广东省深圳市宝安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市宝安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】A. 影子方向不同，故错误；
B. 影子未与树相连，故错误；
C. 满足影子的要求，故正确；
D. 影子方向不同，故错误．
故选：C
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A. B. C. D. 更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【答案】C
【解析】
【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
3. 为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即即可．
【详解】解：列表如下：
所以所有的等可能的结果数有4种，符合条件的结果数有1种，
所以该校同学王明和李强均从通道入校的概率是
故选A
【点睛】本题考查的是利用列表的方法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是解本题的关键．
4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．
【详解】解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，
∴点B的对应点的坐标为：或．
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6. 如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x米，则下列所列方程正确的是（ ）
A. （18﹣2x）（6﹣2x）＝60B. （18﹣3x）（6﹣x）＝60
C. （18﹣2x）（6﹣x）＝60D. （18﹣3x）（6﹣2x）＝60
【答案】D
【解析】
【分析】利用平移的性质，进而表示出长与宽，根据面积列方程得出答案．
【详解】解：设人行通道的宽度为x米，
根据题意可得：（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出长与宽是解题关键．
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形
D. 一条线段上只有一个黄金分割点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题与定理，解的关键是掌握教材上相关的概念与定理．
【详解】解：A．两边成比例及夹角相等的两个三角形相似，故A错误，不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误，不符合题意；
C．顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故C正确，符合题意；
D．一条线段上只有两个黄金分割点，故D错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（ ）

A. 80°B. 70°C. 75°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】由正方形的性质可得，，由“”可证，可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
9. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设DE=x,由得出AD=2x，AE=3x，利用平行四边形的性质知AE∥BC，BC=AD=2x，据此得出，利用相似三角形的性质得即可得出答案．
详解】解:设DE=x，由知AD=2x,
则AE=3x,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//BC，BC=AD=2x，
∴
∴
故选: A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形和相似三角形的判定与性质．
10. 如图，在矩形中，，，点E，F分别是，上的点，，垂足为点O，连接，，则的最小值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】分别以、为边作平行四边形，连接，过点F作交于点G，利用勾股定理求得，根据等角的余角相等可得，从而证明，可得，求得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，利用勾股定理求得，再根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：分别以、为边作平行四边形，连接，过点F作交于点G，
∵，，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴的最小值为10．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系及余角的性质，添加辅助线构造直角三角形求得的值是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 已知，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可．
【详解】由，得，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键．
12. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有______个．
【答案】15
【解析】
【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
13. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把方程的根代入方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为1，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．
14. 如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB、AC即可．
【详解】解：
由题意得：DE∥MF,所以△BDE∽△BMF,所以 ，即 ,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.
故答案为16.
【点睛】本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接，将沿翻折，使点B落在点处，若平行于坐标轴时，则此时的时间t为__________秒．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况进行讨论：①当轴时，如图1；②当轴时，如图2；③当轴时，如图3；分别画出图形根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质即可求出的值．
【详解】解：当时，，
，
同理，；
；
点C是线段的中点，
；
①当轴时，如图1所示；
轴，
，
沿翻折，使点B落在点处，
，
，
，
；
②当轴时，如图2所示；
过点作轴交于，设与交于点，
轴，
，
翻折，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
；
③当轴时，辅助线同②，如图3所示；
轴，
，
又翻折，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述：的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】此题一次函数与几何图形的综合题，主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质、相似三角形的判定与性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．
三．解答题（共55分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）提公因式法因式分解解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查因式分解法以及公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及熟记求根公式．
17. 先化简，然后在0，1，2中选一个你喜欢的值，代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】利用分式运算法则化简式子，再将x的值代入计算即可，注意分式有意义的条件．
【详解】解：
，
∵，，
将代入化简的式子可得：原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，以及分式有意义的条件，代入x值的时候，注意且．
18. 为扎实推进“多彩校园”活动，我市某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 ______ 人，其中参加篮球社团的有 ________ 人；
（2）若该校有3200人，请估算该校参加舞蹈社团的学生人数；
（3）该校某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，30
（2）800 （3）
【解析】
【分析】（1）从统计表和扇形统计图可知，样本中选择“足球”社团的有80人，占调查人数的，根据频率即可求出调查总人数，进而求出参加篮球社团的人数；
（2）求出样本中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，即可估计总体中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，根据频率进行计算即可；
（3）用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：调查总人数：（人），
参加“篮球”社团的人数为：（人），
故答案为：200，30；
【小问2详解】
解：（人），
答：该校3200名学生中，参加舞蹈社团的学生大约有800人；
【小问3详解】
解：从3男2女共5名学生中随机抽取2名，所有等可能出现的结果如下：
共有20种等可能出现的结果，其中1男1女的共有12种，
所以从3男2女中任意抽取2名同学，其中是一男一女的概率的概率为：
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图，列表法或树状图法，掌握频率以及用树状图法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
19. 如图，在中，以A为圆心，为半径画弧交于点F，再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，连接，相交于点O．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连接交于点Q，若四边形的周长为40，，求的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到是的角平分线且，即可得到，由平行四边形得到，即可得到，可得，即可得到证明；
（2）先求得菱形边长为，证明，利用相似三角形的性质，列式计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵以A为圆心，为半径画弧交于点F，再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，且周长为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
20. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为
（2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【解析】
【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
21. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
【答案】（1）见解析 （2）路灯的高为9m，影长为步
（3）9
【解析】
【分析】(1)根据中心投影的知识画出图即可．
(2)利用相似三角形的判定和性质计算即可．
(3)利用勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质计算即可．
【小问1详解】
路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
【小问3详解】
如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
22. 如图（1），中，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，连接
（1）求证：与的数量关系及位置关系．
（2）如图（2），中，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，求的度数．
（3）如图（3），中，，点M是中点．点D是上一点且，连接，以为一边作，使，，连接，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，即可得与的数量关系，然后根据全等三角形的性质证明即可得与的位置关系；
（2）过点A作交于点G，过点A作交延长线于点F，
然后把问题转化成与（1）类似的问题，只要证明即可求出答案；
（3）过A点作交于T点，过A点作交的延长线于点N，
，根据已知先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点F，
，
∴，，
，
∴，，
∴，
，
，
，
，
同（1）中原理，可得，
即可得到，
；
【小问3详解】
解：过A点作交于T点，过A点作交的延长线于点N，
，
∴，，
，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
，M是的中点，
，
，
，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的边长关系，由平行线判断成比例的线段，平行线的性质等知识，（1）中为“手拉手”模型，想到全等三角形的判定，再根据（1）中的模型作出正确的辅助线构造相似的模型是解题的关键．A
B
A
A，A
A，B
B
B，A
B，B
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
40
80