专题32 几何变换之旋转模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【理论基础】
1.旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
2.旋转三要素：旋转中心、旋转方形和旋转角度.
3.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等.
注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转.
4.旋转作图：在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
具体步骤如下：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺/逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的对应点.
5.旋转中的全等变换.
(1)等腰直角三角形中的半角模型
(2)正方形中的半角模型
6.自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等.
(1)60º自旋转模型
(2)90º自旋转模型
(3)等腰旋转模型
(4)中点旋转模型(倍长中线模型)
7.共旋转模型
(1)等边三角形共顶点旋转模型
(2)正方形共顶点旋转模型
8.旋转相似
【例1】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【例2】如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝_____．
【例3】如图，由绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
(1)求∠BDE的度数；
(2)F是EC延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
一、单选题
1．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．平分D．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是(3，4)，把△ABC绕原点O逆时针旋转得到，则点A′的坐标为（ ）
A．(4，－3)B．(－4，3)C．(－3，4)D．(－3，－4)
4．如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
5．如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
7．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是（ ）
A．(22022，22022)B．(-22021，22021)C．(22021，-22021)D．(-22022，-22022)
二、填空题
9．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE=EF；②∠CDF=45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是____．
10．如图，四边形ABCD，AB＝3，AC＝2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，则AD的长为__________.
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，把△ABC绕点C旋转，使点B落在射线BA上的点E处（点E不与点A，B重合），此时点A落在点F，联结FA，若△AEF是直角三角形，且AF＝4，则BC＝_____．
12．如图，在四边形中，，，且，连接，若，，则的长为______．
13．已知，⊙O的直径BC＝2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E．若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为 _____．（提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为）
14．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是线段上的一点，的延长线交于点，连接，，将绕点顺时针旋转得，则下列结论：，；垂直平分；若，点在边上运动，则，两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有______．
15．已知⊙O的半径为4，A为圆内一定点，AO＝2．M为圆上一动点，以AM为边作等腰△AMN，AM＝MN，∠AMN＝108°，ON的最大值为_____________．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝_____．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2），请解答下列问题：
(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出和△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)在（1）的条件下，求BC在旋转过程中扫过的面积．
18．如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF＝BC；
(2)若，，求∠FGC的度数．
19．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，求证：；
(2)当，时，求的面积；
(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
20．阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
21．在中，，，点是延长线上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．
(1)依题意，补全图形；
(2)若，求的长．
(3)延长交于，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
22．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°至的位置．
(1)如图1，连接与AB交于点M，则_____，_____；
(2)如图2，连接，延长交于点D，求CD的长．
23．如图，在等腰Rt△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转，得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．
(1)①根据题意，补全图形；
②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系．
(2)分别延长CD和AE交于点F，
①直接写出∠AFC的度数；
②用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．
24．如图，已知抛物线经过点，，三点，点是直线绕点逆时针旋转后与轴的交点，点是线段上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；
(2)在点运动过程中，若存在以为直径的圆恰好与轴相切，求的值；
(3)连接，将绕平面内某点旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、，是否存在点使得旋转后得到的的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．