2023-2024学年甘肃省酒泉市油田第一中学四校高一上学期期中联考数学试题含答案

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考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前．考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：必修一第一章、第二章、第三章、第四章第1节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义运算即可.
【详解】由题意可知.
故选：D
2. 命题：，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定判断．
【详解】由题意得，的否定是，，
故选：B
3. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：D.
4. 已知、，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；
对于B选项，取，，则，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.
【详解】.
故选：A.
6. 某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】设对两项运动都喜爱的人数为，根据已知作出venn图，根据venn图列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】设对两项运动都喜爱的人数为
根据已知作出venn图，
根据venn图可得，，
解得.
故选：C.
7. 若函数在R上为减函数，则实数a取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8. 设，定义运算“”和“”如下： ，．若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】由运算“Δ”和“∇”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确．
【详解】由运算“”和“”定义知，
表示数较小的数， 表示数较大的数，
当时，，故选项A、C错误；
当时，，故选项B错误；
∵，且，∴，
∵，，∴，故选项D正确；
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】AC
【解析】
【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.
【详解】∵集合，，
∴，或.
故选：AC.
10. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】先求出各项两个函数的定义域，若定义域相同，则判断对应关系、解析式是否一致，即可得出答案.
【详解】对于A项，函数的定义域为R，的定义域为，
两个函数定义域不相同，故A项错误；
对于B项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且，所以两个函数相同，故B项正确；
对于C项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
但是解析式不相同，故C项错误；
对于D项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且对应关系也一致，故D项正确.
故选：BD.
11. 二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（ ）

A. B.
C. D. 当时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可.
【详解】根据图像可得，，，A正确；
由对称性和时，，所以时，，
即，，
当时，，BC正确，D错误.
故选：ABC
12. 若函数满足，，且，，则（ ）
A. 在上单调递减B.
C. D. 若，则或
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由题设条件得到在上单调递增，且关于对称，从而得以判断A；利用赋值法可判断B；利用函数的对称性与单调性，计算得自变量与对称轴的距离的大小关系，从而判断CD.
【详解】因为，
所以在上单调递增，且关于对称，
则在上单调递减，故A正确；
因为，令，得，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
若，则，解得或，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（10小题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知求出的值，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，.
故答案为：.
14. 若命题“，”为真命题，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.
【详解】命题“，”为真命题，即，，
设，，
当时，取得最大值为，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
15. 已知正实数，满足，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 表示不超过x的最大整数，如，，，已知且满足，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知可推得，进而求得范围，代入，求出整数部分，即可得出答案.
【详解】因为，
且每一项都是整数，
又，
所以，，
所以有，所以，
所以，，
所以，.
故答案为：3.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集运算求解；
（2）利用集合的补集和并集运算求解.
【小问1详解】
解：因为，，
所以.
【小问2详解】
因为或，
所以或.
18. 设：实数满足，其中，：实数满足.
（1）若，且，均成立，求实数的取值范围；
（2）若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，再根据二次不等式求解即可；
（2）根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可.
【小问1详解】
当时，由，解得，
而由，得，
由于，均成立，故，即的取值范围是.
【小问2详解】
由得，
因为，所以，故：，
因为是的充分不必要条件，所以
解得.
故实数的取值范围是.
19. 已知幂函数在上是增函数，函数为偶函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；
（2）利用函数的奇偶性求解即可.
【小问1详解】
因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是增函数，则，即，
所以，则.
小问2详解】
因为，所以当时，，
当时，，则
又因为是上的偶函数，所以，
即当时，，
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式并判断在上的单调性（不必证明）；
（2）解不等式．
【答案】（1），在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据奇函数的定义，列出关系式，即可得出.然后根据，即可得出的值；根据函数单调性的定义，即可判断函数的单调性；
（2）根据（1）的结论，列出不等式组，求解即可得出答案.
【小问1详解】
，都有，.
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，即，
所以，.
又，即，所以，
所以，.
，且，
则.
因为，且，
所以，，，所以，
所以，，，
所以，在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知，为上的奇函数，在上单调递增.
则由，可得，
所以有，解得.
所以，不等式的解集为.
21. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.

（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；
（2）当长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值.
【答案】（1）
（2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
【解析】
【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解；
（2）由，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：设的长为米，则米，
∵，∴，
∴；
【小问2详解】
记矩形花坛的面积为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
22. 若函数.
（1）讨论的解集；
（2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；
（2）令，原题等价于，对使得恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围.
【小问1详解】
已知，
①当时，时，即；
②当时，，
若，，解得 ，
若，，解得或，
若，，解得，
若时，，解得或，
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.
【小问2详解】
若，则，，
令，原题等价于，对使得恒成立，
令，是关于的减函数，
对，恒成立，
即，
又，，
即，
故，解得或.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；