北京市石景山区2022—2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

这是一份北京市石景山区2022—2023学年七年级下学期数学期末考试试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽0.6米、厚0.000015米（0.015毫米），广泛应用于航空航天、新能源、5G通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录．0.000015用科学记数法表示应为（ ）
A．1.5×105B．1.5×10−5C．1.5×10−6D．1.5×10−7
2．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a2=5a3B．(−a3)2=a6
C．−4a3b÷2a=−2a2D．(5ab)2=10a2b2
3．以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．了解一批科学计算器的使用寿命
B．调查北京市中学生对神舟十六号载人飞行任务标识寓意的了解情况
C．了解某班同学登上八达岭长城的人数情况
D．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2y−y3=y(x−y)2B．m2−6m−9=(m−3)2
C．x2+x−1=x(x+1)−1D．x2−2xy+x=x(x−2y+1)
5．如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠3=∠4B．∠1=∠2
C．∠5=∠CD．∠A+∠ADC=180°
6．下列命题中，真命题为（ ）
A．有理数的绝对值是正数
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
7．4月下旬，在石景山区2023年“西部温暖计划”启动仪式后，某校组织师生开展捐赠活动．为了解某班30名学生捐赠物品情况，对每位学生的捐赠数量进行了收集、整理，并绘制统计图如图所示．这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．9，10B．8，10C．4，5D．4.5，5
8．已知：关于x的不等式组x−a≥0，2x<4只有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．−2二、填空题
9．计算：3−2= ；(π−2)0= ．
10．若a12=(a3)m=a2⋅an，则m= ；n= ．
11．若一个角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数为 ．
12．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是 ．
​​
13．已知：a>b，请写出一个使不等式am14．著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a>b>0．根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 ．
15．某篮球架及侧面示意图如图所示，若∠EDC=150°，DE∥AB，CB⊥AB于点B，则∠GCB= °．
三、解答题
16．小石的妈妈需要购买盒子存放15升的食物，且要求每个盒子要装满．现有A，B两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表．
（1）写出一种购买方案，可以为 ；
（2）恰逢五一假期，A型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金10元，则购买盒子所需要的最少费用为 元．
17．因式分解：
（1）3x2−12；
（2）x2−2x−8．
18．计算：−a2(−2ab)+3a(a2b−1)
19．解方程组2x−y=5，3x+2y=−3.
20．运用乘法公式简便计算：98×102．
21．计算：(2x−3)2−(x+3)(x−2)．
22．已知：m−n=−2，mn=3，求代数式−m3n+2m2n2−mn3的值．
23．解不等式组5(x−1)≤x+3，x+12<2x.．
24．已知：如图，直线AB，CD与直线EF分别交于点M，N，∠1+∠2=180°，BH平分∠ABD，交CD于点H．
求证：∠4=12∠3．
请补全下面的证明过程：
证明：∵∠1+ =180°（平角的定义），
∠1+∠2=180°（已知），
∴ =∠2（ ），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠ABD=∠3（ ）．
∵BH平分∠ABD（已知），
∴ （角平分线的定义）．
∴∠4=12∠3（ ）．
25．为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的口号，某校在植树节到来之际，开展植树活动．学校计划购买紫薇和银杏两种树苗，相关信息如下表：
（1）若两种树苗共买200棵，恰好将预算金额花完，求m，n的值；
（2）高一年级共有学生298人，老师22人．若要保证师生每两人种一棵树，在预算金额不增加的情况下，最多可以购买紫薇树苗多少棵？
26．2023年5月8日是第76个世界红十字日．某校以“生命教育‘救’在身边”为主题开展“红十字博爱周”活动．为了增强学生的急救意识，宣传急救知识，对七年级200名学生开展急救知识竞赛．为了解七年级学生急救知识掌握情况，调查小组进行了抽样调查，过程如下：
（1）收集数据 调查小组计划从七年级选取20名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是____（填字母）．
A．从七年级的救护技能培训班中选取20名学生的竞赛成绩组成样本；
B．从七年级选取20名女生的竞赛成绩组成样本；
C．从七年级随机选取20名学生的竞赛成绩组成样本．
（2）抽样方法确定后，调查小组抽取得到七年级的样本数据如下：
68 88 84 78 92 83 95 88 100 92
86 95 79 76 99 97 88 93 99 100
整理、描述数据按如下分数段整理、描述样本数据：
七年级样本成绩统计表
解决问题
①请将统计表、扇形统计图补充完整；
②估计该校七年级学生竞赛成绩不低于90分的学生有名．
27．如图，AC，BC被AB所截，AD⊥BC于点D．E为直线AB上一点，过点E作BC的垂线，垂足为F，过点D作DG∥AB交AC于点G．
（1）若点E在线段AB上，
①根据题意补全图形；
②判断∠AEF与∠ADG的数量关系，并证明；
（2）若点E不在线段AB上，直接写出∠AEF与∠ADG的数量关系为 ；
（3）通过本题前两问的解决，观察∠AEF与∠ADG的位置关系和数量关系，归纳出一个你发现的结论．
28．对于二元一次方程x−2y=2的任意一个解x=m，y=n，给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x−2y=2的“关联值”；若|m|<|n|，则称|n|为方程x−2y=2的“关联值”．
（1）写出方程x−2y=2的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
（3）直接写出方程x−2y=2的最小“关联值”为 ；当关联值为|m|时，直接写出x的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000015=1.5×10−5，
故答案为：B.
【分析】 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：2a+3a2≠5a3，运算错误，不符合题意；
B：(−a3)2=a6，运算正确，符合题意；
C：−4a3b÷2a=−2a2b≠−2a2，运算错误，不符合题意；
D：(5ab)2=25a2b2≠10a2b2，运算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，单项式除以单项式法则等计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解： A：了解一批科学计算器的使用寿命，采用全面调查的破坏性很大，所以适合采用抽样调查，不符合题意；
B：调查北京市中学生对神舟十六号载人飞行任务标识寓意的了解情况，安全需求很高，适合采用全面调查，符合题意；
C：了解某班同学登上八达岭长城的人数情况，采用全面调查比较费时费力，所以适合采用抽样调查，不符合题意；
D：调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用全面调查比较费时费力，所以适合采用抽样调查，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据全面调查和抽样调查的特点对每个选项逐一判断即可。
4．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： A：x2y−y3=yx2−y2=yx+yx−y≠y(x−y)2，因式分解错误，不符合题意；
B：m2−6m−9=m−32−18≠(m−3)2，因式分解错误且不符合因式分解的定义，不符合题意；
C：x2+x−1=x(x+1)−1，不符合因式分解的定义，不符合题意；
D：x2−2xy+x=x(x−2y+1)，因式分解正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： A：∵∠3=∠4，
∴AD//BC，
∴该选项符合题意；
B：∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
∴该选项不符合题意；
C：∵∠5=∠C，
∴AB//CD，
∴该选项不符合题意；
D：∵∠A+∠ADC=180°，
∴AB//CD，
∴该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法，对每个选项逐一判断求解即可。
6．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.∵有理数的绝对值不一定是正数，O的绝对值是0，
∴该命题是假命题，不符合题意；
B.∵平行于同一条直线的两条直线平行，
∴该命题是真命题，符合题意；
C.∵两直线平行，同旁内角互补，
∴该命题是假命题，不符合题意；
D.∵过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
∴该命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据有理数的绝对值，平行线的判定与性质等对每个选项逐一判断求解即可。
7．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：中位数为：4+52=4.5，
∵这30名学生的捐赠数量出现次数最多的是5，共出现10次，
∴众数是5，
故答案为：D.
【分析】根据中位数和众数的定义计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ∵关于x的不等式组x−a≥02x<4，
解得：a≤x＜2，
∵关于x的不等式组x−a≥0，2x<4只有三个整数解，
∴-2＜a≤-1，
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质求出a≤x＜2，再根据不等式组只有三个整数解求解即可。
9．【答案】19；1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：3−2=132=19， (π−2)0=1，
故答案为：19；1.
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂计算求解即可。
10．【答案】4；10
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a12=(a3)m=a2⋅an，
∴a12=a3m=a2+n，
∴3m=12，2+n=12，
解得：m=4，n=10，
故答案为：4；10.
【分析】根据题意先求出a12=a3m=a2+n，再求出3m=12，2+n=12，最后计算求解即可。
11．【答案】72°
【知识点】余角、补角及其性质；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设 这个角的度数x，
由题意可得：x=4(90°-x），
解得：x=72°，
即这个角的度数为72°，
故答案为：72°.
【分析】根据题意找出等量关系求出x=4(90°-x），再解方程即可。
12．【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案是：对顶角相等．
【分析】由对顶角相等即可得出结论．
13．【答案】−1（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，am∴m＜0，
∴使不等式am故答案为：-1（答案不唯一）.
【分析】根据不等式的性质求出m＜0，再求解即可。
14．【答案】(a+b)2−4ab=(a−b)2
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得： (a+b)2−4ab=(a−b)2 ，
故答案为：(a+b)2−4ab=(a−b)2.
【分析】根据题意，利用图形来推导完全平方公式即可。
15．【答案】60
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点D作DH⊥AB于点H，
∵DE//AB，DH⊥AB，
∴DH⊥DE，
∴∠EDH=90°，
∵∠EDC=150°，
∴∠CDH=∠EDC-∠EDH=60°，
∵DH⊥AB， CB⊥AB，
∴CD//DH，
∴∠GCB=∠CGH=60°，
故答案为：60.
【分析】根据题意先求出DH⊥DE，再求出∠CDH=∠EDC-∠EDH=60°，最后根据平行线的判定与性质计算求解即可。
16．【答案】（1）购买方案为3个A型号，3个B型号（答案不唯一）
（2）74
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：（1）设购买x个A型号的盒子，y个B型号的盒子，
由题意可得：2x+3y=15，
∴y=5−23x，
∵x，y均为非负整数，
∴当x=0时，y=5，
当x=3时，y=3，
当x=6时，y=1，
∴购买方案为3个A型号，3个B型号，
故答案为：购买方案为3个A型号，3个B型号（答案不唯一） ；
（2）购买5个B型号盒子所需费用为15x5=75(元)；
购买3个A型号盒子，3个B型号盒身所需费用为13x3-10+15x3=74 (元) ；
购买6个A型号盒子，1个B型号盒身所需费用为13x6-10+15x1=83(元)；
∵74<75<83，
∴购买盒子所需要的最少费用为74元，
故答案为：74.
【分析】（1）根据题意先求出2x+3y=15，再求出y=5−23x，最后判断求解即可；
（2）根据题意先求出各个方案所需要的费用，再根据74<75<83，判断求解即可。
17．【答案】（1）解：3x2−12
=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)；
（2）解：x2−2x−8
=(x−4)(x+2)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解因式即可。
18．【答案】解：−a2(−2ab)+3a(a2b−1)
=2a3b+3a3b−3a
=5a3b−3a．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用整式的混合运算法则计算求解即可。
19．【答案】解：2x−y=5①3x+2y=−3②，
①×2+②，得：7x=7，
解得：x=1，
将x=1代入①可得：y=−3，
∴原方程组的解为x=1y=−3；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组求解即可。
20．【答案】解：98×102
=(100−2)(100+2)
=1002−22
=10000−4
=9996．
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘法
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
21．【答案】解：(2x−3)2−(x+3)(x−2)
=4x2−12x+9−(x2+x−6)
=4x2−12x+9−x2−x+6
=3x2−13x+15．
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式计算求解即可。
22．【答案】解：∵m−n=−2，mn=3，
∴−m3n+2m2n2−mn3=−mn(m2−2mn+n2)=−mn(m−n)2=−3×4=−12，
故答案为−12；
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用提公因式法和完全平方公式分解因式，再将 m−n=−2，mn=3代入计算求解即可。
23．【答案】解：5(x−1)≤x+3①x+12<2x②
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x>13，
∴不等式组的解集是13【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集是1324．【答案】证明：∵∠1+∠EMA=180°（平角的定义），
∠1+∠2=180°（已知），
∴∠EMA=∠2（同角的补角相等），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠ABD=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵BH平分∠ABD（已知），
∴∠ABH=∠4（角平分线的定义）．
∴∠4=12∠3（等量代换）．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据同角的补角相等，平行线的判定与性质等证明求解即可。
25．【答案】（1）解：设购买紫薇树为x棵，购买银杏为(200−x)棵，根据题意可得，
18x+202×(200−x)=2400，
∴解得：x=50，
∴200−x=150，
∴m=50，n=1502=75，
答：m，n的值为50、75；
（2）解：∵高一年级共有学生298人，老师22人，
∴树苗总共有298+222=160（棵），
设最多可以购买紫薇树苗y棵，银杏树苗为(160−y)棵，根据题意可知，
18y+10×(160−y)≤2400，
解得：y≤100，
答：最多可以购买紫薇树苗100棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 18x+202×(200−x)=2400， 再解方程即可；
（2）先求出树苗总共有160棵，再求出 18y+10×(160−y)≤2400， 最后求解即可。
26．【答案】（1）C
（2）解：①根据题意得到65≤x<80的有4人，90≤x<95有3人，故统计表补充完整如下：
90≤x<95占的百分比为320×100%=15%，95≤x≤100占的百分比为720×100%=50%，
补全扇形统计图如下：
②100
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，从七年级随机选取20名学生的竞赛成绩组成样本比较合理，
故答案为：C.
（2）①估计该校七年级学生竞赛成绩不低于90分的学生有：200×3+720=100（名），
故答案为：100.
【分析】（1）根据题意，对每个选项逐一判断求解即可；
（2）①根据统计图表中的数据，计算求解，再补全统计图表即可；
②根据题意求出200×3+720=100（名）即可作答。
27．【答案】（1）解：①如图所示，补全图形如下：
②∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴EF∥AD
∴∠AEF+∠EAD=180°
∵DG∥AB
∴∠EAD=∠ADG
∴∠AEF+∠ADG=180°；
（2）相等
（3）解：由（2）可得，
当∠AEF在△ABC内部时，即点E在线段AB上时，∠AEF+∠ADG=180°；
当∠AEF在△ABC外部时，即点E在线段AB延长线或BA延长线上时，∠AEF=∠ADG．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）①当点E在BA的延长线上时，如下图所示：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠BAD=∠AEF，
∵DG∥AB，
∴∠BAD=∠ADG，
∴∠AEF=∠ADG；
②当点E在AB的延长线上时，如下图所示：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠BAD=∠AEF，
∵DG∥AB，
∴∠BAD=∠ADG，
∴∠AEF=∠ADG；
综上所述： ∠AEF与∠ADG的数量关系为相等，
故答案为：相等.
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②根据题意先求出EF//AD，再求出∠AEF+∠EAD=180° ，最后根据平行线的性质计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（3）分类讨论，结合（2）所求，判断求解即可。
28．【答案】（1）解：当x=0时，即0−2y=2，
解得y=−1，
∵|0|<|−1|
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为x=0y=−1（答案不唯一）；
（2）解：∵“关联值”为4，
∴①当x=4时，即4−2y=2，解得y=1，
∴方程的解为x=4y=1；
②当x=−4时，即−4−2y=2，解得y=−3，
∴方程的解为x=−4y=−3；
③当y=−4时，即x−2×(−4)=2，解得x=−6，
∵|−6|>|−4|，
∴不符合题意，应舍去；
④当y=4时，即x−2×4=2，解得x=10，
∵|10|>|−4|，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有x=4y=1，x=−4y=−3；
（3）23；x≥13或x≤−2
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）∵x−2y=2，
∴y=12x−1，
∴当x=0时，y=-1，
∴当x增大时，y先减小到0，再增大，
∴当x=y时，方程x-2y=2取得最小的“关联值”，
∴由y=12x−1y=−x得：x=23y=−23，
∴方程x−2y=2的最小“关联值”为23，
当关联值为m时，m≥n，
∴x≥y，
∴①当x≥0时，12x−1≥0，
解得：x≥2，
∵x≥12x−1，
∴x≥-2，
即x≥2；
②当x≥0时，12x−1≤0，
解得：x≤2，
∵x≥−12x+1，
∴x≥13，
即13≤x≤2；
③当x≤0时，12x−1≤0，
解得：x≤2，
∵x≤12x−1，
∴x≤-2，
即x≤-2；
④当x≤0时，12x−1≥0，
解得：x≥2，
∵−x≥12x−1，
∴x≤23，
即x≤0；
综上所述：x的取值范围为：x≥13或x≤−2 .
【分析】（1）根据题意先求出 0−2y=2， 再求出y=-1，最后求解即可；
（2）根据题意，分类讨论，列方程求解即可；
（3）根据题意先求出y=12x−1，再求出方程x−2y=2的最小“关联值”为23，最后分类讨论，计算求解即可。型号
A
B
单个盒子容量（升）
2
3
单价（元）
13
15
编号
名称
规格单位
单价
购买数量
预算金额（元）
1
紫薇
1棵
18
m（棵）
2400
2
银杏
1捆（2棵装）
20
n（捆）
成绩x（单位：分）
划记
频数
65≤x<80


80≤x<85
丅
2
85≤x<90
4
90≤x<95


95≤x≤100
正丅
7
成绩x（单位：分）
划记
频数
65≤x<80
4
80≤x<85
丅
2
85≤x<90
4
90≤x<95
3
95≤x≤100
正丅
7