2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.7 三角函数的应用

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.7 三角函数的应用，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是( C )
A．[0，5]B．[5，10]
C．[10，15]D．[15，20]
解析：由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，又[10，15]⊆[3π，5π]，故选C．
2．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( B )

A B

C D
解析：如图，过点M作MD⊥OP于点D，则由题意可得PM＝sin x，OM＝|cs x|，
当0S△OMP＝eq \f(1,2)MD•OP＝eq \f(1,2)OM•PM，
∴MD＝eq \f(OM•PM,OP)＝eq \f(|cs x|•sin x,1)＝
|cs xsin x|＝eq \f(1,2)|sin 2x|，
即f(x)＝eq \f(1,2)|sin 2x|，当x＝0或x＝π时，f(x)＝0.结合正弦函数的图象可知选B．
3．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y)．若初始位置为P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( C )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)
B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)
D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t－\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)
解析：由题意可得函数初相为eq \f(π,6)，排除B，D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝eq \f(2π,|ω|)＝60，所以|ω|＝eq \f(π,30)，即ω＝－eq \f(π,30).
4．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点M(eq \r(2)，－eq \r(2))出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点N(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，则函数f(t)的解析式为( A )
A．f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,4)))
B．f(t)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,4)))
C．f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,60)t－\f(π,4)))
D．f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))
解析：由题意，知R＝eq \r((\r(2))2＋(－\r(2))2)＝2，∵旋转一周用时60秒，∴T＝60＝eq \f(2π,ω)，
∴ω＝eq \f(π,30).又由题意知f(0)＝－eq \r(2)，
∴2sin φ＝－eq \r(2).又|φ|5．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)ωt＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，若振幅是2，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(1，2)，则ω和φ的值分别为( A )
A．π，eq \f(π,6)B．2π，eq \f(π,3)
C．π，－eq \f(π,6)D．2π，－eq \f(π,3)
解析：根据题意，由振幅是2易知A＝2，故s＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)ωt＋φ))，画出大致图象如图．则点B(1，2)是s＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)ωt＋φ))的最高点，不妨记与B相邻的最低点为C，连接BC，过C作CD⊥y轴，过B作BD⊥CD，交点为D，
则CD＝eq \f(T,2)，BD＝2－(－2)＝4，BC＝5，故42＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))eq \s\up12(2)＝52，得T＝6，又因为T＝eq \f(2π,\f(1,3)ω)，故eq \f(1,3)ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,6)＝eq \f(π,3)，得ω＝π，所以s＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)t＋φ))，因为B(1，2)是s＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)t＋φ))的点，故2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝2，得eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，即φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|二、多项选择题
6．如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( BD )
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
解析：由图象，知eq \f(T,2)＝0.7－0.3＝0.4，∴T＝0.8，故A错误；又最小值为－5，知振幅A＝5，在0.1 s和0.5 s时，质点分别位于最高点和最低点，速度为0，故D正确．
7．如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是( BD )
A．f(3)＝9
B．f(1)＝f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2＋12k，5＋12k](k∈N)
D．无论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
解析：如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得，OP在t(s)内所转过的弧度数为eq \f(π,6)t，
则∠POx＝eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)，则点P的纵坐标为y＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))，所以点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数为f(t)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋3，f(3)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,6)))＋3＝3eq \r(3)＋3，A错误；因为f(1)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(π,6)))＋3＝3，f(7)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－\f(π,6)))＋3＝3，所以f(1)＝f(7)，B正确；由f(t)≥6，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))≥eq \f(1,2)，解得t∈[2＋12k，6＋12k](k∈N)，C错误；由f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋3＋6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(3π,6)))＋3＋6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(7π,6)))＋3，展开整理得f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9，为定值，D正确．
三、 填空题
8．振动量函数y＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和eq \f(3,2)，则它的运动周期为eq \f(2,3)，相位是3πx－π．
解析：因为频率f＝eq \f(3,2)，所以T＝eq \f(1,f)＝eq \f(2,3)，所以ω＝eq \f(2π,T)＝3π，所以相位为ωx＋φ＝3πx－π．
9．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q.现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟．
解析：Q距离水平地面的高度h＝50sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t＋\f(π,2)))＋60＝50cseq \f(π,15)t＋60，t∈[0，30]，h＝50cseq \f(π,15)t＋60≤85，即cseq \f(π,15)t≤eq \f(1,2)，eq \f(π,3)≤eq \f(π,15)t≤eq \f(5π,3)，解得5≤t≤25，故时间为25－5＝20(分钟)．
10．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0—24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为h＝－6sineq \f(π,6)t(0≤t≤24)．
解析：设h＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，由图象知A＝6，T＝12，∴eq \f(2π,ω)＝12，得ω＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6).点(6，0)为“五点法”作图中的“第一点”，故eq \f(π,6)×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴h＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－π))＝－6sineq \f(π,6)t(0≤t≤24)．
四、解答题
11．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始(t＝0)时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)，
即开始时的电压为110eq \r(3) V．
(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02 s．
(3)电压的最大值为220eq \r(3) V，
当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值．
12．建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间(0≤t≤24，单位：时)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
(1)求函数y＝f(t)的解析式；
(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
解：(1)由题图知，T＝2×(14－2)＝24，所以T＝eq \f(2π,ω)＝24，解得ω＝eq \f(π,12).
由题图知，b＝eq \f(16＋32,2)＝24，A＝eq \f(32－16,2)＝8，
所以f(t)＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋φ))＋24.
将点(2，16)代入函数解析式得24＋8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＝16，得eq \f(π,6)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)，
又因为|φ|<π，得φ＝－eq \f(2π,3).
所以f(t)＝24＋8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t－\f(2π,3))).
(2)依题意，令24＋8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t－\f(2π,3)))>28，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t－\f(2π,3)))>eq \f(1,2)，
所以2kπ＋eq \f(π,6)令k＝0，得1013．(多选题)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列说法中正确的有( BD )
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数f(x)＝x3可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数y＝f(x)是“优美函数”，则函数y＝f(x)的图象一定是中心对称图形
D．函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))可以同时是无数个圆的“优美函数”
解析：对于A，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A错误；对于B，函数f(x)＝x3为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故C错误；对于D，函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝－2sin x关于原点对称，是圆x2＋y2＝k2，k≠0的“优美函数”，满足无数个，故D正确．故选BD．
14．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱M经过最低点开始计时，则10分钟后M离地面的高度为121米．
解析：设座舱M与地面的高度f(t)与时间t的关系为：f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A≥0，ω>0，φ∈[0，2π))．由题意可知A＝eq \f(156,2)＝78，B＝160－78＝82，T＝eq \f(2π,ω)＝30.∴ω＝eq \f(π,15)，即f(t)＝78sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t＋φ))＋82，又f(0)＝82－78＝4，即sin φ＝－1，由于φ∈[0，2π)，故φ＝eq \f(3π,2)，故f(t)＝78sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t＋\f(3π,2)))＋82，所以f(10)＝78sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)×10＋\f(3π,2)))＋82＝121(米)．
15．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力．潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象．一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，其发现潮汐的涨落规律和函数图象f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深．当x＝eq \f(π,4)时，海水上涨至最高5米．
(1)求函数的解析式，并作出函数f(x)在[0，4π]内的简图；
(2)求海水水深持续加大的时间区间．
解：(1)由T＝eq \f(2π,ω)＝4π，得ω＝eq \f(1,2)，又A＝5，当x＝eq \f(π,4)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,4)＋φ))＝1，
解得φ＝eq \f(3π,8)，
故函数f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(3π,8)))，
应用五点作图法分别取x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，eq \f(9π,4)，eq \f(13π,4)，4π，
求出对应的函数值，并描点和绘制函数图象，如图所示．
(2)求海水水深持续加大的时间区间，即求f(x)的单调递增区间．
令z＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3π,8)，
函数y＝5sin z的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，
即－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(1,2)x＋eq \f(3π,8)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z⇒－eq \f(7π,8)＋2kπ≤eq \f(1,2)x≤eq \f(π,8)＋2kπ，k∈Z，
即－eq \f(7π,4)＋4kπ≤x≤eq \f(π,4)＋4kπ(k∈Z)．
故海水水深持续加大的时间区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)＋4kπ，\f(π,4)＋4kπ))(k∈Z)．