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河北省沧州市运东四校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
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这是一份河北省沧州市运东四校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知随机变量，若，，则，在的展开式中，项的系数为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，从集合A中选一个元素作为点P的横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有（ ）
A．8个B．10个C．12个D．16个
2．根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
3．已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（ ）
A．B．C．D．
4．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中不放回地依次取2个数，记“第一次取到的是偶数”
为事件A，“第二次取到的是奇数”为事件B，则（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
A．6种B．12种C．15种D．30种
6．已知随机变量，若，，则（ ）
A．15B．C．D．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．252B．210C．126D．120
8．将字母a，a，b，b，c，c放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，…，，则下列说法正确的是（ ）
A．若相关系数，则两个变量负相关
B．相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D．决定系数越小，残差平方越小，模型的拟合效果越好
10．随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X的取值为1，2，3B．
C．D．
11．甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i（，2）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．方程（且）的解为______．
13．某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为______．（若，则
14．“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知二项式（且a为常数）的展开式中第7项是常数．
（1）求n的值；
（2）若该二项式展开式中各项系数之和为1024，求展开式中的系数．
16．（本小题满分15分）
晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单．
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目．
17．（本小题满分15分）
某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：
男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
（1）由以上数据完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生的就餐满意度与性别是否有关联？
（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
18．（本小题满分17分）
2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为80cm时，步频约是多少？
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考数据：，．
参考公式：，．
19．（本小题满分17分）
我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型．概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件A发生的概率为，将试验进行至事件A发生r次为止，用X表示试验次数，则X服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作．为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策．政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为．
（1）求；
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值．
2023~2024学年度第二学期高二年级期中考试试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 因为点P在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合B中的负数，根据分步乘法计数原理，横坐标有4种选法，纵坐标有3种选法，则满足条件的点P共有个．故选C．
2．A 由已知，得，，又经过点，所以，解得．故选A．
3．B 因为，所以，所以．故选B．
4．C 在事件A发生后，只有9个数字，其中有5个奇数，所以．故选C．
5．B 一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法．故选B．
6．A 因为，，所以，即，所以，所以．故选A．
7．B 的展开式的通项为，，1，2，…，n，则的展开式中项的系数为，所以的展开式中项的系数为．故选B．
8．D ξ的所有可能取值为0，1，3，，，，所以ξ的均值为．故选D．
9．AC 对于A，因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确；对于B，根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误；对于C，决定系数R²越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误．故选AC．
10．CD 由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；则，
，故B错误，C正确；又，，所以．故D正确．故选CD．
11．ABC X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当时，则，，，
所以，，故A正确，B正确；
当时，，，，
，，
所以，，故C正确，D错误．故选ABC．
12．2或4 由题意，可知，，所以或．
13．2 由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于，由得，，由题意可知，解得，故σ的最大值为2．
14． 因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为，所以．
15．解：（1）二项式的展开式中第7项为，
由题意得，解得．
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）．
该二项式展开式通项为（），
令，解得，
故展开式中的系数为．
16．解：（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：先排第1个节目，有种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，最后余下的节目随便排，有种排法，由分步计数原理得共有种排法．
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法．
（3）前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有种排法，故共有种排法．
17．解：（1）由题意得列联表为：
零假设为：学生对就餐满意与性别无关联，
，
根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，
即学生对就餐满意度与性别无关联．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，则（，1，2，3）．
即，，
，，
所以X的分布列为
则．
18．解：（1），，
，，
所以回归直线方程为，
将代入得，解得，所以当步长为80cm时，步频约是0.27秒．
（2）根据（1）得到，；
，；
，；
，；
，，
所以，即步长残差和为0．
对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：
．
19．解：（1）．
（2）因为（），
所以抽取的家庭数X不超过n的概率为，
即，
，
两式相减，得，
所以．
由，得，
令，则（），
所以，所以数列是递减数列，
因为，，
所以整数n的最小值是7．评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
步频x（单位：s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长y（单位：cm）
90
95
99
103
117
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
X
0
1
2
3
P
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，从集合A中选一个元素作为点P的横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有（ ）
A．8个B．10个C．12个D．16个
2．根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
3．已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（ ）
A．B．C．D．
4．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中不放回地依次取2个数，记“第一次取到的是偶数”
为事件A，“第二次取到的是奇数”为事件B，则（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
A．6种B．12种C．15种D．30种
6．已知随机变量，若，，则（ ）
A．15B．C．D．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．252B．210C．126D．120
8．将字母a，a，b，b，c，c放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，…，，则下列说法正确的是（ ）
A．若相关系数，则两个变量负相关
B．相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D．决定系数越小，残差平方越小，模型的拟合效果越好
10．随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X的取值为1，2，3B．
C．D．
11．甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i（，2）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．方程（且）的解为______．
13．某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为______．（若，则
14．“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知二项式（且a为常数）的展开式中第7项是常数．
（1）求n的值；
（2）若该二项式展开式中各项系数之和为1024，求展开式中的系数．
16．（本小题满分15分）
晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单．
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目．
17．（本小题满分15分）
某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：
男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
（1）由以上数据完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生的就餐满意度与性别是否有关联？
（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
18．（本小题满分17分）
2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为80cm时，步频约是多少？
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考数据：，．
参考公式：，．
19．（本小题满分17分）
我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型．概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件A发生的概率为，将试验进行至事件A发生r次为止，用X表示试验次数，则X服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作．为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策．政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为．
（1）求；
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值．
2023~2024学年度第二学期高二年级期中考试试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 因为点P在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合B中的负数，根据分步乘法计数原理，横坐标有4种选法，纵坐标有3种选法，则满足条件的点P共有个．故选C．
2．A 由已知，得，，又经过点，所以，解得．故选A．
3．B 因为，所以，所以．故选B．
4．C 在事件A发生后，只有9个数字，其中有5个奇数，所以．故选C．
5．B 一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法．故选B．
6．A 因为，，所以，即，所以，所以．故选A．
7．B 的展开式的通项为，，1，2，…，n，则的展开式中项的系数为，所以的展开式中项的系数为．故选B．
8．D ξ的所有可能取值为0，1，3，，，，所以ξ的均值为．故选D．
9．AC 对于A，因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确；对于B，根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误；对于C，决定系数R²越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误．故选AC．
10．CD 由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；则，
，故B错误，C正确；又，，所以．故D正确．故选CD．
11．ABC X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当时，则，，，
所以，，故A正确，B正确；
当时，，，，
，，
所以，，故C正确，D错误．故选ABC．
12．2或4 由题意，可知，，所以或．
13．2 由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于，由得，，由题意可知，解得，故σ的最大值为2．
14． 因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为，所以．
15．解：（1）二项式的展开式中第7项为，
由题意得，解得．
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）．
该二项式展开式通项为（），
令，解得，
故展开式中的系数为．
16．解：（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：先排第1个节目，有种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，最后余下的节目随便排，有种排法，由分步计数原理得共有种排法．
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法．
（3）前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有种排法，故共有种排法．
17．解：（1）由题意得列联表为：
零假设为：学生对就餐满意与性别无关联，
，
根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，
即学生对就餐满意度与性别无关联．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，则（，1，2，3）．
即，，
，，
所以X的分布列为
则．
18．解：（1），，
，，
所以回归直线方程为，
将代入得，解得，所以当步长为80cm时，步频约是0.27秒．
（2）根据（1）得到，；
，；
，；
，；
，，
所以，即步长残差和为0．
对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：
．
19．解：（1）．
（2）因为（），
所以抽取的家庭数X不超过n的概率为，
即，
，
两式相减，得，
所以．
由，得，
令，则（），
所以，所以数列是递减数列，
因为，，
所以整数n的最小值是7．评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
步频x（单位：s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长y（单位：cm）
90
95
99
103
117
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
X
0
1
2
3
P
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