专题07 三角形中的中位线与中垂线模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【模型1】三角形中位线
如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得,
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得。
【模型2】梯形中位线
如图，已知，E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得,
【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法
如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知DE 为的中位线。
【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法
如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知BC为的中位线。
【模型3】中垂线模型
如图，已知直线是AB的垂直平分线，点A是直线上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。
【例1】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．
【例2】如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：．
【例3】已知：如图，在△ABC 中，D在边AB上．
（1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC2 = AD· AB；
（2）若E为CD 中点，∠ACD =∠ABE，AB = 3，AC=2，求BD的长．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，与交于点O，点E是边的中点，，则的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=2cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．2cmD．6 cm
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ）
A．2B．4C．8D．10
4．如图，在矩形中，，，平分交于点点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝____．
6．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________．
7．梯形ABCD中，，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是______________．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____．
9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为_______．
10．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．
11．如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是__________．（填序号）
①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形．
12．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=2，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DEBC，BF=DF，则△ADE的面积为 _____．
三、解答题
13．如图，在四边形中，，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：．
14．如图所示，中，，延长到，使，点是的中点，求证：.
15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）
16．如图，已知在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，连接AE并延长，与DC的延长线相交于点F，且AF=AD，连接BF.证明四边形ABFC为矩形
17．已知：如图，在等边中，，且交外角平分线于点.
（1）当点为中点时，试说明与的数量关系；
（2）当点不是中点时，试说明与的数量关系.
18．中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将绕点A顺时针旋转n°得到，E与B是对应点，如图1．
（1）延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；
（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；
（3）如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出的值．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．
（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．
①求证：CF=CE；
②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；
（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．
（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．