专题9 数列基本运算-解析版

这是一份专题9 数列基本运算-解析版，共17页。试卷主要包含了条件变形与目标结构对接， 数列项之积累乘运算之技， 数列求和裂顶运算之技， 数列求和错位相荿之技，多角度去寻找代数结构， 数列主干条件结构变形之技等内容，欢迎下载使用。
一、条件变形与目标结构对接
问题 1 : 数列 an 满足 a1=32,an+1=an2-an+1,n∈N*, 则 m=1a1+1a2+⋯+1a2019 的整数部 分是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】卡壳点: 面对 an+1=an2-an+1 的结构, 变形无思路.
应对策略: 先倒过来, 再裂项.
问题解答: 将 an+1-1=anan-1 “倒过来”, 得 1an+1-1=1anan-1,
再裂项得 1an+1-1=1an-1-1an,
再移项本质结构就出来了: 1an=1an-1-1an+1-1.
这样所求目标的求和就可以转化了:
1a1=1a1-1-1a2-1,
1a2=1a2-1-1a3-1,
…
1an=1an-1-1an+1-1,
累加可得 1a1+1a2+⋯+1an=1a1-1-1an+1-1.
令 n=2019, 则 m=1a1+1a2+⋯+1a2019=2-1a2020-1.
又 a1=32,a2=74,a3=3716,⋯ 易知 an 单调递增, 且 1a2020-1∈(0,1),
所以 m 的整数部分为 1 .
【反思】 在代数式变形过程中“倒过来” “再裂项” “再移项” 是代数变形的智慧点.
智慧思维导图：
二、 数列项之积累乘运算之技
问题 2: 已知数列 an 满足 a1=a∈0,1, 且 0an+1.
(II) 设 Tn 为数列 bn 的前 n 项和, 求证: Tn0, 所以 0