2023-2024学年浙江省慈溪中学A9协作体高二上学期期中联考试题数学

这是一份2023-2024学年浙江省慈溪中学A9协作体高二上学期期中联考试题数学，共12页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，正方体中,二面角的余弦值为，已知点为椭圆等内容，欢迎下载使用。

高二数学试题
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离是
A．6B．7C．8D．9
2．已知向量，，且，则实数的值是
A．1B．2C．3D．4
3．若直线的一个方向向量，则的倾斜角为
A．B．C．D．
4．已知圆与圆，则两圆的公切线条数为
A．1B．2C．3D．4
5．若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为
A．B．
C．D．
6．正方体中,二面角的余弦值为
A． B．
C． D．
7．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是
A． B． C． D．
8．如图，一束平行光线与地平面的夹角为，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是
A．B． C．D．
10．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有
A．
B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为
D．向量在上的投影向量为
11．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，
底面，点、分别为、的中点，若线段上存在点，使得，则线段的长度可能值为
A．3 B．4
C．5 D．6
12．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为
A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C．若上任意一点都满足，则
D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
非选择题部分
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知椭圆的一个焦点是，则的值为 ▲ .
14．已知实数满足，则的最小值为 ▲ .
15．已知点分别为圆与圆上的动点，点为
轴上的动点，则的最小值为 ▲ .
16．已知正方体的棱长为，分别为的中点，点在正方体表面上运动，若直线平面，则点的轨迹长度为 ▲ .
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知直线和直线的交点为
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若点到直线距离为，求的值.
18．（12分）如图，直三棱柱，，，点是线段的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
19．（12分）已知圆：.
（1）若直线过定点且与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于两点，求的最小值.
20．（12分）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于,两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.
21．（12分）已知空间几何体，底面为菱形，，，，，，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（12分）已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，，为椭圆的左右顶点，直线与椭圆交于，两点.
（1）若，求；
（2）设直线和直线的斜率分别为，，且直线与线段交于点，求的取值范围. 浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考
高二数学参考答案
一、选择题
12．参考答案：
由离心率且得：，的蒙日圆方程为：，
对于选项A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离都为，到椭圆上任意一点的距离最大值为，所以上任意一点与的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，选项A错误；
对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线与蒙日圆：相切，则圆心到直线的距离为，所以，则的方程为：，选项B正确；
对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点应在蒙日圆外，所以直线与蒙日圆：相离，则圆心到直线的距离为，所以，选项C错误；
对于选项D，椭圆的方程为：，蒙日圆方程为：，设，则，设，，则，
，将代入方程中，则，，
所以直线的方程为，
将直线的方程与椭圆的方程联立：，
得：，
所以，，所以，
又因为原点到的距离为，
所以，设，
则，选项D正确.
二、填空题
13．1 14． 15．7 16．
三、解答题
17．【答案】
（1）联立方程组，解得，所以点
又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为，（3分）
则所求的直线方程为：，即 （5分）
（2）点到的距离为
解方程可得. （10分）
18．【答案】
（2）直三棱柱中，平面，
平面，，
又等腰中，点为得中点，
，（9分）
又，平面，
又平面，平面平面. （6分）
（1）法一：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，
轴建立空间直角坐标系.
，，，
， （9分）
设异面直线与所成角为，
.（12分）
法二：取中点，连结，，易知，
所以即为异面直线与所成角，设为（3分）
由题意可知，，，
所以，由余弦定理可知.（12分）
19．【答案】
（1）已知圆心，半径，
当直线斜率存在时，设直，即，
圆心到直线的距离为，解方程可得，
此时直线方程为，整理得.（3分）
当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.
所以直线的方程为和。（5分）
（2）直线的方程可化为点斜式，所以l过定点.
又点在圆C内，当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小.
因为，所以l的斜率，
所以l的方程为，即，（8分）
因为，，
此时
所以当时，的最小值为. （12分）
20．【答案】
（1）可得， （2分）
椭圆C的方程为： （4分）
（2）设点，，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得，
则，，，得（7分）
由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标
，所以直线与轴交于定点（12分）
21．【答案】
（1）证明：平面平面，平面平面
，，平面，
又平面，.（4分）
（2）平面，
与平面所成角为，又，
所以为正三角形，故. （6分）
以为坐标原点，分别以为，，轴建立空间直角坐标系.
，，，，，
，故可得点坐标为
所以，
设平面得法向量为，又，，，可得，（10分）
设直线与平面所成角为， （12分）
22．【答案】
（1）设，，点，联立直线与椭圆方程：
，消去，得，
，
故弦长，
（4分）
（2）联立直线与椭圆方程：，消去，得，根据韦达定理，
，，
因为，（6分）
将，代入，得，
因为，所以，（10分）
因为点在线段上，所以，即，代入，
得（12分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
A
C
C
A
D
B
D
ACD
BD
BCD
BD