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2023-2024学年重庆市铜梁一中等三校高一上学期10月联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年重庆市铜梁一中等三校高一上学期10月联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合交集的概念运算即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
2．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，均有B．，均有
C．，有D．，有
【答案】B
【分析】依据命题的否定的书写即可
【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“，均有”，
故选：B
4．已知函数的两个零点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数的两个零点分别为，得到，，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】因为函数的两个零点分别为，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以则的最小值为4
故选：C
5．如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以，阴影部分可表示为，故A正确；
且，阴影部分可表示为；C正确
且，阴影部分可表示为，故D正确；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，故B错误．
故选：B
6．若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的，，则，
因为，则，则，.
故选：C.
7．关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式化为，讨论和时，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．
【详解】原不等式可化为，
若，则不等式的解是，，
不等式的解集中不可能有4个正整数，
所以，不等式的解是，；
所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；
令，解得；
所以的取值范围是，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．
8．已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即时，等号成立，
所以，即，
因为对满足的所有正实数a，b都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由为正数得，
所以正数的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9．已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；
选项B，由得，又因为，
所以，所以，故选项B正确；
选项C，因为，所以，所以，
因为，所以两边同乘得，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，即，故选项D不正确；
故选：ABC．
10．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据是方程的根，利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集得不等式判断D.
【详解】关于x的不等式的解集为或，
所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确；
因为是方程的根，所以，解得，
所以也即，解得，故选项B正确；
不等式等价于，也即，
解得或，故选项C错误；
因为或，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键.
11．受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．
【详解】由题意知：，所以，，
，
由基本不等式可得，所以，
所以故，当且仅且时等号全部成立.
故A选项正确，B选项错误
又由，
故易知，即C项正确；
，，
取，此时，
所以D选项不一定成立，
故选：AC．
12．若，x，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据题目的已知条件灵活运用基本不等式放缩求解即可．
【详解】解：，
，故A正确；
取，，满足，
但，故B错误；
，
，
，
，
故，所以C正确，D错误．
故选：AC．
【点睛】本题的解题关键是根据的结构，运用基本不等式把整体放缩成，从而得到的不等式组，解之求得结论．
三、填空题
13．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意.
【详解】因为，所以，易知，
当时，，此时，，不合题意舍去；
当时，，此时，，满足题意，
所以.
故答案为：
14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为 ．
【答案】172
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
15．实数满足，，则的取值范围是
【答案】．
【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解.
【详解】设，
则，解得，所以，
因为，，所以，，
可得，即的取值范围为．
故答案为：．
16．若，，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】试题分析：由可得，即，所以（当且仅当时取等号），即的最小值为.
【解析】基本不等式及灵活运用.
【易错点晴】本题重在考查基本不等式的灵活运用.解答时先将条件进行合理变形得到，再依据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用基本不等式使其获解.这里要强调的是 “一正、二定、三相等”是基本不等式的运用情境，也是学会运用基本不等式的精髓，这是运用好基本不等式的关键之所在.
四、解答题
17．已知集合或，，．
(1)求，；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接根据交并补的定义求解即可；
（2）根据，得到，再讨论集合即可求解结论.
【详解】（1）集合或，，
，
，
（2），，由，得到，
当时，，即；
当时，，即．
综上：或．
实数m的取值范围
18．已知集合，集合.
(1)求集合，；
(2)若是成立的__________条件（请在①充分不必要，②必要不充分，③充分，④必要中任选一个补充在问题（2）中，判断实数是否存在，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，;
（2）选①，得集合是集合的真子集;选②，得集合是集合的真子集; 选③，得集合是集合的子集;选④，得集合是集合的子集，然后分别列出不等式即可求解
【详解】（1）因为，即，解得，
所以，
因为，即，又因为，所以，
故；
（2）若选①：因为是的充分不必要条件，所以，
则有且等号不同时成立，解得，故存在实数，
所以的取值范围是；
若选②：因为是的必要不充分条件，所以，
则有且等号不同时成立，解得，故存在实数，
所以的取值范围是；
若选③：因为是的充分条件，所以，
则有，解得，故存在实数，
所以的取值范围是；
若选④，因为是的必要条件，所以，
则有，解得，故存在实数，
所以的取值范围是.
19．（1）若不等式的解集为求 ．
（2）设，解关于的不等式：.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）解分式不等式求其补集即可；
（2）含参讨论解一元二次不等式即可.
【详解】（1），
即，解之得：或，
则.
（2），
当时，原不等式为：；
当时，则或，
①当时，或，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
五、应用题
20．某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离km的关系为，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为40万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设为建造宿舍与修路费用之和，
(1)求的值.
(2)求关于的表达式.
(3)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值.
【答案】(1)200
(2)
(3)宿舍应建在离工厂km处，总费用最小为36万元.
【分析】（1）根据条件代入，即可求得；
（2）费用之和包括函数P、道路费用两部分，加起来即可；
（3）用基本不等式求第（2）问函数的最值即可.
【详解】（1）由题意，得，
（2）
（3），
当且仅当，且，即时取等号.
所以，宿舍应建在离工厂处，总费用最小为36万元.
六、解答题
21．已知关于x不等式的解集为M．
（1）当M为空集时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）4；（3）.
【分析】（1）由已知得，解之可求得的取值范围；
（2）由（1）求得，再根据利用基本不等式，可求得的最小值.
（3）根据二次函数的性质建立不等式组，解之可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为为空集，所以.
所以的取值范围为；
（2）由（1）可知，则，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为4.
（3）设函数，当不为空集时，由，得.
所以实数的取值范围.
22．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点，且、，求的取值范围；
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
【答案】(1)不动点为和
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果；
（3）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果；
【详解】（1）由题意知：，
解得，，所以不动点为和．
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即（），解得，所以的取值范围是．
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合交集的概念运算即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
2．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，均有B．，均有
C．，有D．，有
【答案】B
【分析】依据命题的否定的书写即可
【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“，均有”，
故选：B
4．已知函数的两个零点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数的两个零点分别为，得到，，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】因为函数的两个零点分别为，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以则的最小值为4
故选：C
5．如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以，阴影部分可表示为，故A正确；
且，阴影部分可表示为；C正确
且，阴影部分可表示为，故D正确；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，故B错误．
故选：B
6．若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的，，则，
因为，则，则，.
故选：C.
7．关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式化为，讨论和时，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．
【详解】原不等式可化为，
若，则不等式的解是，，
不等式的解集中不可能有4个正整数，
所以，不等式的解是，；
所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；
令，解得；
所以的取值范围是，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．
8．已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即时，等号成立，
所以，即，
因为对满足的所有正实数a，b都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由为正数得，
所以正数的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9．已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；
选项B，由得，又因为，
所以，所以，故选项B正确；
选项C，因为，所以，所以，
因为，所以两边同乘得，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，即，故选项D不正确；
故选：ABC．
10．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据是方程的根，利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集得不等式判断D.
【详解】关于x的不等式的解集为或，
所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确；
因为是方程的根，所以，解得，
所以也即，解得，故选项B正确；
不等式等价于，也即，
解得或，故选项C错误；
因为或，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键.
11．受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．
【详解】由题意知：，所以，，
，
由基本不等式可得，所以，
所以故，当且仅且时等号全部成立.
故A选项正确，B选项错误
又由，
故易知，即C项正确；
，，
取，此时，
所以D选项不一定成立，
故选：AC．
12．若，x，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据题目的已知条件灵活运用基本不等式放缩求解即可．
【详解】解：，
，故A正确；
取，，满足，
但，故B错误；
，
，
，
，
故，所以C正确，D错误．
故选：AC．
【点睛】本题的解题关键是根据的结构，运用基本不等式把整体放缩成，从而得到的不等式组，解之求得结论．
三、填空题
13．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意.
【详解】因为，所以，易知，
当时，，此时，，不合题意舍去；
当时，，此时，，满足题意，
所以.
故答案为：
14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为 ．
【答案】172
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
15．实数满足，，则的取值范围是
【答案】．
【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解.
【详解】设，
则，解得，所以，
因为，，所以，，
可得，即的取值范围为．
故答案为：．
16．若，，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】试题分析：由可得，即，所以（当且仅当时取等号），即的最小值为.
【解析】基本不等式及灵活运用.
【易错点晴】本题重在考查基本不等式的灵活运用.解答时先将条件进行合理变形得到，再依据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用基本不等式使其获解.这里要强调的是 “一正、二定、三相等”是基本不等式的运用情境，也是学会运用基本不等式的精髓，这是运用好基本不等式的关键之所在.
四、解答题
17．已知集合或，，．
(1)求，；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接根据交并补的定义求解即可；
（2）根据，得到，再讨论集合即可求解结论.
【详解】（1）集合或，，
，
，
（2），，由，得到，
当时，，即；
当时，，即．
综上：或．
实数m的取值范围
18．已知集合，集合.
(1)求集合，；
(2)若是成立的__________条件（请在①充分不必要，②必要不充分，③充分，④必要中任选一个补充在问题（2）中，判断实数是否存在，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，;
（2）选①，得集合是集合的真子集;选②，得集合是集合的真子集; 选③，得集合是集合的子集;选④，得集合是集合的子集，然后分别列出不等式即可求解
【详解】（1）因为，即，解得，
所以，
因为，即，又因为，所以，
故；
（2）若选①：因为是的充分不必要条件，所以，
则有且等号不同时成立，解得，故存在实数，
所以的取值范围是；
若选②：因为是的必要不充分条件，所以，
则有且等号不同时成立，解得，故存在实数，
所以的取值范围是；
若选③：因为是的充分条件，所以，
则有，解得，故存在实数，
所以的取值范围是；
若选④，因为是的必要条件，所以，
则有，解得，故存在实数，
所以的取值范围是.
19．（1）若不等式的解集为求 ．
（2）设，解关于的不等式：.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）解分式不等式求其补集即可；
（2）含参讨论解一元二次不等式即可.
【详解】（1），
即，解之得：或，
则.
（2），
当时，原不等式为：；
当时，则或，
①当时，或，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
五、应用题
20．某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离km的关系为，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为40万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设为建造宿舍与修路费用之和，
(1)求的值.
(2)求关于的表达式.
(3)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值.
【答案】(1)200
(2)
(3)宿舍应建在离工厂km处，总费用最小为36万元.
【分析】（1）根据条件代入，即可求得；
（2）费用之和包括函数P、道路费用两部分，加起来即可；
（3）用基本不等式求第（2）问函数的最值即可.
【详解】（1）由题意，得，
（2）
（3），
当且仅当，且，即时取等号.
所以，宿舍应建在离工厂处，总费用最小为36万元.
六、解答题
21．已知关于x不等式的解集为M．
（1）当M为空集时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）4；（3）.
【分析】（1）由已知得，解之可求得的取值范围；
（2）由（1）求得，再根据利用基本不等式，可求得的最小值.
（3）根据二次函数的性质建立不等式组，解之可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为为空集，所以.
所以的取值范围为；
（2）由（1）可知，则，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为4.
（3）设函数，当不为空集时，由，得.
所以实数的取值范围.
22．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点，且、，求的取值范围；
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
【答案】(1)不动点为和
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果；
（3）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果；
【详解】（1）由题意知：，
解得，，所以不动点为和．
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即（），解得，所以的取值范围是．
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