2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.4.2 第3课时　对称性及与周期性关系

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.4.2 第3课时　对称性及与周期性关系，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( C )
A．y轴B．x轴
C．直线x＝eq \f(π,2)D.直线x＝π
解析：根据正弦图象性质可知，当x＝eq \f(π,2)时，y取最大值，则直线x＝eq \f(π,2)是一条对称轴．故选C．
2．函数y＝1＋cs x的图象( B )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D.关于直线x＝eq \f(π,2)对称
解析：可得y＝1＋cs x是由y＝cs x向上平移1个单位得到，根据余弦函数的性质可得y＝1＋cs x的图象关于y轴对称．故选B．
3．若函数f(x)＝sin(x＋φ)(φ∈(0，π))图象的一条对称轴为直线x＝eq \f(π,6)，则φ＝( B )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D.eq \f(5π,6)
解析：由题意知eq \f(π,6)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则φ＝kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，当k＝0时，φ＝eq \f(π,3)，符合题意，其他都不满足题意．故选B．
4．下列点中，曲线y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的一个对称中心是( C )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))
解析：y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，令2x＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得x＝－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，此时y＝0，∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的对称中心为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，0))，则当k＝1时，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0)).故选C．
5．如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))对称，那么|φ|的最小值为( A )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D.eq \f(π,2)
解析：因函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))对称，则有2•eq \f(4π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，于是得φ＝(k－2)π－eq \f(π,6)，k∈Z，显然φ＝(k－2)π－eq \f(π,6)对于k∈Z是递增的，而k＝2时，φ＝－eq \f(π,6)，|φ|＝eq \f(π,6)，当k＝3时，φ＝eq \f(5π,6)，|φ|＝eq \f(5π,6)，所以|φ|的最小值为eq \f(π,6).故选A．
二、多项选择题
6．已知函数f(x)＝2sin(－x)，则下列结论中正确的有( ABC )
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)的一个周期为2π
C．函数f(x)图象的一个对称中心为(π，0)
D.函数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)
解析：因为f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝2sin x＝－2sin(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A正确；因为f(x＋2π)＝2sin[－(x＋2π)]＝2sin(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2π，故B正确；函数f(x)图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，所以(π，0)是f(x)图象的一个对称中心，故C正确；函数f(x)图象的对称轴方程为x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，故D错误．故选ABC．
7．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))，下列说法正确的是( BCD )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(11,24)π对称
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,24)，0))对称
D.函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递减
解析：因为f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))，所以函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，故A错误；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,24)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(11π,24)＋\f(π,12)))＝cs π＝－1，所以函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(11π,24)对称，故B正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,24)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,24)))＋\f(π,12)))＝
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝cseq \f(π,2)＝0，所以f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,24)，0))对称，故C正确；若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则2x＋eq \f(π,12)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))，因为y＝cs x在[0，π]上单调递减，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递减，故D正确．故选BCD．
三、 填空题
8．函数y＝cs x相邻对称中心之间距离为π．
解析：因为余弦函数y＝cs x的最小正周期为2π，余弦函数相邻对称中心之间距离为半个周期，故函数y＝cs x相邻对称中心之间距离为π．
9．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图象的一条对称轴方程是③.(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
解析：因为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，由正弦函数对称轴可知x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，x＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，k＝0时，x＝eq \f(π,6).
10．已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，当x＝eq \f(π,6)时，f(x)＝3，则f(x)的最小值为－1，f(x)图象的对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，1))(k∈Z)．
解析：由题意可知，当x＝eq \f(π,6)时，f(x)＝3，即f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,6)))＋1＝3，解得A＝2，∴f(x)min＝－2＋1＝－1.令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，∴f(x)图象的对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，1))(k∈Z)．
四、解答题
11．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π