最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（练透）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】偶函数的图象关于点中心对称，
则，且，故，
，故函数为周期为的函数，
.
故选：C
2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，则，
同理，当时，，则，
且，可知函数为奇函数；
当时，，则，
令，则，
所以在单调递增，即，即，
所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.
则，
即，即，
可得，且，所以，解得，
所以解集为.
故选:A
3．（2023·河南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足，
所以，，
则，即，
则，
即是以为周期的周期函数，又，当时，，
所以.
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由为奇函数，得，即，
又由为偶函数，得，即，
于是，即，因此的周期为8，
又当时，，则在上单调递增，
由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，
，，，
，显然，即有，即，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：D
5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数由关系式确定，函数，则（ ）
A．为增函数B．为奇函数
C．值域为D．函数没有正零点
【答案】D
【解析】由题意，
在函数中，，
可知画以下曲线：
，，．
这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．
因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称，
得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象．
由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R．
当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点．
故选：D.
6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.
由是奇函数可知，，所以，则，则，
所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.
由得，，则，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故选：A.
7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以．由知，，
所以，则为偶函数．由是奇函数可知，，
所以，则，则，
所以，所以，则，
所以，则4为的一个周期．
由得，，则，
所以，由得，，即，
所以．由，得，又1，
所以；在中，令，得，
所以．
.
故选：A．
8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】是奇函数，
，即的图象关于点对称，
又在上单调递增，
在上单调递增，即在上单调递增.
由，可得，
由图像关于直线对称可知为偶函数，
∴在上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵，，
∴在上的单调性和在上的单调性相同，
在上单调递减.
故选：C.
9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为R，
若为奇函数，则，则函数关于点成中心对称，且，故选项A错误；
因为，令，则，故选项B正确；
因为，即两边同时求导，则有，所以函数关于直线对称，
因为函数为偶函数，所以，即，
两边同时求导，则有，所以关于成中心对称，
则导函数的周期为，所以，故选项C正确；
因为函数关于直线对称，且，所以，故选项D正确，
故选：BCD.
10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AD
【解析】令，则，因为，
所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.
因为，所以，等价于，即，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：AD
11．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上最大值为2
B．有两个零点
C．的图像关于点对称
D．存在实数，使的图像关于原点对称
【答案】AC
【解析】对于，，
在上单调递增，
，故正确；
对于的零点个数即方程的实根个数，
即方程的实根个数，即与图像的交点个数.
在同一坐标系中画出与图像如图所示：
两个函数图像只有一个交点，故B错误；
对于，若的图像关于点对称，
则有对任意恒成立.
恒成立，
的图像关于点对称，故正确；
对于，若存在实数使的图像关于原点对称，则为奇函数.
令对任意恒成立，
即恒成立，
即对任意恒成立，
则，上述方程组无解，故错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点中心对称
C．是奇函数D．
【答案】AD
【解析】由的图象关于直线对称，
可得，即，
令，则，即，故为偶函数，A正确；
又因为，令等价于，
则①，令等价于，②，
②减①可得：，故的周期为4，
又，所以③，
令等价于，则④，因为为偶函数，
③减④可得：，故是偶函数，故C不正确；
令中，可得，
解得：，故B不正确；
令中，可得，
因为，则，
令中，可得，
因为，则，由，
因为的周期为4，且，
则，
，故D正确.
故选：AD.
13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】令，
因为，所以函数为奇函数，
由函数都是增函数，可得为增函数，
，
则不等式，
即为，即，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．
【答案】
【解析】为定义域为的奇函数，，解得：；
由得：，
是周期为的周期函数，.
故答案为：.
15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，则______．
【答案】1012
【解析】由，
则，
所以，即，
所以是以4为周期的周期函数．
令，得，所以，
令，则，所以，
所以．
故答案为：1012．
16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，定义域为，
由，可知函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，又由，
令，由可知函数为奇函数，
又由，（当且仅当时取等号），
可得函数单调递增，且当时，
由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
不等式可化为，
必有，平方后整理为，解得或，
即实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性．
【解析】由，将代入，得，
由的周期为4，得，
所以，故为偶函数．
18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.
【解析】任取且，
则，
因为且，可得，
所以，即，即，
所以函数是上的减函数.
19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.
(1)，
(2)
【解析】（1）先看函数的定义域，要满足
所以x的取值范围为：.
可以发现，定义域是关于原点对称的，接着用定义判断奇偶性，
因为，所以原函数为偶函数.
（2）对于函数，先看函数定义域，
因为，所以的定义域为，显然关于原点对称，
设函数，则有，所以，
所以原函数为偶函数.
20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下的值
(1)若函数是偶函数, 求的值．
(2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值．
【解析】（1）因为 ,
故 ,
因为为偶函数,
故,
所以,
整理得到,
故;
（2）因为是奇函数,
且当时,
,
因为,
,
所以,
化简可得,
解得: .
21．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
【解析】（1）因为对任意的，都有，
所以，
又，
，，
∴.
（2）设关于直线对称，故，
即，又是偶函数，
所以，
∴，将上式中以代换，
得，
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知，
∵
，
又，∴.
∵的一个周期是2，
∴，因此．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
1．（2023•北京）下列函数中在区间上单调递增的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；
对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；
对选项，在上单调递减，所以在上单调递增，选项正确；
对选项，在上不是单调的，选项错误．
故选：．
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
3．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【答案】
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
4．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的图像关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，
（1），由，，得，
，故，周期为4，
由（2），得（2），又（3）（1），
所以（1）（2）（3）（4），
故选：．
5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
6．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
7．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则
A．B．C．（2）D．（4）
【答案】
【解析】函数为偶函数，
，
为奇函数，
，
用替换上式中，得，
，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即，
用替换上式中，可得，，
关于对称，
又（1），
（1）．
故选：．
8．（2021•甲卷）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】为奇函数，（1），且，
偶函数，，
，即，
．
令，则，
，．
当，时，．
（2），
（3）（1），
又（3），，解得，
（1），，
当，时，，
．
故选：．
9．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则
A．B．（1）
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】
【解析】由，
取，可得，故正确；
取，可得（1）（1），即（1），故正确；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函数，故正确；
由上可知，（1），而函数解析式不确定，
不妨取，满足，
常数函数无极值，故错误．
故选：．
10．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
其定义域为，
若为偶函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：2．
11．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】．
【解析】时，；当时，；是奇函数．
故答案为：．
另幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取即可．
12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】1．
【解析】函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以，
所以．
法二：因为函数是偶函数，
所以，
即，
即，
即，
所以．
故答案为：1．