2023-2024学年浙江省杭州第四中学六县九校高二上学期期中联考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州第四中学六县九校高二上学期期中联考试题数学含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023学年第一学期六县九校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1 ．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2 ．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3 ．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4 ．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1)，A(1,0,−1)，B(0,−1,1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A. 1 B. C. D.
3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知两条直线l1:ax+y−1=0和l2:x+ay+1=0(a∈R)，下列不正确的是( )
A. “a=1”是“l1//l2”的充要条件B. 当l1//l2时，两条直线间的距离为 2
C. 当l2斜率存在时，两条直线不可能垂直D. 直线l2横截距为1
5.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知F 1，F 2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的范围是（ ）
A． B．C．D．
8. 已知，，则的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 2 D.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
10．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有( )
A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C.与直线垂直 D. 与直线平行
11.下列说法正确的是( )
A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625
B. 若A，B是互斥事件，则P(AB)=P(A)P(B)
C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是34
12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1).把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A. QC=AD+2AB+2AA1 B. 若M为线段CQ上的一个动点，则BM⋅BD的最大值为2
C. 点P到直线CQ的距离是 173 D. 异面直线CQ与AD1所成角的正切值为 17
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数 .
14.已知A(1,1)，B(2,3)及x轴上的动点P，则|PA|+|PB|的最小值为 .
15.已知圆C1：x2+y2−4x+2y=0与圆C2：x2+y2−2y−4=0相交于A、B两点，则圆C：(x+3)2+(y−3)2=1上的动点P到直线AB距离的最大值为 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
已知在△ABC中，A(0,1)，B(4,−1)，C(2,1)．
(Ⅰ)求边AB的垂直平分线的方程；(Ⅱ)求△ABC的外接圆的方程．
19. 已知直线过点P，
（1）求在坐标轴上截距相等的直线的方程。
（2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程。
20.已知x2+y2−4x+2my+2m2−2m+1=0m∈R表示圆C的方程．
(1)求实数m的取值范围； (2)当圆C的面积最大时，求过点A4,−4的圆的切线方程．
(3)P为圆上任意一点，已知B6,0，在(2)的条件下，求PA2+PB2的最小值.
21.如图在四棱锥A−BCDE中，CD//EB，CD=1,EB=2，CB⊥BE，AE=AB=BC= 2，AD= 3，O是AE的中点．
(Ⅰ)求证：DO//平面ABC；
(Ⅱ)在棱BE上是否存在点M，使得半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为453 53，若存在，求EM:MB，若不存在，说明理由.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，坐标原点到直线的距离为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知定点，若直线与椭圆相交于两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2023学年第一学期六县九校联盟期中联考
高二年级数学学科 参考答案
命题：文昌中学 叶洪清 联系电话 18069876909
审稿：萧山十中 陈元江 联系电话 13968014050
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 61 14. 15. 7 22+1 16.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10 分）
（1）因为，
所以.………………………………………………………2分
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为.……………6分
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为.……………………………………………10分
18.【答案】解：(Ⅰ)设AB的中点坐标为：E(2,0)，
由于A(0,1)，B(4,−1)，
所以kAB=−12，
所以AB的垂直平分线的方程为y=2(x−2)，
整理得：2x−y−4=0．
(Ⅱ)由于A(0,1)，C(2,1)，
所以AC的垂直平分线的方程为x=1．
所以2x−y−4=0 x=1 ，
解得x=1 y=−2 ，
即外接圆的圆心为(1,−2)，
圆的半径为r= 12+(−2−1)2= 10．
所以圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=10．
【解析】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
(Ⅰ)直接利用点的坐标求出直线的斜率，进一步求出直线的方程；
(Ⅱ)首先求出中垂线的交点，即求出外接圆圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．
（本题 12 分）(1)当截距为零时，直线方程为
当截距不为零时，令方程为，代入点，可得，此时直线方程为分
设直线的方程为，由题意可得
令，则，令，则，即，从而当且仅当，即时取到12，所以直线方程为分
20.【答案】解：(1)由题可知：x−22+y+m2=3+2m−m2，
该方程表示圆，则3+2m−m2>0，
即m2−2m−3<0，解得−1则实数m的取值范围为−1,3；
(2)令y=3+2m−m2=−m−12+4，m∈−1,3 ，
开口向下，对称轴为m=1∈−1,3，
当m=1时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为x−22+y+12=4，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4=kx−4，即kx−y−4k−4=0．
圆心2,−1到切线的距离等于半径长，
即2k+1−4k−4 1+k2=2，解得k=−512，
即切线方程为y+4=−512x−4，即5x+12y+28=0；
综上所述，所求切线方程为x=4和5x+12y+28=0；
(3)设Px,y，
则PA2+PB2=x−42+y+42+x−62+y2=2x−52+y+22+10，
设M5,−2，则x−52+y+22表示圆C上的点P与点M的距离的平方，
由(2)知C2,−1，
又CM= 5−22+−2+12= 10>2，则点M在圆C外面，
所以PMmin=CM−2= 10−2，
则PA2+PB2min=2 10−22+10=28−8 10+10=38−8 10．
则PA2+PB2的最小值为38−8 10．

【解析】本题考查圆的方程，圆的切线以及点到圆上的点的最值问题．
(1)根据方程表示圆，列出不等式，从而可得答案；
(2)求出圆C的面积取得最大值，m的值，即半径最大时，m的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；
(3)设Px,y，则PA2+PB2=2x−52+y+22+10，设M5,−2，则x−52+y+22表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出PM的最小值，即可得解．
21.【答案】解：(Ⅰ)取AB中点F，连接CF、OF，
∵O，F分别为AE，AB的中点，∴OF//BE，且OF=12BE，
又∵CD//EB，CD=12EB，∴OF//CD，且OF=CD，
∴四边形OFCD为平行四边形，
∴DO//CF，而CF⊂平面ABC，DO⧸⊂平面ABC，
∴DO//平面 ABC
(Ⅱ)取EB中点G，连接AG、DG，
∵AE=AB= 2,BE=2，∴▵ABE为等腰直角三角形，∴BE⊥AG，AG=1，
又∵AD= 3,DG=BC= 2，∴AG2+DG2=DA2，∴DG⊥AG，
∵DG//BC，CB⊥BE∴BE⊥DG，DG⊥AG
BE∩AG=G，BE、AG⊂平面ABE，
∴DG⊥平面ABE，而BE⊂平面ABE，故DG⊥BE，
以G为原点，以GB,GA,GD方向分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
G(0,0,0)，A(0,1,0)，D(0,0, 2)，E(−1,0,0)，O(−12,12,0)，AD=(0,−1, 2) ，DC=(1,0,0)
OD=(12,−12, 2)
故平面ACD的一个法向量为n=(0, 2,1)，
∴d=|DO⋅n|n||= 66.
故点O到平面ACD的距离为 66.
(Ⅲ)设点Ma,0,0在棱BE上，AD=(0,−1, 2)，AM=(a,−1,0)
设面ADM的一个法向量为n1=(x,y,z)，
n⋅AD=−y+ 2z=0, n⋅AM=ax−y=0,
∴取y=2，面ADM的一个法向量为n1=(2a,2, 2)
同理：面ABC的一个法向量为n2=(1,1,0)
令半平面ADM与半平面ABC所成二面角的平面角为θ，θ为锐角，
∴cs θ=cs=2a+2 2 4a2+64 5353.
21a2+106a+5=0即a=−15，a=−21(舍)
此时EM:MB=2:3
故当EM:MB=2:3时，半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为453 53
22 .(本小题12分)解(1) 已知直线，则由题意可得
且，解得，所以椭圆方程为. …………………5分
假设存在实数，使得以CD为直径的圆过定点E. 联立与椭圆方程，可得. 设，则
又，，要使以CD为直径的圆过点,当且仅当,即，
,
代入并整理可得，成立，
综上可得存在.,使得以CD为直径的圆过定点E.……………………………………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
B
D
B
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
AC
AC
BCD