2023-2024学年陕西省西安市莲湖区九年级上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市莲湖区九年级上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共11页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，下列关于菱形的性质说法错误的是，若，则的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有（）
A．35个B．20个C．15个D．25个
3．下列关于菱形的性质说法错误的是（）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线相等
4．若，则的值为（）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为（）
A．B．C．D．
6．小哲同学准备给新买的行李箱密码锁设置一个密码，密码是3位数字，如图，小哲同学已经在从左到右的第一位上设置了自己喜欢的数字5，第二位和第三位的数从这三个数字中任意选取（可重复选相同数字），并且每个数字被选中的可能性一样大，则剩下两位选的数字不同的概率是（）
A．B．C．D．
7．开学初，学校进行黑板报的评比检查．在设计黑板报时，小菲同学恰好用长为6米的彩色丝带，在黑板上围成一个长方形的边框，其中最上面利用黑板自带的边框（黑板边框的最大可用长度为3.8米），不用粘贴丝带．长方形最下面的边，为了设计绘画空间，需要留出两个0.6米宽的地方，并且黑板中间也需要用丝带粘贴以分成两部分书写关于庆祝教师节的内容．如图，设丝带的长为米，丝带所围成的长方形面积为4.2平方米，则可列方程（）
A．B．C．D．
8．如图，在中，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持是的中点，连接，则的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若是一元二次方程的解，则的值为______．
10．国庆假期，智慧（6）班的一项创造性设计作业有“人工智能”“STEAM项目式学习”“自主学习”三个主题，若智慧（6）班的小诗和小语同学，每人随机选择其中一个主题，则小诗和小语恰好选择同一个主题的概率是______．
11．如图，在正方形中，是的中点，点分别在上，且．若，则正方形的面积是______．
第11题图
12．若关于的一元二次方程与有且只有一个相等的实数根，则的值为______．
13．如图，四边形是正方形，是对角线上一动点，连接，在点运动过程中，始终有，连接，则的最小值是______．
第13题图
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出过程）
14．（本题满分5分）解方程：．
15．（本题满分5分）解方程：．
16．（本题满分5分）如图，在中，，且，求的长．
17．（本题满分5分）如图，为锐角三角形，请用尺规作图，在上求作一点，使得最短．
18．（本题满分5分）如图，在中，平分．求证：四边形是菱形．
19．（本题满分5分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
20．（本题满分5分）杭州亚运会吉祥物“琮琮”“连莲”和“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．三个吉祥物的设计灵感分别来自杭州的三大世界文化遗产——良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．小婷同学购买了一些杭州亚运会吉祥物，她想把其中的两只送给小琪和小雨同学，于是，她把“琮琮”“莲莲”和“宸宸”分别写在三张卡片上，三张卡片除了吉祥物的名字以外，其他全部相同，每张卡片被抽到的可能性相同，且每次抽出以后放回，将卡片洗匀继续抽取．请你用画树状图或列表的方法求出小琪和小雨同学抽到不同吉祥物的概率．
21．（本题满分6分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作，且，连接．
求证：四边形是矩形．
22．（本题满分7分）国庆假期，小西和同学小婷去大唐不夜城玩，漂亮的团扇吸引了她们的注意力，团扇上不止有唯美的图案，更有古诗，她们喜欢的四把团扇上印的古诗分别是《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》《渡荆门送别》《春望》《黄鹤楼》．因为都非常美，她们想通过随机抽选的方法来确定买哪个，具体方案如下：她们把四首古诗分别写在四张卡片的正面，记为，（这四张卡片的背面都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．
（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《黄鹤楼》的概率是______．
（2）若小西从这四张卡片中随机抽取一张，不放回，小婷再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率．
23．（本题满分7分）情满月圆，举国同庆．为了让利顾客，某超市计划将进价是每千克16元的莆蛓在双节期间进行降价销售．经过统计分析发现，当售价为每千克26元时，每天可售出320千克．如果每千克每降价1元．那么每天的销售量将会增加80千克．如果超市每天想要获得销售利润3600元，又要尽可能让顾客得到更多实惠，葡萄的售价应为每千克多少元？
24．（本题满分8分）学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式的最小值．
（2）求代数式的最值．
25．（本题满分8分）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
图1 图2
（1）如图1，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，且，连接，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由．
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，于点，若，，求的长．
26．（本题满分10分）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值．
（2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．
图1 图2
数学答案
1．A2．C3．D4．B
5．C6．B7．B8．C
9．210．11．6412．8
13．提示：如图，取的中点，连接四边形是正方形，．是的中点，是的中点，的最小值是．
14．解：，解得或，．
15．解：，
，
，
或，方程的解为．
（注：也可以用十字相乘法分解因式，计算更简单，只要正确，给5分）
16．解：，．
设，则，代入得，
整理得，解得，
17．解：如图，点即为所求．（作法不唯一）
18．证明：平分，．
，，．
，四边形是平行四边形．
，．
，，，四边形是菱形．
19．解：（1）证明：，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）由韦达定理可得．
，解得．答：的值是1．
20．解：将“琮琮”“莲莲”“宸宸”分别设为．
根据题意，列表如下：
由表可知，所有可能出现的结果有9种，抽到不同吉祥物的结果有6种，
小琪和小雨同学抽到不同吉祥物的概率是．
21．解：证明：四边形是菱形，．
，．
又，四边形是平行四边形．
，四边形是矩形．
22．解：（1）．
（2）列表如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上所代表的古诗均为李白所写的结果数有2种，
两张卡片上所代表的古诗是李白所写的概率为．
23．解：设每千克葡萄的售价应降低元．
由题意，得，
整理得，解得或．
要尽可能让顾客得到更多实惠，，
（元/千克）．答：葡萄的售价应为每千克21元．
24．解：（1）．
，，的最小值是1．
（2）．
，
的最大值为5．
25．解：（1）四边形是“直等补”四边形．
理由：四边形是正方形，
，，.
在和中，
即
又
由“直等补”四边形的定义可知，四边形是“直等补”四边形．
（2）如图，过点作于点．
四边形是“直等补”四边形，，
四边形是矩形，
设，则，
在中，由勾股定理，得，即，
解得或（不合题意，舍去）．
26．解：（1）由题意可得，
，的最小值是5．
（2）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
由旋转的性质可知，是等边三角形，
当四点共线时，的值最小，即的值最小，的最小值为的长．
四边形是矩形，
，
三条小路的长度之和的最小值是．
小琪
小雨
小西
小婷