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专题33 将军饮马模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）
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这是一份专题33 将军饮马模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用），文件包含专题33将军饮马模型答案详解docx、专题33将军饮马模型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
【模型1】两点一线
1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
2.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
3.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：
4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：
【模型2】一定两动
1.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
2.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
3.如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？
构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
【模型3】两点两线
在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.
1.A、B两点都在直线的外侧
2.一个点在内侧，一个点在外侧
3.两个点都在内侧
【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【例2】如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
【答案】
【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可．
【解析】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，
∵OH∥BC，OH=MN=2，
∴四边形OMNH是平行四边形，
∴OM=NH，
∴OM+ON= NH+ON．
∵O点关于BC的对称点是点K，
∴ON=NK，
∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，
∵，
∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．
∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，
∴．
∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，
∴OK=AB=8．
∵OH= 2，，
∴，
∴OM+ON的最小值是．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4
(2)
(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；
（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x−2，可得E（0，−2），垂线l2的解析式为y＝−2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝−x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝−2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝−2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（−2，2），D（2，−6），得直线DD解析式为y＝−2x−2，从而P（0，−2），Q（0，−2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（−2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，−2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，−2）．
【解析】（1）解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
设直线BC解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
一、单选题
1．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．
【解析】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A关于BD对称，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故选B．
2．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．
【解析】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小
故选：C．
3．如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A．B．C．D．36
【答案】A
【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选．
【解析】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称，
连接，得，
连接，作，垂足为，
由三角形三边关系和垂线段最短知，
，
即有最小值，
菱形中，，，
在△中，，
解得，
是图象上的最低点
，
此时令与交于点，
由于，在△中，
，又，
，
又的长度为，图2中是图象上的最低点，
，
又，
，
故选：A．
4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【解析】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故选：C．
5．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
【答案】D
【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对
【答案】B
【解析】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
答案详解：如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故选：B．
7．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【解析】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】A
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
二、填空题
9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
【答案】
【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△AGQ的周长最小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可．
【解析】解：设DC=，DQ=AD=x，
∴
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，
∴，
如图，作Q点关于BC的对称点E，连接AE交BC于点M，
∴GQ＝GE，CQ=CE=
∴AQ+QG+AG=，
∴当A、G、E三点共线时，△AGQ的周长最小，
此时G点应位于图中的M点处；
∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，
∴E点位于QC的延长线上，
∴CE∥AB，
∴，
即，
故答案为：．
10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【解析】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，
为等边三角形
的周长===3
故答案为：3
11．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
【答案】
【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时， 值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
【解析】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM
当D、P、M共线时，的值最小，
∵CM=BC=2
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH= ，
在Rt△DMH中，
∵CM∥AD
∴
∴
故答案为：．
12．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．
【解析】解：连接BE
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴CE＝AC＝2，
∴
即EP+CP的最小值为，
故答案为：．
13．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．
【答案】6
【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．
【解析】解：连接BE，与AD交于点M．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
则BE就是EM+CM的最小值．
∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，
∴EM+CM的最小值为6，
故答案为：6．
14．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
【答案】10
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解析】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
三、解答题
15．如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km．
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．
【解析】解：（1）如图1中，点P即为所求．
过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，
∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），
∵AB＝AB′＝4km，
∴EB′＝AE+AB′＝12（km），
∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．
（2）如图2中，点P即为所求，
设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，
∵∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，
∴42+x2＝82+（14﹣x）2，
解得x＝
∴AP＝（km）．
16．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
【答案】17华里
【分析】作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，根据垂直平分线的性质，得出，根据勾股定理得出，即可求出最短路径．
【解析】解：作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，如图所示：
，，，
∵MN垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴（华里）．
答：牧童所走的最短里程是17华里．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)在轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹），并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析，的坐标为．
【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，即可作出；
（2）作出点B关于x轴的对称点B2，连接B2C，交x轴于P，点P即为所求做的点．
【解析】（1）解：解：（1）如图所示，即为关于轴对称的三角形．
（2）解：如图所示，点P即为所求做的点，点的坐标为．
18．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析
【分析】（1）分别确定关于对称的对称点 再顺次连接从而可得答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；
（3）先确定关于的对称点，再连接 交于 则 从而可得答案.
【解析】解：（1）如图1，是所求作的三角形，
（2）如图1，为坐标原点，
则
（3）如图2，点即为所求作的点.
19．如图，一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2），与y轴交于点B．
(1)求一次函数表达式及点B坐标；
(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC．当BC＋AC最小时，
①请直接写出点C的坐标为______；
②请直接写出直线BC的函数表达式为______；
③在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，请直接写出点D的坐标为_____．
【答案】(1)y=-2x-6，B（0，-6）
(2)①（-，0）；②y=-4x-6；③或或（0，-2）或（0，-10）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数的解式，进入求得B的坐标；
（2）①作B关于x轴的对称点为（0，6），连，交x轴于点C，此时BC+AC最小，用待定系数法求出，进一步求出C点坐标；②利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；③求得△ABC的面积，然后根据三角形面积公式得CD和BD的长度进而即可求得D的坐标．
【解析】(1)解：∵一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2）
∴-2=-2k-6，解得k=-2
∴y=-2x-6
∴B（0，-6）
(2)①B点关于x轴的对称点是，连接交x轴于点C，此时AC+BC最小，
设直线的解析式为y=ax+b，则
解得
∴y=4x+6
∴当y=0时，x=-，
∴点C（-，0）
故答案为：（-，0）
②设直线BC的解析式为y=mx+n，则
，
解得
∴y=-4x-6
故答案为：y=-4x-6
③∵A（-2，-2），B（0，-6） ，C
∴
当D在x轴时， ，
即
∴CD=1
∴点D为 或
当D在y轴上时，
即
∴BD=4
∴点D为（0，-2）或（0，-10）
故答案为： 或或（0，-2）或（0，-10）
20．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据菱形的性质先得出，进而证明是等边三角形．
（2）先证明四边形ACED是菱形，再求出，用勾股定理即可求出OE的长．
（3）先找出点A的对称点，根据对称性得到PC＋PE的最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE的长即可．
【解析】（1）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
．
，
．
四边形ABCD是菱形，
．
是等边三角形．
（2）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵DE//AC，
四边形ACED是平行四边形，
由（1）可得，
故四边形ACED是菱形；
则，，∠BDC=30°，OA=2，
则．
（3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，
A点关于BD的对称点为点C，
则PC＋PE的最小值为AE；
为等边三角形，
，
，，
则PC＋PE的最小值为．
21．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)
(3)存在，点Q的坐标为：，，，
【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；
（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可；
（3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标．
【解析】(1)解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：
，解得，
直线的解析式为，
又直线与直线交于点C，
，解得，
当时，则，
点C的坐标为；
(2)解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
直线与x轴的交点为，
又点D和点关于y轴对称，
点，
，
设直线的解析式为，可得，解得，
直线的解析式为，
令，则，得点，
，
又，，
，
，
；
(3)解：由题意可得直线的解析式为，
联立线与直线，即，解得，，
设，
①当ED为菱形对角线时，，
即，
解得，
；
②当EQ为菱形对角线时，，
，
，
解得或，
，；
③当EF为菱形对角线时，，
即，
解得，
，
综上：存在，点Q的坐标为：，，，．
22．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
(3)∠QAC的正弦值为
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；
（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则
根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．
【解析】（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
（2）如图，连接，，
垂直平分AB，
当点与重合时，,此时最小，
，
设，则
解得：
PA+PC=
当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，
，
由（2）知，
平分
点落在上时，点与点重合，
即此时的值最小，最小值为
∠QAC的正弦值为
【模型1】两点一线
1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
2.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
3.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：
4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：
【模型2】一定两动
1.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
2.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
3.如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？
构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
【模型3】两点两线
在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.
1.A、B两点都在直线的外侧
2.一个点在内侧，一个点在外侧
3.两个点都在内侧
【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【例2】如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
【答案】
【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可．
【解析】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，
∵OH∥BC，OH=MN=2，
∴四边形OMNH是平行四边形，
∴OM=NH，
∴OM+ON= NH+ON．
∵O点关于BC的对称点是点K，
∴ON=NK，
∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，
∵，
∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．
∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，
∴．
∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，
∴OK=AB=8．
∵OH= 2，，
∴，
∴OM+ON的最小值是．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4
(2)
(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；
（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x−2，可得E（0，−2），垂线l2的解析式为y＝−2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝−x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝−2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝−2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（−2，2），D（2，−6），得直线DD解析式为y＝−2x−2，从而P（0，−2），Q（0，−2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（−2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，−2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，−2）．
【解析】（1）解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
设直线BC解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
一、单选题
1．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．
【解析】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A关于BD对称，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故选B．
2．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．
【解析】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小
故选：C．
3．如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A．B．C．D．36
【答案】A
【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选．
【解析】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称，
连接，得，
连接，作，垂足为，
由三角形三边关系和垂线段最短知，
，
即有最小值，
菱形中，，，
在△中，，
解得，
是图象上的最低点
，
此时令与交于点，
由于，在△中，
，又，
，
又的长度为，图2中是图象上的最低点，
，
又，
，
故选：A．
4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【解析】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故选：C．
5．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
【答案】D
【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对
【答案】B
【解析】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
答案详解：如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故选：B．
7．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【解析】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】A
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
二、填空题
9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
【答案】
【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△AGQ的周长最小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可．
【解析】解：设DC=，DQ=AD=x，
∴
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，
∴，
如图，作Q点关于BC的对称点E，连接AE交BC于点M，
∴GQ＝GE，CQ=CE=
∴AQ+QG+AG=，
∴当A、G、E三点共线时，△AGQ的周长最小，
此时G点应位于图中的M点处；
∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，
∴E点位于QC的延长线上，
∴CE∥AB，
∴，
即，
故答案为：．
10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【解析】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，
为等边三角形
的周长===3
故答案为：3
11．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
【答案】
【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时， 值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
【解析】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM
当D、P、M共线时，的值最小，
∵CM=BC=2
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH= ，
在Rt△DMH中，
∵CM∥AD
∴
∴
故答案为：．
12．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．
【解析】解：连接BE
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴CE＝AC＝2，
∴
即EP+CP的最小值为，
故答案为：．
13．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．
【答案】6
【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．
【解析】解：连接BE，与AD交于点M．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
则BE就是EM+CM的最小值．
∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，
∴EM+CM的最小值为6，
故答案为：6．
14．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
【答案】10
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解析】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
三、解答题
15．如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km．
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．
【解析】解：（1）如图1中，点P即为所求．
过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，
∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），
∵AB＝AB′＝4km，
∴EB′＝AE+AB′＝12（km），
∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．
（2）如图2中，点P即为所求，
设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，
∵∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，
∴42+x2＝82+（14﹣x）2，
解得x＝
∴AP＝（km）．
16．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
【答案】17华里
【分析】作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，根据垂直平分线的性质，得出，根据勾股定理得出，即可求出最短路径．
【解析】解：作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，如图所示：
，，，
∵MN垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴（华里）．
答：牧童所走的最短里程是17华里．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)在轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹），并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析，的坐标为．
【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，即可作出；
（2）作出点B关于x轴的对称点B2，连接B2C，交x轴于P，点P即为所求做的点．
【解析】（1）解：解：（1）如图所示，即为关于轴对称的三角形．
（2）解：如图所示，点P即为所求做的点，点的坐标为．
18．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析
【分析】（1）分别确定关于对称的对称点 再顺次连接从而可得答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；
（3）先确定关于的对称点，再连接 交于 则 从而可得答案.
【解析】解：（1）如图1，是所求作的三角形，
（2）如图1，为坐标原点，
则
（3）如图2，点即为所求作的点.
19．如图，一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2），与y轴交于点B．
(1)求一次函数表达式及点B坐标；
(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC．当BC＋AC最小时，
①请直接写出点C的坐标为______；
②请直接写出直线BC的函数表达式为______；
③在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，请直接写出点D的坐标为_____．
【答案】(1)y=-2x-6，B（0，-6）
(2)①（-，0）；②y=-4x-6；③或或（0，-2）或（0，-10）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数的解式，进入求得B的坐标；
（2）①作B关于x轴的对称点为（0，6），连，交x轴于点C，此时BC+AC最小，用待定系数法求出，进一步求出C点坐标；②利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；③求得△ABC的面积，然后根据三角形面积公式得CD和BD的长度进而即可求得D的坐标．
【解析】(1)解：∵一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2）
∴-2=-2k-6，解得k=-2
∴y=-2x-6
∴B（0，-6）
(2)①B点关于x轴的对称点是，连接交x轴于点C，此时AC+BC最小，
设直线的解析式为y=ax+b，则
解得
∴y=4x+6
∴当y=0时，x=-，
∴点C（-，0）
故答案为：（-，0）
②设直线BC的解析式为y=mx+n，则
，
解得
∴y=-4x-6
故答案为：y=-4x-6
③∵A（-2，-2），B（0，-6） ，C
∴
当D在x轴时， ，
即
∴CD=1
∴点D为 或
当D在y轴上时，
即
∴BD=4
∴点D为（0，-2）或（0，-10）
故答案为： 或或（0，-2）或（0，-10）
20．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据菱形的性质先得出，进而证明是等边三角形．
（2）先证明四边形ACED是菱形，再求出，用勾股定理即可求出OE的长．
（3）先找出点A的对称点，根据对称性得到PC＋PE的最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE的长即可．
【解析】（1）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
．
，
．
四边形ABCD是菱形，
．
是等边三角形．
（2）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵DE//AC，
四边形ACED是平行四边形，
由（1）可得，
故四边形ACED是菱形；
则，，∠BDC=30°，OA=2，
则．
（3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，
A点关于BD的对称点为点C，
则PC＋PE的最小值为AE；
为等边三角形，
，
，，
则PC＋PE的最小值为．
21．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)
(3)存在，点Q的坐标为：，，，
【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；
（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可；
（3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标．
【解析】(1)解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：
，解得，
直线的解析式为，
又直线与直线交于点C，
，解得，
当时，则，
点C的坐标为；
(2)解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
直线与x轴的交点为，
又点D和点关于y轴对称，
点，
，
设直线的解析式为，可得，解得，
直线的解析式为，
令，则，得点，
，
又，，
，
，
；
(3)解：由题意可得直线的解析式为，
联立线与直线，即，解得，，
设，
①当ED为菱形对角线时，，
即，
解得，
；
②当EQ为菱形对角线时，，
，
，
解得或，
，；
③当EF为菱形对角线时，，
即，
解得，
，
综上：存在，点Q的坐标为：，，，．
22．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
(3)∠QAC的正弦值为
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；
（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则
根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．
【解析】（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
（2）如图，连接，，
垂直平分AB，
当点与重合时，,此时最小，
，
设，则
解得：
PA+PC=
当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，
，
由（2）知，
平分
点落在上时，点与点重合，
即此时的值最小，最小值为
∠QAC的正弦值为
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