2023-2024学年江苏省南京市钟英中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市钟英中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图标中是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.若ΔABC≅ΔDEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为
( )
A. 30B. 27C. 35D. 40
3.如图，点F，B，E，C在同一条直线上，ΔABC≅ΔDEF，若∠A=34∘，∠F=36∘，则∠DEC的度数为
( )
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘
4.小熊不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)，他只带了第2块去玻璃店，就配到一块与原来一样大小的三角形玻璃．他利用了全等三角形判定中的
( )
A. ASAB. SASC. SSSD. HL
5.如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F.若SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是
( )
A. 4B. 3C. 6D. 5
6.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC=90∘.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是
( ) ?
A. 1mB. 1.6mC. 1.8mD. 1.4m
7.如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠DEF=65∘，则∠C′FB是?( )
A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 65∘
8.如图，ΔABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数
( )
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180∘；③∠ACB=2∠APB；④SΔPAC=SΔMAP+SΔNCP．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是_ _.
10.如图，AC=AD，要使ΔACB≅ΔADB，还需添加一个条件，这个条件可以是_ .(写出一个即可)
11.如图，ΔABC≅ΔADE，若∠B+∠C=110∘，则∠DAE=_ 度．
12.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于_ _.
13.如图，ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6，ΔABD的周长为19，则ΔABC的周长为_ ．
14.如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，点D、E在BC边上，且点D在点B和点E之间．若∠BAC=100∘，则∠DAE=_ _.
15.如图，已知∠A=∠DCE=90∘，BE⊥AC于点B，DC=EC，BE=20cm，AB=9cm，则AD=_ _.
16.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到ΔDEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为_ _.
17.如图，其中的ΔABE和ΔADC是由ΔABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，BE与CD相交于点I，若∠BAC=140∘，则∠EIC=_ ∘．
18.如图，已知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，CD=13厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _厘米/秒时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
如图，AE=DB，AC=DF，AC//DF，求证：BC=EF．
20.(本小题8.0分)
生活中的数学：
(1)启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性．
(2)图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，请说明AD=CB的理由．
21.(本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．
(1)试说明：AB=CE；
(2)若∠C=32∘，求∠BAC的度数．
22.(本小题8.0分)
求证：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等．
已知：如图ΔABC．
求证：ΔABC的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等．
23.(本小题8.0分)
如图，已知ΔABC(AC(1)在AB边上寻找一点M，使得点M到AC、BC的距离相等；
(2)在BC边上寻找一点N，使得NA+NB=BC．
24.(本小题8.0分)
已知：∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，
(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
解：①结论：CD=BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘，
∴∠ACD=_∠CBE_
在ΔACD和ΔCBE中，(__)
∴ΔACD≅ΔCBE，(__)
∴CD=BE．
②结论：AD=BE+DE．
理由：∵ΔACD≅ΔCBE，
∴__
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．
25.(本小题8.0分)
【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，ΔABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连结BE.请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ΔADC≅ΔEDB的理由是_B_.
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
(2)AD的取值范围是__．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图3，AD是ΔABC的中线，BE交AC干点E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF．
26.(本小题8.0分)
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示：在ΔABC和ΔDEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后对∠B是直角、钝角、锐角三种情况探究．
【深入探究】
(1)如图1，在ΔABC和ΔDEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90∘，根据_HL_，可以知道．
(2)如图2，在ΔABC和ΔDEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：ΔABC≅ΔDEF．
(3)在ΔABC和ΔDEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图3中作出ΔDEF，使ΔDEF和ΔABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4)对于(3)，∠B还要满足什么条件，就可以使ΔABC≅ΔDEF？请直接填写结论：在ΔABC和ΔDEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，若__，则ΔABC≅ΔDEF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图标都不能找一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】【考点】全等三角形的性质
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵ΔABC≅ΔDEF，
∴BC=EF=30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【考点】全等三角形的性质
【分析】由全等三角形的性质得到∠D=∠A=34∘，由三角形外角的性质得到∠DEC=∠F+∠D=70∘．
【解答】解：∵ΔABC≅ΔDEF，
∴∠D=∠A=34∘，
∴∠DEC=∠F+∠D=36∘+34∘=70∘．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由全等三角形的性质得到∠D=∠A=34∘，由三角形外角的性质即可求解．
4.【答案】A
【解析】【考点】全等三角形的应用
【分析】根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
5.【答案】B
【解析】【考点】角平分线的性质
【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由SΔABC=SΔABD+SΔACD及三角形的面积公式，从而求出AC的长．
【解答】解：∵AD是ΔABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2．
又∵SΔABC=SΔABD+SΔACD，AB=4，
∴7=12×4×2+12×AC×2，
解得AC=3．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6.【答案】D
【解析】【考点】全等三角形的应用
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明ΔCOE≅ΔOBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：由题意可知∠CEO=∠BDO=90∘，OB=OC，
∵∠BOC=90∘，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90∘．
∴∠COE=∠OBD，
在ΔCOE和ΔOBD中，
∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODBOC=OB,
∴ΔCOE≅ΔOBD(AAS)，
∴CE=OD，OE=BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE=OD−OE=CE−BD=1.8−1.4=0.4(m)，
∵AD=1m，
∴AE=AD+DE=1.4(m)，
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明ΔCOE≅ΔOBD是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【考点】翻折变换(折叠问题)；平行线的性质
【分析】由折叠的性质得到D′E//C′F，由平行线的性质得到∠BFE=∠DEF=65∘，∠FED′+∠EFC′=180∘，求出∠EFC′=115∘，即可得到∠BFC′=∠EFC′−∠BFE=50∘．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF=65∘，
由折叠的性质得到：D′E//C′F，
∴∠FED′+∠EFC′=180∘，
∴∠EFC′=115∘，
∴∠BFC′=∠EFC′−∠BFE=50∘．
故选：B．
【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【考点】角平分线的性质
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PN=PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90∘+∠MPN+90∘=360∘，
∴∠ABC+∠MPN=180∘，
在和RtΔPAD中，
PM=PDPA=PA,
，
∴∠APM=∠APD，
同理：，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180∘，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM，∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知，
∴SΔAPD=SΔAPM，SΔCPD=SΔCPN，
∴SΔAPM+SΔCPN=SΔAPC，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】3265
【解析】【考点】镜面对称
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．
【解答】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265．
故答案为：3265．
【点评】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．
10.【答案】BC=BD(答案不唯一)
【解析】【考点】全等三角形的判定
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：条件是BC=BD，
理由是：在ΔACB和ΔADB中，
AC=ADAB=ABBC=BD,
∴ΔACB≅ΔADB(SSS)，
故答案为：BC=BD(答案不唯一)．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
11.【答案】70
【解析】【考点】全等三角形的性质
【分析】首先利用三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用全等三角形的性质确定答案即可．
【解答】解：在ΔABC中，∠B+∠C=110∘，
∴∠BAC=180∘−(∠B+∠C)=70∘，
∵ΔABC≅ΔADE，
∴∠DAE=∠BAC=70∘，
故答案为：70．
【点评】考查了全等三角形的应用，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大．
12.【答案】180∘
【解析】【考点】全等图形；全等三角形的性质
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6=180∘，∠5+∠7+∠8=180∘，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540∘，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6=180∘，
又∵∠5+∠7+∠8=180∘，
∴∠1+∠2+∠3+180∘+180∘=540∘，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180∘．
故答案为：180∘．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
13.【答案】31
【解析】【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，AC=12，根据ΔABD的周长为24求出AB+BC=19，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=6，
∴AD=DC，AE=EC=6，
∴AC=12，
∵ΔABD的周长为19，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=19，
∴ΔABC的周长为AB+BC+AC=19+12=31，
故答案为：31．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能正确运用线段垂直平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
14.【答案】20∘
【解析】【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=80∘，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，进而得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC=100∘，
∴∠B+∠C=180∘−100∘=80∘，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=80∘，
∴∠DAE=100∘−80∘=20∘，
故答案为：20∘．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】11cm
【解析】【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形
【分析】由“AAS”可证ΔECB≅ΔCDA，可得BE=AC，BC=AD，即可求解．
【解答】证明：∵∠ECB+∠DCA=90∘，∠DCA+∠D=90∘，
∴∠ECB=∠D，
在ΔECB和ΔCDA中，
∠ECB=∠D∠EBC=∠A=90∘CE=CD,
∴ΔECB≅ΔCDA(AAS)，
∴BE=AC，BC=AD，
∵BE=20cm，
∴AC=20cm，
∴AD=AC−AB=11cm，
故答案为：11cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ΔECB≅ΔCDA是本题的关键．
16.【答案】48
【解析】【考点】全等三角形的性质；平移的性质
【分析】根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12AB+OE⋅BE=1210+6×6=48．
故答案为48．
【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
17.【答案】80
【解析】【考点】三角形内角和定理；翻折变换(折叠问题)
【分析】由ΔABE和ΔADC是由ΔABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，得∠ABC=∠ABE，∠BCA=∠DCA，从而得到∠IBC+∠ICB=2∠ABC+2∠ACB=2×40∘=80∘
【解答】解：∵ΔABE和ΔADC是由ΔABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，
∴∠ABC=∠ABE，∠BCA=∠DCA，
∵∠BAC=140∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−∠BAC=180∘−140∘=40∘，
∴∠IBC+∠ICB=2∠ABC+2∠ACB=2×40∘=80∘，
∴∠EIC=∠IBC+∠ICB=80∘，
故答案为80．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，根据折叠前后对应角相等求出∠IBC+∠ICB=80∘是解题的关键．
18.【答案】2或3
【解析】【考点】全等三角形的判定
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=2t，CP=8−2t，
∵∠B=∠C，
∴当BE=CP=6，BP=CQ时，ΔBPE与ΔCQP全等，
此时，6=8−2t，
解得t=1，
∴BP=CQ=2，
此时，点Q的运动速度为2÷1=2(厘米/秒)，
当BE=CQ=6，BP=CP时，ΔBPE与ΔCQP全等，
此时，2t=8−2t，
解得t=2，
∴点Q的运动速度为6÷2=3(厘米/秒)，
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
19.【答案】证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，
即AB=DE，
∵AC//DF，
∴∠A=∠D，
在ΔABC和ΔDEF中，
AC=DF∠A=∠DAB=DE,
∴ΔABC≅ΔDEF(SAS)，
∴BC=EF．

【解析】【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】已知AE=DB，则AE+EB=DB+EB，可得AB=DE，由AC//DF，得∠A=∠D，结合已知AC=DF可证明ΔABC≅ΔDEF，利用全等三角形的性质证明结论．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是由已知线段相等，公共线段求对应边相等，证明全等三角形．
20.【答案】(1)解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性；
(2)证明：∵O是AB和CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO，
在ΔAOD和ΔBOC中，
AO=BO∠AOD=∠BOCDO=CO,
∴ΔAOD≅ΔBOC(SAS)，
∴AD=BC．

【解析】【考点】全等三角形的应用
【分析】(1)利用三角形的性质进行解答；
(2)利用SAS定理判定ΔAOD≅ΔBOC，再利用全等三角形的性质可得答案．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．
21.【答案】(1)证明：∵D为BE的中点，
∴BD=DE，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AB=CE；
(2)解：∵∠C=32∘，AE=CE，
∴∠C=∠EAC=32∘，
∴∠AEB=∠C+∠EAC=64∘，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=64∘，
∴∠BAE=180∘−∠B−∠AEB=180∘−64∘−64∘=52∘，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=52∘+32∘=84∘．

【解析】【考点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质
【分析】(1)根据等腰三角形的判定得出AB=AE，根据垂直平分线的性质得出AE=CE，等量代换即可得出结论；
(2)根据等边对等角得出∠C=∠EAC=32∘，再根据三角形的外角的性质得出∠AEB=∠C+∠EAC=64∘，再根据等边对等角得出∠B=∠AEB=64∘，根据三角形内角和定理得出∠BAE=52∘，进而得出答案．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键．
22.【答案】证明：如图，作ΔABC的两条角平分线BD、CE交于点I.作IP⊥BC于点P．IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R．
∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB，
∴IP=IR(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理IP=IQ．
∴IP=IQ=IR．
又∵IQ⊥AC，IR⊥AB，
∴点I也在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
∴ΔABC的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等．

【解析】【考点】角平分线的性质
【分析】根据角平分线的性质证明即可得到结论．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)如图所示：

【解析】【考点】角平分线的性质；作图—复杂作图
【分析】(1)作∠ACB的平分线交AB于M；
(2)作AC的垂直平分线交BC于N即可．
【点评】此题考查作图问题，关键是根据角平分线和线段垂直平分线的作法解答．
24.【答案】解：(1)∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘，
∴∠ACD=∠CBE
在ΔACD和ΔCBE中，(∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC)
∴ΔACD≅ΔCBE，(AAS)
∴CD=BE．
②结论：AD=BE+DE．
理由：∵ΔACD≅ΔCBE，
∴AD=CE
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．
故答案为：∠CBE，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC,AAS,AD=CE．
(2)不成立，结论：DE−BE=AD．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘，
∴∠ACD=∠CBE
在ΔACD和ΔCBE中，
∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC,
∴ΔACD≅ΔCBE，(AAS)
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE−BE=DE−DC=CE=AD．

【解析】【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；
(2)结论：DE−BE=AD，只要证明ΔACD≅ΔCBE即可解决问题；
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题．
25.【答案】(1)解：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连结BE．
∵AD为BC的中线，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，
∴ΔADC≅ΔEDB(SAS)，
故答案为：B；
(2)解：∵ΔADC≅ΔEDB，
∴AC=BE=6，
在ΔABE中，AB−BE∴8−6<2AD<8+6，
∴1故答案为：1(3)证明：延长AD到点M，使AD=DM，连接BM，
∵AD是ΔABC中线，
∴CD=BD，
在ΔADC和ΔMDB中，
DC=DB∠ADC=∠MDBAD=MD,
∴ΔADC≅ΔMDB(SAS)，
∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠BFD=∠M，
∴BF=BM，
又∵BM=AC，
∴AC=BF．

【解析】【考点】三角形综合题
【分析】(1)由“SAS”可证ΔADC≅ΔEDB；
(2)由全等三角形的性质可得AC=BE=6，由三角形的三边关系可求解；
(3)由“SAS”可证ΔADC≅ΔMDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由等腰三角形的性质可得BM=BF=AC．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图①，
∵∠B=∠E=90∘，
在RtΔABC和中，
AC=DFBC=EF,
，
故答案为：HL；
(2)证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180∘−∠ABC=180∘−∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在ΔCBG和ΔFEH中，
∠CBG=∠FEH∠G=∠H=90∘BC=EF,
∴ΔCBG≅ΔFEH(AAS)，
∴CG=FH，
在和中，
AC=DFCG=FH,
，
∴∠A=∠D，
在ΔABC和ΔDEF中，
∠A=∠D∠ABC=∠DEFAC=DF,
∴ΔABC≅ΔDEF(AAS)；
(3)解：如图③中，在ΔABC和ΔDEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
ΔDEF和ΔABC不全等；
(4)解：由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A>∠B，
∴当∠B≥∠A时，ΔABC就唯一确定了，
则ΔABC≅ΔDEF．
当∠B+∠C=90∘，∠E+∠F=90∘时，即∠A=∠D=90∘，
在RtΔABC和中，
AC=DFBC=EF,
，
故答案为：∠B≥∠A或∠B+∠C=90∘．

【解析】【考点】三角形综合题
【分析】(1)直接利用HL定理得出；
(2)首先得出ΔCBG≅ΔFEH(AAS)，则CG=FH，进而得出，再求出ΔABC≅ΔDEF；
(3)利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
(4)利用(3)中方法可得出当∠B≥∠A时，则ΔABC≅ΔDEF．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．