组成的三角形与全等？
24.本小题分
尺规作图：用三种方法作的角平分线．写出必要的文字说明或作图步骤．

25.本小题分
如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长到点使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________直接写结论，不需证明；

如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出三角形的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：都是轴对称图形，不是轴对称图形，
故选B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【详解】解：．，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B.，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D.，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
3.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，
凉亭选择三边的垂直平分线的交点．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】设的对应点为点，根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数．
【详解】设的对应点为点，如图，
根据折叠的性质有：，即，
，
，
四边形是长方形，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】根据题意可设，，，即可得到，，，再利用三角形外角的性质得到，最后根据三角形的内角和定理计算即可．
【详解】，
设，，，
由得：
，
解得，
故，，，
和是分别是关于，边所在直线的轴对称图形，
，，，
，
故
在与中，，，
．
故选C．
【点睛】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题关键在于掌握内角和定理．
6.【答案】
【解析】【分析】利用全等三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】连接，，作于，于，
，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，故正确，
，，，
≌，
，，
是等边三角形，故正确，
≌，，
平分，故正确，
，，
，故正确，
，
∽，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际车牌号是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．
8.【答案】
【解析】【分析】已知，公共，要用“”判断≌，需添加的一个条件是．
【详解】添加的条件是：，
理由是：在和中
≌，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9.【答案】
【解析】【分析】根据垂直平分线得到，再利用的周长，即可得出答案．
【详解】解：为边的垂直平分线，
，
的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】利用网格的特点结合可证明两个三角形全等进行求解即可．
【详解】解：如图所示，即为所求，
由网格的特点可得，
，
同理可证明，
这样的格点三角形能画个，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
11.【答案】
【解析】【分析】根据角的和差关系得出，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：，，，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】由题意可证，可得，，可求的长．
【详解】解：，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：由图知，，
，，
，，
，，
，，
又，，
，，
，，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】连接，根据对称的性质得出，再根据四边形内角和是得出的度数，即可得出结论
【详解】解：连接，如图所示：
根据对称知，，，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，得出．
15.【答案】
【解析】【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，同理可得，再利用周角的定义计算出，则，然后利用平角的定义计算的度数．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
平分，
，
同理可得，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
16.【答案】或
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后分两种情况讨论求解；
【详解】、的垂直平分线分别交于点、，
，，
，
，，
当与无重合时，如图，
，
当与有重合时，如图，
，
综上所述，或；
故填：或；
【点睛】本题考查等腰三角形、垂直平分线的性质，关键在利用数形结合的方法；
17.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
．

【解析】【分析】根据题意证明出，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，根据轴对称图形的含义，按照要求完成即可．
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的含义是本题的关键．
19.【答案】证明：如图，连接，
在与中，
，
；
，，
．

【解析】【分析】连接，用可证明，即可解决问题；
由题意可得，进而利用可以解决问题．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
20.【答案】解：如图，即为所求；

如图，连接交直线于点，点即为所求；
解：的面积．

【解析】【分析】作出，，三点关于的对称点，依次连接这三个点即可；
连接交直线于点，则点即为所求作的点；
用割补法即可求得．
【点睛】本题考查了作轴对称图形，割补法求图形面积，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键．
21.【答案】是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
．
点在边的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接、、，
是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．

【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，根据线段的和差关系及的周即可得的长；
如图，连接、、，根据垂直平分线的性质可得，，即可得出，可得点在边的垂直平分线上．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，

【解析】【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质可得，最后利用全等三角形的性质解答即可；
根据垂直的定义及直角三角形的性质可得，再利用全等三角形的性质解答即可．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：当在线段上，时，，
米，
米，
米，
点的运动时间为秒；
当在上，时，，
米，
米，
米，
点的运动时间为秒；
当在线段上，时，，这时在点未动，因此时间为秒；
当在上，时，，
米，
米，
米，
点的运动时间为秒，
故当点经过秒或秒或秒或秒时，由点、、组成的三角形与全等．

【解析】【分析】首先分两种情况：当在线段上和当在上，然后再分成两种情况和，分别进行计算，即可得出结果．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．
24.【答案】解：如图，三种方法作图如下：
．

【解析】【分析】方法一：在上截取，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线即可；方法二：分别在上截取，，连接交于点，作射线即可；方法三：在上取一点，作，在射线上截取，作射线即可．
【点睛】本题考查了角平分线和平行线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．
25.【答案】延长到点，使，连结，
在和中，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，

，
，
同理：，
，，
，
，
，又，
，
，
，
；
如图，延长到，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
的周长．

【解析】【分析】延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题；
延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．