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2023-2024学年江苏省南通市海安市重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）
展开这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列几何图形中，不是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正方形D. 圆
2.抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是( )
A. (2,1)B. (−2,−1)C. (−2,1)D. (2,−1)
3.下列函数的图象与y=5x2的图象形状相同的是
( )
A. y=2x2B. y=-5x2+2C. y=x2+5x+1D. y=5x−1
4.已知函数y=(m−2)x|m|+mx−1，其图象是抛物线，则m的取值是( )
A. m=2B. m=−2C. m=±2D. m≠0
5.下列函数中，当x<0时，函数值y随x的增大而增大的有( ) ①y=x；②y=−2x+1；③y=−6x2；④y=3x2；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是
( )
A. −1
7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2−a的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
8.已知二次函数y=-(x−m)2−1，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围 ( )
A. m≥1B. m>1C. m≤1D. m<1
9.若Am+1,y1、Bm,y2,Cm−2,y3为抛物线y=ax2−4ax+2(a<0)上三点，且总有y2>y3>y1，则m的取值范围是( )
A. m>2B. 2
10.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在边BC上运动，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF.设BE=x，CF2=y，则y关于x的函数图象大致为
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.等边三角形至少旋转________度才能与自身重合．
12.在直角坐标系中，点A(1,-2)关于原点对称的点的坐标是______．
13.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__．
14.已知二次函数函数y=(k−3)x2+2x−1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______．
15.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6，对称轴为直线x=−2，则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为_____．
16.已知y1=-x2−3x+4，y2=x+4，当y1
18.如图，正方形ABCD中，AB=2 5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为____．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(−3,0)，(2,−5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(−2,3)是否在这个二次函数的图象上？
20.(本小题8.0分)
如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．
(1)先作△ABC关于原点O的成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2；
(2)A2点的坐标为_ _；
(3)请直接写出CC1+C1C2=_ _.
21.(本小题8.0分)
已知抛物线y=x2−(2m−1)x+m2−m．
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
22.(本小题8.0分)
如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
(1)求∠DCE的度数；
(2)若AC=4 2，CD=3AD，求DE的长．
23.(本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)、B(5,0)、C(0,−5)三点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0
24.(本小题8.0分)
某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价x(元/件)、周销售量y(件)、周销售利润w(元)的三组对应值如表：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)该商品的进价是______元/件，并求出该商品周销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
25.(本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，设函数y=(x−a)(x−a−5)+4，其中a为常数且a≠0．
(1)若函数的图象经过点(3,4)，求函数表达式．
(2)若函数的图象同时经过点(b，m)，(4−b，m)，求a的值．
(3)已知点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上，且y1
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点Px1,y1与某函数图象上的一点Qx2,y2，若y1−y2=x2−x1，则称点Q为点P在该函数图象上的“直差点”．
(1)已知点P(2,0)，求点P在函数y=x2+2图象上“直差点”的坐标；
(2)若点P(m,0)在函数y=-mx2(m≠0)的图象上恰好存在唯一的“直差点”，求m的值；
(3)若点P(m,n)在函数y=x2−2x−3的图象上有且只有2个“直差点”，求m+n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形
【详解】A是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y=a(x−h)2+k (a≠0)，顶点坐标为(h,k)，即可解答．
【详解】解：∵抛物线y=(x+2)2−1
∴顶点坐标为：(−2,−1)，
故选：B．
【点睛】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】找到与y=5x2的二次项系数相同的选项即可确定正确的选项．
【详解】解：∵形状相同的两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，
∴y=5x2与y=-5x2+2形状相同，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次项系数的绝对值相等的二次函数形状相同，难度较小．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意得：|m|=2，且m−2≠0，
解得：m=−2，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，其一般形式为：y=ax2+bx+c(a≠0)．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【详解】解：①y=x，正比例函数，k=1>0，y 随着x 增大而增大，正确；
②y=−2x+1，一次函数，k=−2<0，y 随x 的增大而减小，错误；
③y=−6x2，a=−6<0，开口向下，对称轴为x=0，故当x<0时，图象在对称轴左侧，函数值y 随x 的增大而增大，正确；
④y=3x2，二次函数，a=3>0，开口向上，对称轴为x=0，故当x<0时，图象在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减小，错误．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数、正比例函数的增减性，是一道难度中等的题目．掌握函数的性质是解答此题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，对称轴为直线x=2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
又∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x< -1且x>5．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为(0,2)，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【详解】解：当a<0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a>0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据函数的开口方向和对称轴进行分析即可．
【详解】解：∵y=-(x−m)2−1，
∴函数开口向下，对称轴为：x=m，
∴当x≥m时，y随x的增大而减小，
∴m≤1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性和对称轴，解题的关键是根据二次函数的开口方向和对称轴判断函数的增减性．
9.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质即可解答．
【详解】解：∵y=ax2−4ax+2(a<0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∵y2>y3，
∴m+m−22<2，
解得m<3，
∵y3>y1，
∴m−2+m+12>2，
解得m>52，
综上所述52
【点睛】本题考查了二次函数，解决本题的关键是掌握其图象和性质．
10.【答案】A
【解析】【分析】勾股定理求出AC，作FM⊥AC于M，证明△ABE≌△AMF，得到AB=AM=4,BE=MF，由此求出CM，然后根据勾股定理即可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,BC=AD=3，
∵AB=4，
∴AC= AB2+BC2=5，
作FM⊥AC于M，
∴∠AMF=∠B=90°，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠MAF，
又∵AE=AF，
∴△ABE≌△AMF，
∴AB=AM=4,BE=MF，
∴CM=AC−AM=5−4=1，
在Rt△CFM中，CF2=MF2+CM2，
∴CF2=BE2+12，
∴y=x2+12，图象对称轴为y轴，开口向上，
当点E与点C重合时，y=32+12=10，
∴y关于x的函数图象大致为A，
故选：A．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.【答案】120
【解析】【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【详解】∵360°÷3=120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
12.【答案】(−1,2)
【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点即可得出答案．
【详解】∵点A(1,-2)，
∴A(1,-2)关于原点对称的点的坐标为(−1,2)．
故答案为(−1,2)．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标的特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．
13.【答案】y=2x2+4x
【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：y=2(x+1)2+1−3，
即：y=2x2+4x
故答案为：y=2x2+4x．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
14.【答案】k≥2且k≠3
【解析】【分析】根据判别式Δ≥0结合二次项系数非零即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数函数y=(k−3)x2+2x−1的图象与x轴有交点，
∴k−3≠0Δ=22−4×(k−3)×(−1)≥0,
解得：k≠3k≥2,
故答案为：k≥2且k≠3
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式Δ≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
15.【答案】x1=−5，x2=1
【解析】【分析】根据函数的对称轴为直线x=−2以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6，即可求出两个交点坐标，而抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即为关于x的方程ax2+bx+c=0的解．
【详解】解：函数的对称轴为直线x=−2，
抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6，
则两个交点的坐标分别为：(−5,0)，(1,0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=−5，x2=1．
故答案为：x1=−5，x2=1．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点与对称轴之间的关系．
16.【答案】4
【详解】解：画y1=-x2−3x+4和y2=x+4的图像如下：
∵当y1
如图，点A为y1的顶点，点B为y1与y轴交点，
在y1=-x2−3x+4中，顶点为−−3−1×2,4×(−1)×4−(−3)24×(−1)，即A−32,254，
令x=0，则y=4，则B(0,4)；
∵当n取一实数时，存在三个不同的实数m，
∴存在一点(m,n)，使直线y=n与y的图像有三个不同的交点，
∴当直线y=n在y=4和y=254之间时，满足条件，
故n的范围是4
17.【答案】−1
【解析】【分析】将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为(1,−2)在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得a>0，设x1,x2为A，B两点的横坐标，然后根据已知AB=|x1−x2|≥2，求出a的取值范围，再设w=a2−6a+7，配方代入求解即可．
【详解】解：y=ax2−2ax+a−2
=a(x2−2x+1)−2
=a(x−1)2−2
∴抛物线顶点坐标为(1,−2)，在第四象限，
又抛物线y=ax2−2ax+a−2与x轴相交于A，B两点．
∴抛物线开口向上，即a>0
设x1,x2为A，B两点的横坐标，
∴x1+x2=2,x1.x2=a−2a
∵线段AB的长不小于2，
∴AB=|x1−x2|≥2
∴(x1−x2)2≥4
∴x12+x22−2x1x2≥4
∴(x1+x2)2−4x1x2≥4
∴22−4×a−2a≥4
解得，a≤2
设w=a2−6a+7=(a−3)2−2
当a=2时，w=a2−6a+7有最小值，最小值为：(2−3)2−2=-1
故答案为：−1
【点睛】本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．
18.【答案】5 2−2．
【解析】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由条件可得OM=5 2，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90°，
∴∠EDO=∠FDM，
∵DE=DF，DO=DM，
∴△EDO≌△FDM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=2 5，O是BC边的中点，
∴OC= 5，
∴OD= (2 5)2+( 5)2=5，
∴OM= 52+52=5 2，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥5 2−2，
∴线段OF长的最小值为5 2−2．
故答案为：5 2−2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
19.【答案】(1)y=−x2−2x+3；(2)点P(−2,3)在这个二次函数的图象上，
【解析】【分析】(1)根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2)代入x=−2求出y值，将其与3比较后即可得出结论．
【详解】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3；
∵二次函数的图象经过点(−3,0)，(2,−5)，则有：
9a−3b=-34a+2b=-8
解得；a=-1b=-2
∴y=−x2−2x+3．
(2)把x=−2代入函数得y=−(−2)2−2×(−2)+3=−4+4+3=3，
∴点P(−2,3)在这个二次函数的图象上，
【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
20.【答案】(1)见详解；(2)A2(3,4)；(3)2 2+4
【解析】【分析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征可写出A1(3,0)、B1(5,-3)、C1(1,1)，描点连线得到△A1B1C1，然后利用点平移的坐标特征可写出A2(3,4)、B2(5,1)、C2(1,5)，然后描点连线即可得到△A1B1C1；
(2)由(1)可得答案；
(3)根据勾股定理求得CC1=2 2，由平移规律求得C1C2=4，再相加即可得解．
【详解】解：(1)∵观察图形可知A(−3,0)，B(−5,3)，C(−1,-1)
∴与△ABC关于原点对称的△A1B1C1的顶点坐标为A1(3,0)，B1(5,-3)，C1(1,1)
∴由△A1B1C1向上平移4个单位得到的△A2B2C2的顶点坐标为A2(3,4)，B2(5,1)，C2(1,5)
∴可在坐标系中描出各点，再顺次分别首尾连接，即可得到△A1B1C1、△A2B2C2，如图：
；
(2)由(1)可知：A2点的坐标为(3,4)；
(3)连接CC1、C1C2，C1C2的中点这个格点标为点D，如图：
∵观察图形可得，CC1为直角边分别为2、2的直角三角形的斜边
∴CC1= 22+22=2 2
∵△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2
∴C1C2=4
∴CC1+C1C2=2 2+4．
【点睛】本题考查了平移作图、中心对称作图、勾股定理、求坐标系中两点间的距离等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21.【答案】(1)证明见解析；(2)m的值为−3或1．
【解析】【分析】(1)先求得△的值，然后证明△>0即可；
(2)依据此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上可得到m2−m=-3m+3，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：(1)令y=0得：x2−(2m−1)x+m2−m=0①
∵△=(2m−1)2−4(m2−m)=1>0
∴方程①有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)令：x=0，根据题意有：m2−m=-3m+3，
整理得：m2+2m−3=0
解得m=-3或m=1．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上得到关于m的方程是解题的关键．
22.【答案】(1)∠DCE=90°
(2)DE=2 5
【解析】【分析】(1)根据题意证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质可得结论；
(2)根据题意求出AD,CD的长度，然后根据(1)中全等三角形的性质得出AD=CE，根据勾股定理求解即可．
【详解】(1)解：∵等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ACB=45°，
∵将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE，
∴BD=BE,∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
{B=CB∠ABD=∠CBEBD=BE,
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=45°+45°=90°；
(2)∵AC=4 2，CD=3AD，
∴AD= 2，CD=3 2，
∵△ABD≌△BCE，
∴AD=CE= 2，
在Rt△DCE中：DE= DC2+CE2= (3 2)2+( 2)2=2 5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质求解是解本题的关键．
23.【答案】(1)y=x2−4x−5；顶点坐标是(2,−9)；(2)−9≤y<0.(3)(−2,7)或(6,7)或( 2+2,−7)或(− 2+2,−7)．
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−5)，再将C(0,−5)代入求出a的值，即可得到该抛物线的解析式；利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出该抛物线的顶点坐标；
(2)根据图象即可求解；
(3)设点P的坐标为(x,y).由S△PAB=21，可得y=±7.把y=7与y=−7分别代入y=x2−4x−5，求出x的值，即可得到点P的坐标．
【详解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−5)，
将C(0,−5)代入，得−5=−5a，解得a=1，
则该抛物线的解析式为y=(x+1)(x−5)，即y=x2−4x−5；
∵y=x2−4x−5=(x−2)2−9，
∴该抛物线的顶点坐标是(2,−9)；
(2)∵当x=2时，y最小值为−9
∴结合图象可得当0
∵A(−1,0)、B(5,0)，
∴AB=6．
∵S△PAB=21，
∴12×6×|y|=21，
∴|y|=7，
∴y=±7．
①当y=7时，x2−4x−5=7，解得x1=−2，x2=6，此时点P的坐标为(−2,7)或(6,7)；
②当y=−7时，x2−4x−5=−7，解得x1= 2+2，x2=− 2+2，此时点P的坐标为( 2+2,−7)或(− 2+2,−7)；
综上所述，所求点P的坐标为(−2,7)或(6,7)或( 2+2,−7)或(− 2+2,−7)．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质与二次函数图象上点的坐标特征．
24.【答案】(1)y关于x的函数解析式为y=-2x+220
(2)40，该商品周销售利润的最大值2450
(3)m的值为5
【解析】【分析】(1)根据题意设y=kx+b，将(60,100)，(70,80)分别代入即可解答；
(2)根据单件利润×数量=总利润列方程求出进价，根据总利润=数量乘以单件利润列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；
(3)同(2)的方法列出函数解析式，再利用二次函数的的性质求出最大值，列出关于m的方程求解．
【详解】(1)解：设y=kx+b，将(60,100)，(70,80)分别代入得
100=60k+b,80=70k+b,
解得：k=-2b=220,
∴y关于x的函数解析式为y=-2x+220．
(2)设进价为z元，则100(60−z)=2000，
解得z=40，
故进价为40元/件．
w=(−2x+220)(x−40)=-2(x−110)(x−40)=-2(x−75)2+2450，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=75，
∴当x=75时，
w有最大值为(−2×75+220)(75−40)=2450元；
(3)w=(−2x+220)(x−40−m)=-2(x−110)(x−40−m)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=11+40+m2=75+m2，
∴当x<75+m2时，w随x的增大而增大．
又∵x≤70，
∴当x=70时，
w有最大值：(−2×70+220)(70−40−m)=2000．
解得：m=5．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
25.【答案】(1)y=x2−x−2或y=x2−11x+28
(2)−12
(3)a<−1
【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
(3)根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】(1)解：函数y1的图象经过点(3,4)，得
4=(3−a)(3−a−5)+4，
解得a1=−2，a2=3，
当a1=−2时，函数y的表达式y=(x+2)(x+2−5)+4，化简，得y=x2−x−2；
当a1=3时，函数y的表达式y=(x−3)(x−3−5)+4，化简得y=x2−11x+28，
综上所述：函数y的表达式y=x2−x−2或y=x2−11x+28；
(2)解：∵y=(x−a)(x−a−5)+4=x2−(2a+5)x+a2+5a+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−(2a+5)2=2a+52，
∵函数的图象同时经过点(b，m)，(4−b，m)，
∴2a+52=b+4−b2，
解得：a=−12；
(3)由(2)知对称轴为：x=2a+52，
∴点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上，且y1
①当2a+52≤1，即a≤−32时，函数在1≤x≤2时，y随x的增大而增大，此时，y1
综上所述：a的取值范围a<−1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解(1)的关键是利用待定系数法；解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
26.【答案】(1)(0,2)或(−1,3)
(2)12或−12
(3)−1
【解析】【分析】(1)设点P(2,0)在函数y=x2+2图像上“直差点”的坐标为x,x2+2，根据“直差点”的定义可得：0−x2+2=x−2，即可解得答案；
(2)设点P(m,0)在函数y=-mx2(m≠0)的图像上的“直差点”为x,-mx2，根据“直差点”的定义可得0+mx2=x−m，即可解得答案；
(3)设点P(m,n)在函数y=x2−2x−3的图像上的“直差点”为x,x2−2x−3，得n−x2−2x−3=x−m，根据点P(m,n)在函数y=x2−2x−3的图像上有且只有2个“直差点”，知y=x2−2x−3的图像与y=-x+m+n的图像有且只有2个交点，画出函数图像，可得m+n的范围．
【详解】(1)解：设点P(2,0)在函数y=x2+2图像上“直差点”的坐标为x,x2+2，
根据“直差点”的定义可得：0−x2+2=x−2，解得：x1=0，x2=-1，
∴点P在函数y=x2+2图象上“直差点”的坐标为(0,2)或(−1,3)；
(2)解：设点P(m,0)在函数y=-mx2(m≠0)的图像上的“直差点”为x,-mx2，
∴0+mx2=x−m，
整理得：mx2−x+m=0，
∵点P(m,0)在函数y=-mx2(m≠0)的图象上恰好存在唯一的“直差点”，
∴Δ=(−1)2−4m2=0，
解得：m=±12，
即m的值为12或−12；
(3)解：设点P(m,n)在函数y=x2−2x−3的图像上的“直差点”为x,x2−2x−3，
∴n−x2−2x−3=x−m，
∴x2−2x−3=-x+m+n，
∵点P(m,n)在函数y=x2−2x−3的图像上有且只有2个“直差点”，
∴y=x2−2x−3的图像与y=-x+m+n的图像有且只有2个交点，
在y=x2−2x−3中，令y=0得x1=-1或x2=3，
∴y=x2−2x−3的图像与x轴交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
如图：
把(−1,0)代入y=-x+m+n得：0=1+m+n，
解得：m+n=-1，
把(3,0)代入y=-x+m+n得：0=-3+m+n，
解得：m+n=3，
由图像可知，此时点P(m,n)在函数y=x2−2x−3的图像上有且只有2个“直差点”，
m+n的取值范围为−1
如图：
−x2+2x+3=-x+m+n有两个相等的实数根，
∴Δ=(−3)2−4×(m+n−3)=0，
m+n=214；
∴m+n的取值范围为m+n>214，
综上所述：m+n的取值范围为−1
【点睛】本题考查一次函数，二次函数图像上点坐标的特征，解题的关键是读懂题意，理解“直差点”的定义．
售价x(元/件)
60
70
80
周销售量y(件)
100
80
60
周销售利润w(元)
2000
2400
2400
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