四川省南充市仪陇县城南、城北片区联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份四川省南充市仪陇县城南、城北片区联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（共40分）
1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据形如得整式方程判定即可．
【详解】A. 不是一元二次方程，不符合题意；
B. 不是一元二次方程，不符合题意；
C. 不是一元二次方程，不符合题意；
D. 是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2. 如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】把方程的根代入方程，即可求出k的值．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根为3，
，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解一元一次方程，熟知一元二次方程根的定义是解题关键．
3. 用配方法将方程进行配方得（ ）
A. B. C. D. 更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【答案】A
【解析】
【分析】依题意，按照完全平方公式，即可求解；
【详解】由题知，依据完全平方公式，对配方为：
故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，关键在熟练使用完全平方公式；
4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为，即．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5. 已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】通过解一元二次方程可得出m，n的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数的图象经过第一、二、三象限，此题得解．
【详解】，
，
解得或3，
∵m，n是方程的两个根，且，
∴，，
∴一次函数，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴一次函数与y轴交于正半轴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴一次函数的图象不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，牢记“，⇔的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
6. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 当时，函数的最大值是
C. 对称轴是直线D. 抛物线与x轴有两个交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；
∵，
∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
7. 如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）

A. b恒大于0B. a，b同号C. a，b异号D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴，
∴对称轴为直线，
当时，则，
当时，则，
∴a，b异号，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
8. 已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，
①若是方程甲的解，则也是方程乙的解；
②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
④若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么可以取或．
以上说法中正确的序号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若是方程甲的解，则可得出，根据判别式的意义可对①进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对②进行判断；
由方程甲有两个不相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对③进行判断；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，则解方程组求得，可对④进行判断．
【详解】解：若是方程甲的解，所以，即，
则方程乙：变为，
解得，
所以也是方程乙的解，故正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙有两相等实数解，故正确；
若方程甲有两个不相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙没有实数解，故不正确；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
得，
，
，
解得，故不正确；
综上分析可知，正确的是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程解的定义．
9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴正好是抛物线的顶点坐标，
∴是二次函数的最大值，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．
10. 如图，二次函数图象经点，且与轴交点横坐标分别为，其中，，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象的性质，对称轴（对称性），图象与坐标轴的交点的特点进行计算求解．
【详解】解：二次函数图象开口向下，
∴，，
∵二次函数图象经点，
∴当时，，
∵二次函数与轴交点横坐标分别为，，，
∴，则，即二次函数图象的对称轴在轴的左侧，即，
∴，
∴结论①，
∵，，，
∴，故结论①正确；
结论②，
∴当时，，故结论②正确；
结论③，
∵二次函数图象的对称轴为，则，
∴，故结论③正确；
结论④，
∵抛物线的顶点纵坐标大于，即，
∵，
∴，故结论④错误；
结论⑤，
当时，，
∴，
由图可知，，
∴，
∵,
∴，故结论⑤正确；
综上所述，正确的有①②③⑤，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（共24分）
11. 二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______．
【答案】 ①. ②. ③. 5
【解析】
【分析】根据二次函数的定义判断即可。
【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是，
故答案为：①，② ，③ ，
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
12. 已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
【答案】
【解析】
【详解】由较小的数为x可知较大的数为x+3，
故它们的平方和为x2+(x+3)2
再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，
故答案为x2+(x+3)2=65.
13. 一个直角三角形的两直角边分别是方程的两个根，则这个直角三角形斜边上的高线长为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程得到三角形两直角边为3、4，再利用勾股定理计算出三角形的斜边为5，然后利用面积法求这个直角三角形斜边上的高的长度．
【详解】解：，
所以，，
即三角形两直角边为3、4，
三角形的斜边，
所以这个直角三角形斜边上的高的长度．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
14. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2036
【解析】
【分析】由m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根可得：m2=2m+1，n2=2n+1，m+n=2，代入所求式子即可得到答案．
【详解】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，m+n=2，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴2m2+4n2-4n+2022
=2（2m+1）+4（2n+1）-4n+2022
=4m+2+8n+4-4n+2022
=4（m+n）+2028
=4×2+2028
=2036，
故答案为：2036．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
15. 把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为_____
【答案】
【解析】
【分析】先求出原抛物线的顶点，然后求出绕原点旋转180°后的点，根据旋转抛物线开口大小不变，值是开口方向改变即可得解
【详解】二次函数的图像的顶点为，绕原点旋转180°后顶点坐标变为，旋转过程中二次函数形状保持不变，开口方向相反，所以旋转后的图象解析式为．
【点睛】本题考查二次函数旋转，掌握二次函数旋转的特征是解题关键
16. 已知，平面直角坐标系中，直线与抛物线的图象如图，点P是上的一个动点，则点P到直线的最短距离为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设过点P平行直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小，如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E，求出的长即可解决问题．
【详解】解：设过点P平行直线的解析式为，
当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小，
由，消去y得到：，
当时，，
∴，
∴直线的解析式为，
如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E，则，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上的点的特征，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（共86分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
∴或
解得，；
【小问2详解】
即
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到 ，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答；
（2）先利用求根公式解方程得到，，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：关于x的一元二次方程，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，．
∵该方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的两边，
∵，
∴，
整理得：，
解得或（舍去），
∴m的值为．
【点睛】本题考查了根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质；根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
19. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆700人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，设进馆人次的月平均增长率为，根据一元二次方程的性质列式并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：，
化简得：，
，
，（舍，
进馆人次的月平均增长率为；
【小问2详解】
进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：（人次），
，
校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
20. 某农场计划利用一片空地建一个矩形场地，其中一面靠墙，这堵墙的长度为16米，已知现有的篱笆长为40米，设与墙相连的矩形边长为x米．

（1）求这个矩形场地面积S（）与矩形边长为x米的函数关系式并求出矩形长为x的取值范围．
（2）能否围成一个面积为的矩形场地?
（3）求围成的矩形场地的最大面积?
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
（3）192平方米
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积公式即可解答；
（2）利用长方形的面积列方程解答即可；
（3）设长方形的面积为，利用面积计算方法列出二次函数，用配方法求最大值解答问题．
【小问1详解】
解：如图，矩形

由题意可知米，则的长为米，
矩形的面积，
，
自变量的取值范围为：；
【小问2详解】
不能，
由题意知，当时，，
，
原方程无解
故不能围成一个面积为的矩形场地；
【小问3详解】
，
，
抛物线的开口向下，
随的增大而减小，
，
当时，最大值是192，
答：围成的矩形场地的最大面积是192平方米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为____；对称轴为_____．
（2）若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______．
（3）请画出该函数图象．
【答案】21. ，轴
22.
23. 图像见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可；
（3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可．
【小问1详解】
解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得
，
解得：，
二次函数的解析式为，
对称轴为轴，
故答案：，轴；
【小问2详解】
点，
当时，，
点
点的对称点的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
如图
【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
22. 若规定符号的意义：．
（1）计算：_________．
（2）若，，则的值为________．
【答案】（1）5 （2）8或15
【解析】
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解．
【小问1详解】
根据题中的新定义得，
；
【小问2详解】
∵，，
∴，
得，
∴或，
当时，，
当时．
∴的值为8或15．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23. 函数（a，c为常数，且）在自变量x的值满足时，其对应的函数值y满足．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）当 时，求y的值．
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质得到时，y有最大值，根据题意，即可得到顶点坐标；
（2）利于待定系数法求得抛物线解析式为，然后计算自变量为1所对应的函数值即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴时，y有最大值，
∵时，其对应的函数值y满足．
∴时，； 时，
即抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问2详解】
把，代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
24. 如图，在矩形中，，，，两点分别从，两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点停止，问几秒后，为等腰三角形？

【答案】满足条件的值为或或．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：当点在上，点在上时；点在上，点在上时；点、都在、上时；当点在上，在上时，分别画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．
【详解】解：根据为等腰三角形，分以下四种情况：
如图，

当点在上，点在上时，，，，
由得，
解得；
如图，点在上，点在上时，，，，，

中，，
由得，
整理得：，
解得，（舍去）；
如图，点、都在、上时，

若点在点的右边时，则，，，
∴，
此时，
由得，
整理得，
∵，
∴该方程无解；
若点在点的左边时，则，，，
∴，
此时，
由得，
解得，不符合题意，舍去；
如图，当点在上，在上时，，，，
过作于，则四边形是矩形，

由得，则，
解得，
综上，满足条件的值为或或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．
25. 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+x+2；(2) P（4，）或（2，﹣）或（﹣2，）；（3）M1（，）， M2（，），M3（，），S=.
【解析】
【分析】（1）由OC与OB长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
【详解】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，
联立解得：M2（，），M3（，），
此时S= ．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．