2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.2 简单的三角恒等变换(1)

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这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.2 简单的三角恒等变换(1)，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．已知cs θ＝－eq \f(1,4)，－180°<θ<－90°，则cseq \f(θ,2)＝( B )
A．－eq \f(\r(6),4)B．eq \f(\r(6),4)
C．－eq \f(3,8)D．eq \f(3,8)
解析：由－180°<θ<－90°可知－90°2．下列各式与tan α相等的是( D )
A．eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))B．eq \f(sin α,1＋cs α)
C．eq \f(sin α,1－cs 2α)D．eq \f(1－cs 2α,sin 2α)
解析：eq \f(1－cs 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcs α)＝eq \f(sin α,cs α)＝tan α.
3．设－3π<α<－eq \f(5π,2)，化简eq \r(1＋sin(α－π))的结果是( D )
A．sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)
B．－cseq \f(α,2)－sineq \f(α,2)
C．cseq \f(α,2)－sineq \f(α,2)
D．sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)
解析：∵－3π<α<－eq \f(5π,2)，∴－eq \f(3π,2)0，cseq \f(α,2)<0，
eq \r(1＋sin(α－π))＝eq \r(1－sin α)＝
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))\s\up12(2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))＝sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2).
4．设a＝eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b＝2sin 13°•cs 13°，c＝eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则有( C )
A．cB．aC．aD．b解析：a＝sin 30°cs 6°－cs 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°•cs 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，∵y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，∴a5．已知α－β＝eq \f(2π,3)，且cs α＋cs β＝eq \f(1,3)，则cs(α＋β)＝( D )
A．eq \f(2,9)B．－eq \f(2,9)
C．eq \f(7,9)D．－eq \f(7,9)
解析：∵cs α＋cs β＝eq \f(1,3)，
∴2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2)＝eq \f(1,3).∵α－β＝eq \f(2π,3)，
∴eq \f(α－β,2)＝eq \f(π,3)，∴cseq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).∴cseq \f(α＋β,2)＝eq \f(1,3)，∴cs(α＋β)＝2cs2eq \f(α＋β,2)－1＝－eq \f(7,9).
二、多项选择题
6．tan 75°＝( ACD )
A．2＋eq \r(3)
B．eq \r(\f(1＋cs 150°,1－cs 150°))
C．eq \f(sin 150°,1＋cs 150°)
D．tan 25°tan 35°tan 85°
解析：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝
eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3)，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝eq \r(\f(1－cs 150°,1＋cs 150°))，故B错误；tan 75°＝eq \f(sin 75°,cs 75°)＝eq \f(2sin 75°cs 75°,2cs275°)＝eq \f(sin 150°,1＋cs 150°)，故C正确；
∵tan (60°－α)tan (60°＋α)tan α＝tan 3α，令α＝25°，得tan 75°＝tan 25°tan 35°·tan 85°，故D正确．故选ACD．
7．下列四个关系式中错误的是( BCD )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcs θ
B．cs 3θ－cs 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－eq \f(1,2)cs 4θcs θ
D．sin 5θ＋cs 3θ＝2sin 4θcs θ
解析：由sin 5θ＝sin(4θ＋θ)＝sin 4θcs θ＋cs 4θsin θ，sin 3θ＝sin(4θ－θ)＝sin 4θcs θ－cs 4θ·sin θ，cs 5θ＝cs(4θ＋θ)＝cs 4θ•cs θ－sin 4θsin θ，cs 3θ＝cs(4θ－θ)＝cs 4θcs θ＋sin 4θ·sin θ，代入各选项，得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcs θ，A正确，B错误，右边应是2sin 4θsin θ，C错误，右边应是－2cs 4θsin θ，D错误，由sin 5θ与cs 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cs 3θ＝sin 5θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－3θ))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))•cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4θ－\f(π,4))).故选BCD．
三、填空题
8．已知sin α＝－eq \f(4,5)，则tan eq \f(α,2)＝－eq \f(1,2)或－2.
解析：因为sin α＝－eq \f(4,5)，所以cs α＝±eq \f(3,5).若cs α＝eq \f(3,5)，则tan eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,sin α)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2)；若cs α＝－eq \f(3,5)，则tan eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,sin α)＝eq \f(1＋\f(3,5),－\f(4,5))＝－2.
9．若sin α＋sin β＝eq \f(\r(3),3)(cs β－cs α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝eq \f(2π,3).
解析：因为sin α＋sin β＝eq \f(\r(3),3)(cs β－cs α)，所以2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2)＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2sin\f(α＋β,2)sin\f(β－α,2)))，因为α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以eq \f(α＋β,2)∈(0，π)，eq \f(α－β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，从而sineq \f(α＋β,2)≠0，于是tan eq \f(α－β,2)＝eq \r(3)，所以eq \f(α－β,2)＝eq \f(π,3)，从而α－β＝eq \f(2π,3).
10．若sin α＋2cs α＝0(0<α<π)，则tan α＝－2，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10).
解析：由题可知，当cs α＝0时，sin α＋2cs α＝0(0<α<π)显然无解，故cs α≠0，sin α＋2cs α＝0，同时除以cs α，得tan α＋2＝0，即tan α＝－2，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)·(cs 2α－sin 2α)，sin 2α＝
eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,1＋tan 2α)＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan 2α,1＋tan 2α)＝－eq \f(3,5)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(cs 2α－sin 2α)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,5)＝eq \f(\r(2),10).
四、解答题
11．(1)已知sin α＝－eq \f(4,5)，π<α(2)已知eq \f(5π,2)<α<3π，试化简：
eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 2α))＋cseq \f(α,2).
解：(1)∵π<α∴cs α＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)∴sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(2\r(5),5)，
cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－eq \f(\r(5),5)，
tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－2.
(2)因为eq \f(5π,2)<α<3π，所以eq \f(5π,4)所以cs α<0，sineq \f(α,2)<0.
故原式＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1＋cs 2α,2)))＋cseq \f(α,2)＝
eq \r(\f(1,2)－\f(1,2)cs α)＋cseq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))
＋cseq \f(α,2)＝－sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2).
12．求下列各式的值：
(1)cs 29°cs 31°－eq \f(1,2)cs 2°；
(2)cseq \f(π,8)＋cseq \f(3π,8)－2sineq \f(π,4)cseq \f(π,8).
解：(1)cs 29°cs 31°－eq \f(1,2)cs 2°＝
eq \f(1,2)[cs(29°＋31°)＋cs(29°－31°)]－eq \f(1,2)cs 2°＝eq \f(1,2)cs 60°＋eq \f(1,2)cs(－2°)－eq \f(1,2)cs 2°
＝eq \f(1,4).
(2)cseq \f(π,8)＋cseq \f(3π,8)－2sineq \f(π,4)cseq \f(π,8)＝
2cseq \f(\f(π,8)＋\f(3π,8),2)•cseq \f(\f(π,8)－\f(3π,8),2)－eq \r(2)cseq \f(π,8)＝
2cseq \f(π,4)cseq \f(π,8)－eq \r(2)cseq \f(π,8)＝
eq \r(2)cseq \f(π,8)－eq \r(2)cseq \f(π,8)＝0.
13．(多选题)已知cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝－eq \f(5,13)，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( AC )
A．sin 2α＝eq \f(12,13)
B．cs(α－β)＝eq \f(19\r(5),65)
C．cs αcs β＝eq \f(8\r(5),65)
D．tan αtan β＝eq \f(11,8)
解析：因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
cs 2α＝－eq \f(5,13)，其中α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)所以sin 2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(12,13)，故A正确；因为sin(α＋β)＝eq \r(1－cs(α＋β)2)＝eq \f(2\r(5),5)，所以cs(α－β)＝cs[2α－(α＋β)]＝cs 2αcs(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(12,13)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(29,65)eq \r(5)，故B错误；可得cs αcs β＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)＋\f(29\r(5),65)))＝eq \f(8,65)eq \r(5)，故C正确；可得sin αsin β＝eq \f(1,2)[cs(α－β)－cs(α＋β)]＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(29\r(5),65)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))))＝eq \f(21,65)eq \r(5)，所以tan αtan β＝eq \f(sin αsin β,cs αcs β)＝eq \f(21,8)，故D错误．故选AC．
14．已知tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(\r(6),2)，tan αtan β＝eq \f(13,7)，则cs(α－β)的值为eq \f(2,3).
解析：cs(α＋β)＝eq \f(1－tan 2\f(α＋β,2),1＋tan 2\f(α＋β,2))＝
eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝－eq \f(1,5)，则有cs αcs β－sin αsin β＝
－eq \f(1,5)①，又已知eq \f(sin α,cs α)•eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(13,7)，从而有7 sin αsin β－13cs αcs β＝0②，联立①②可得cs αcs β＝eq \f(7,30)，sin αsin β＝eq \f(13,30).
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin α·sin β＝eq \f(2,3).
15．已知0<α<π，0<β<π，且cs α＋cs β－cs(α＋β)＝eq \f(3,2)，求α，β的值．
解：对cs α＋cs β－cs(α＋β)＝eq \f(3,2)进行变形整理得，
2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α＋β,2)－1))－eq \f(3,2)＝0，即4cs2eq \f(α＋β,2)－4cseq \f(α－β,2)·cseq \f(α＋β,2)＋1＝0，
上式可看作cseq \f(α＋β,2)的一元二次方程，此方程有实根，
Δ＝16cs2eq \f(α－β,2)－16≥0，
得cs2eq \f(α－β,2)≥1，
但cs2eq \f(α－β,2)≤1，∴cs2eq \f(α－β,2)＝1，
∵0<α<π，0<β<π，
∴－eq \f(π,2)故α－β＝0，即α＝β，将α＝β代入cs α＋cs β－cs(α＋β)＝eq \f(3,2)，解得cs α＝eq \f(1,2)，故α＝β＝eq \f(π,3).

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