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2024年高考数学复习：27 圆锥曲线点代入和非对称等题型归纳（原卷版）
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这是一份2024年高考数学复习：27 圆锥曲线点代入和非对称等题型归纳（原卷版），共14页。
【题型一】基础型：韦达定理+点带入法
【典例分析】
已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
【经验总结】
基本规律
1.图形特征依旧有“一直一曲”的
2.在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上”
3.授课时，可以和点差法题型结合对比
【变式演练】
1.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为eq \f(1,5).
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ＝λ ＋ ，求λ的值．
2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.
（1）若，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.
3．过椭圆：的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得，求椭圆的方程.
【题型二】 定比分点型：a=b
【典例分析】
设动点M(x, y)到直线y=3的距离与它到点F(0, 1)的距离之比为，点M的轨迹为曲线E.
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A, B两点，且．当3时，求直线l斜率k的取值范围·
【经验总结】
基本规律
利用公式，可消去
【变式演练】
1.抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）设的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（2）若 ，求直线的方程．
2.在圆上任取点，过点作轴的垂线，是垂足，点满足： .
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点的轨迹交于、两点，点是点关于轴的对称点，试在轴上找一定点，使、、三点共线，并求与面积之比的取值范围.
3.已知点A，B的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为.
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E､F（E在D､F之间），，试求的取值范围.
【题型三】 点带入型：抛物线独有的代入方法
【典例分析】
已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点到的距离比点到轴的距离大1．过点作抛物线的切线，设其斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线相交于不同的两点，（异于点），若直线与直线的斜率互为相反数，证明：．
【经验总结】
基本规律
抛物线可以设点，设二次不设一次，达到消元的目的，如
【变式演练】
1.已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
2.在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.
3.已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：；
（3）当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
【题型四】 非对称型：利用韦达定理构造“和积消去”型
【典例分析】
已知椭圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为
（1）求的方程.
（2）设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答).
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点.
【经验总结】
基本规律
1.对于非对称型题，韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型。
2.和积互化公式：
3.一般情况下，多把积化和，且m多为常数，授课时注意讲清这些数据细节
【变式演练】
1.已知满圆的离心率为，，分别为椭圆C的左右顶点．
B为椭圆C的上项点，为椭圆C的左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线l为椭圆于E、F两点（点E在x轴上方），M，N分别为直线与y轴的交点，O为坐标原点，来的值．
2.已知椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．
3.已知椭圆经过点，左顶点为，右焦点为，已知点，且，，三点共线．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的直线l与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点．
【题型五】 切线
【典例分析】
定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线上一点，且与曲线在点处的切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．设点为抛物线上一点．
(1)求抛物线在点处的切线的方程（结果不含）；
(2)求抛物线在点处的法线被抛物线截得的弦长的最小值，并求此时点的坐标．
【经验总结】
基圆锥曲线的切线，主要是通过判别式来求的。但也要记清楚一些常见的切线方程结论
【变式演练】
1.已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
(1)求证：M，O，N三点共线；
(2)求△OAB面积的最大值．
2.把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.
3.如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.
(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.
【题型六】 暴力计算型：求根公式
【典例分析】
如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.
【经验总结】
基本规律
对于联立后的一元二次方程，一些数据适宜直接求根公式来暴力计算，授课时可以在此处对数据做不同的分析，增加经验
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
①求证：直线OQ的斜率为定值；
②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值．
2.已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3.已知椭圆的左､右顶点分别为 ，点该椭圆上，且该椭圆的右焦点与抛物线 的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率为 ，直线的斜率为，直线的斜率，求证：_____________.
在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明.
①直线与的交点在定直线上；
②；
③.
【题型七】 无韦达定理：点代入法
【典例分析】
已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
【经验总结】
基本规律
题型特征：
1.可能不是“一直一曲”。
2.可能所求的不具有交点的对称性，且无法转化
【变式演练】
1.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴，轴的直线，交椭圆于，两点，为线段的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）延长交椭圆于点，记与的面积分别为，，若，求直线的方程.
2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.
①求的值；
②求证：直线的交点在定直线上.
3.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点．当直线垂直于轴时，．
（1）求，的值；
（2）设直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．
①若，求的面积；
②是否存在轴上的一定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型八】 坐标运算
【典例分析】
已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.
（1）求的方程；
（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【经验总结】
基本规律
1.可能非线性
2.线性，但是无伟达坐标运算点带代入
【变式演练】
1.设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，
为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，
求坐标原点到距离的比值。
2.设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．
（1）为何值时，以为直径的圆过原点？
（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
3.已知椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2))).
(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点．若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,5)eq \(OB,\s\up6(→))，点N为线段AB的中点，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0))，求证：|NC|＋|ND|＝2eq \r(2).
【题型九】 综合题
【典例分析】
已知动直线l与椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝eq \f(\r(6),2)，其中O为坐标原点．
(1)证明：xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)和yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)均为定值．
(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值．
(3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝eq \f(\r(6),2)？若存在，判断
△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，离心率，短轴长为2，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过且斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
(3)过点做另一直线，与椭圆分别交于、两点，求的取值范围．
2.已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
3.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．
（1）当时，证明直线平分线段；
（2）已知点，则：
①若，求；
②求四边形面积的最大值．
模拟题
1.椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.
2.如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
3.已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当点在直线上移动时，求的最小值．
4.已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作动直线与椭圆交于A，两点，过点A作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点.
5.已知椭圆的离心率为，且过点，过点的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于P､Q两点，直线与x轴相交于点N，过点P作直线l，垂足为M
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形(O为坐标原点)的面积的取值范围；
（3）证明：直线过定点D，且求出点D的坐标.
6.已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，过的直线与交于两点.
（1）设和的面积分别为，若，求直线的方程；
（2）当直线绕点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数.
7.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为3eq \r(2)，其中一条渐近线的方程为x－eq \r(2)y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，eq \(PG,\s\up12(→))＝2eq \(GO,\s\up12(→))，求|eq \(GA,\s\up12(→))|2＋|eq \(GB,\s\up12(→))|2的取值范围；
(3)若点P满足|PA|＝|PB|，求证：eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OP|2)为定值．
8. 如图17所示，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：eq \f(x0x,a2)－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝eq \f(3,2)相交于点N.证明：当点P在C上移动时，eq \f(|MF|,|NF|)恒为定值，并求此定值．
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为x＝4，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过T（t，0）（t＞a）作斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的左侧），且F1M∥F2N.设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值.
10.已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.
11.已知圆经过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，点Aa,1(a>0) 为曲线上一点．
（1）求的值及曲线的方程；
（2）若为曲线上异于的两点，且．记点到直线的距离分别为求证：是定值．
12.已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且．
（1）求抛物线C的方程：
（2）若以点为圆心，为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点．
【题型一】基础型：韦达定理+点带入法
【典例分析】
已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
【经验总结】
基本规律
1.图形特征依旧有“一直一曲”的
2.在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上”
3.授课时，可以和点差法题型结合对比
【变式演练】
1.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为eq \f(1,5).
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ＝λ ＋ ，求λ的值．
2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.
（1）若，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.
3．过椭圆：的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得，求椭圆的方程.
【题型二】 定比分点型：a=b
【典例分析】
设动点M(x, y)到直线y=3的距离与它到点F(0, 1)的距离之比为，点M的轨迹为曲线E.
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A, B两点，且．当3时，求直线l斜率k的取值范围·
【经验总结】
基本规律
利用公式，可消去
【变式演练】
1.抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）设的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（2）若 ，求直线的方程．
2.在圆上任取点，过点作轴的垂线，是垂足，点满足： .
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点的轨迹交于、两点，点是点关于轴的对称点，试在轴上找一定点，使、、三点共线，并求与面积之比的取值范围.
3.已知点A，B的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为.
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E､F（E在D､F之间），，试求的取值范围.
【题型三】 点带入型：抛物线独有的代入方法
【典例分析】
已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点到的距离比点到轴的距离大1．过点作抛物线的切线，设其斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线相交于不同的两点，（异于点），若直线与直线的斜率互为相反数，证明：．
【经验总结】
基本规律
抛物线可以设点，设二次不设一次，达到消元的目的，如
【变式演练】
1.已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
2.在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.
3.已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：；
（3）当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
【题型四】 非对称型：利用韦达定理构造“和积消去”型
【典例分析】
已知椭圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为
（1）求的方程.
（2）设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答).
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点.
【经验总结】
基本规律
1.对于非对称型题，韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型。
2.和积互化公式：
3.一般情况下，多把积化和，且m多为常数，授课时注意讲清这些数据细节
【变式演练】
1.已知满圆的离心率为，，分别为椭圆C的左右顶点．
B为椭圆C的上项点，为椭圆C的左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线l为椭圆于E、F两点（点E在x轴上方），M，N分别为直线与y轴的交点，O为坐标原点，来的值．
2.已知椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．
3.已知椭圆经过点，左顶点为，右焦点为，已知点，且，，三点共线．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的直线l与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点．
【题型五】 切线
【典例分析】
定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线上一点，且与曲线在点处的切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．设点为抛物线上一点．
(1)求抛物线在点处的切线的方程（结果不含）；
(2)求抛物线在点处的法线被抛物线截得的弦长的最小值，并求此时点的坐标．
【经验总结】
基圆锥曲线的切线，主要是通过判别式来求的。但也要记清楚一些常见的切线方程结论
【变式演练】
1.已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
(1)求证：M，O，N三点共线；
(2)求△OAB面积的最大值．
2.把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.
3.如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.
(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.
【题型六】 暴力计算型：求根公式
【典例分析】
如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.
【经验总结】
基本规律
对于联立后的一元二次方程，一些数据适宜直接求根公式来暴力计算，授课时可以在此处对数据做不同的分析，增加经验
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
①求证：直线OQ的斜率为定值；
②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值．
2.已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3.已知椭圆的左､右顶点分别为 ，点该椭圆上，且该椭圆的右焦点与抛物线 的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率为 ，直线的斜率为，直线的斜率，求证：_____________.
在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明.
①直线与的交点在定直线上；
②；
③.
【题型七】 无韦达定理：点代入法
【典例分析】
已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
【经验总结】
基本规律
题型特征：
1.可能不是“一直一曲”。
2.可能所求的不具有交点的对称性，且无法转化
【变式演练】
1.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴，轴的直线，交椭圆于，两点，为线段的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）延长交椭圆于点，记与的面积分别为，，若，求直线的方程.
2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.
①求的值；
②求证：直线的交点在定直线上.
3.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点．当直线垂直于轴时，．
（1）求，的值；
（2）设直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．
①若，求的面积；
②是否存在轴上的一定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型八】 坐标运算
【典例分析】
已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.
（1）求的方程；
（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【经验总结】
基本规律
1.可能非线性
2.线性，但是无伟达坐标运算点带代入
【变式演练】
1.设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，
为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，
求坐标原点到距离的比值。
2.设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．
（1）为何值时，以为直径的圆过原点？
（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
3.已知椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2))).
(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点．若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,5)eq \(OB,\s\up6(→))，点N为线段AB的中点，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0))，求证：|NC|＋|ND|＝2eq \r(2).
【题型九】 综合题
【典例分析】
已知动直线l与椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝eq \f(\r(6),2)，其中O为坐标原点．
(1)证明：xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)和yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)均为定值．
(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值．
(3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝eq \f(\r(6),2)？若存在，判断
△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，离心率，短轴长为2，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过且斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
(3)过点做另一直线，与椭圆分别交于、两点，求的取值范围．
2.已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
3.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．
（1）当时，证明直线平分线段；
（2）已知点，则：
①若，求；
②求四边形面积的最大值．
模拟题
1.椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.
2.如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
3.已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当点在直线上移动时，求的最小值．
4.已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作动直线与椭圆交于A，两点，过点A作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点.
5.已知椭圆的离心率为，且过点，过点的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于P､Q两点，直线与x轴相交于点N，过点P作直线l，垂足为M
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形(O为坐标原点)的面积的取值范围；
（3）证明：直线过定点D，且求出点D的坐标.
6.已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，过的直线与交于两点.
（1）设和的面积分别为，若，求直线的方程；
（2）当直线绕点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数.
7.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为3eq \r(2)，其中一条渐近线的方程为x－eq \r(2)y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，eq \(PG,\s\up12(→))＝2eq \(GO,\s\up12(→))，求|eq \(GA,\s\up12(→))|2＋|eq \(GB,\s\up12(→))|2的取值范围；
(3)若点P满足|PA|＝|PB|，求证：eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OP|2)为定值．
8. 如图17所示，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：eq \f(x0x,a2)－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝eq \f(3,2)相交于点N.证明：当点P在C上移动时，eq \f(|MF|,|NF|)恒为定值，并求此定值．
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为x＝4，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过T（t，0）（t＞a）作斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的左侧），且F1M∥F2N.设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值.
10.已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.
11.已知圆经过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，点Aa,1(a>0) 为曲线上一点．
（1）求的值及曲线的方程；
（2）若为曲线上异于的两点，且．记点到直线的距离分别为求证：是定值．
12.已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且．
（1）求抛物线C的方程：
（2）若以点为圆心，为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点．
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