专题1含参二次函数 - 解析版

这是一份专题1含参二次函数 - 解析版，共16页。学案主要包含了二次函数不同表达式间的链接，含绝对值的二次函数结构等价转化等内容，欢迎下载使用。

一、二次函数不同表达式间的链接
问题已知,函数在上与轴有两个不同的交点,求的取值范围.
【解析】卡壳点:不会将二次函数系数与零点沟通.
应对策略:参数与零点间的联系通过二次函数不同表达式间的联系来建立.
问题解答:设的两个零点分别为,且,则.
于是,
从而.
由知,等号不成立,所以的取值范围是.
【反思】二次函数至少有三种表达形式,即一般式、零点式和对称式,对这三种形式之间的联系不熟悉是产生解题痛点的原因,如何将目标参数与函数零点结合起来?“桥梁”就是二次函数的零点式.在确定最值时,零点式的结构给我们启示,借助基本不等式实现“元”的消失,从而获得参数的范围.
二、含绝对值的二次函数结构等价转化
问题2:已知函数在上有两个不同的零点,则实数的取值范围是
【解析】卡壳点:不会将复杂函数的零点转化为两个函数图象交点思考.
应对策略:既含参数又有绝对值的二次函数,可将其复杂结构在其本质结构(即函数零点、方程实根、图象交点)间相互转化.
1问题解答:在上有两个不同的零点,可转化为方程在上有两个不同的实根,再转化为两函数与的图象有两个不同交点.
而
画出与的图象,如图1.显然当时,开口向下的“V”形线才能与拋物线相交,“V”形线开口的大小决定它们交点的个数.
根据图象可知,只需考虑方程组和的解的情况,考虑图象相切的情形,则联立方程组所得方程和a)都有唯一解.
由得,
由得.
所以当时,与的图象才会有两个交点.
【反思】面对复杂的代数式结构,冷静地分解代数式,尝试寻找代数式的主体结构(如二次函数与一次函数图象)间的关系,通过数形结合的方法解决.
三、二次复台函数不动点转化之桥一一零点表达
问题已知,函数,它的不动点为,且,若四次方程的另两个根为,且,试判断这四个根的大小.
【解析】卡壳点:不会将二次复合函数与函数零点建立关系.
应对策略:理解函数不动点概念,将复合结构用零点式表达,并进行化简与转化.
问题解答:由题意得,即.
于是
.
所以为方程的两个根.
由,得.
如图2,因为二次函数的图象开口向上,所以方程在区间,和上各有一个根.
又,得.所以.
【反思】函数的不动点即为方程的两个实根.如何比较这四个根的大小?思路隐藏得比较深,但二次函数的零点表达式又帮助我们建立起一种联系,特别是复合函数的简单化,使我们再一次认识此函数的本来面目.二次复合函数的根的分布情况,最终用零点定理确定.
四、合参二次函数抓“形式”促“结构”
问题4:设若的图象经过两点,且存在整数,使得,则
A.
B.
C.
D.
【解析】卡壳点:不会将较小者函数与零点建立关系.
应对策略:深刻理解较小者函数的数学符号,借助零点式进行转化.
问题解答:设,图象如图3,由题意可知.
当且仅当时,等号成立.
但由知等号不成立,
所以,
即.
【反思】因为,所以.问题转化为探求的最大值,此时二次函数的零点式为探求的最大值起到了桥梁作用,对零点式的代数结构的识别为基本不等式的运用奠定了基础.任何数学问题的外在形式中必隐藏着其本质结构,对于二次函数,其表达形式至少有一般式、零点式和顶点式,它们之间联系紧密,可以相互转化.本题中抓住这一智慧点,就能解决问题.
五、含参二次函数抓“形态”促“化数”
因为二次函数的图象是最基本的图形,若题目给出了特定区间上的抛物线,则应将抛物线补充“完整”,以帮助分析、寻找解题途径与思路.
问题5:设函数,当时,求函数在上的最小值的表达式.
【解析】卡壳点:不会分类处理定区间上抛物线弧的最值.
应对策略:抓住二次函数的几何形态,分类将二次函数代数式转化.
3问题解答:,其图象的对称轴方程为.(1)当,即时,,如图4.
(2)当,即时,,如图5.
(3)当,即时,,如图6.
所以
【反思】从抛物线的形态上看,抓住对称轴进行分类讨论,求出的取值范围即可得证.此问题涉及二次函数图象的形态,㧓住对称轴思考,帮助分析此二次函数的最值.
六、含参二次函数抓“分类”促“分解”
因为高中二次函数问题中一般含有参数或绝对值,也可能是复合或分段函数,求解时都离不开分类讨论,通过分类达到分解综合问题之目的.对于二次函数的分类,关键还是对称轴,因为它制约着二次函数的最值与值域.
问题6:设其中.若对任意的非零实数,存在唯一的非零实数,使得成立,则的取值范围为
【解析】卡壳点:不会从几何角度思考分段、任意、存在、含参的二层分类.
应对策略:抓住二次函数图象的对称轴分类,将综合问题按层分解.
问题解答:设.
(1)若二次函数图象的对称轴在轴的左侧,对任意的非零实数就会破坏的唯一性.
(2)若二次函数图象的对称轴不在轴的左侧,即.
①两个函数的图象在轴上不交于同一点,对任意的非零实数,会破坏的唯一性;
②因为两个函数的图象在轴上交于同一点,即,所以在上有解,从而.
【反思】一个分段函数中含有二次函数(的一部分),从形上思考分类,抓住抛物线的对称轴进人第一层分类,然后抓住分段点位置进人第二层分类,思维的有序性是解决问题的关键.
强化练习
1.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解析】如答图, 作出函数图象, 可以直接排除选项 C,D.
因为当 x∈(0,1] 时, f(x) 的值域为 -14,0, 所以 把函数值转移到 -14,0 上, 才能求出对应的 x 值.f(x)=2f(x-1)=4f(x-2)=-89,
即 f(x-2)=-29=(x-2)(x-3), 代值检验可知 选 B.
【反思】人们常常利用周期性把自变量转移到某个区间, 求得函数值, 现在反过来, 需要根据值域, 用类似周期的关系 把自变量进行转移.
2.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【解析】由 f(0)⩾0, 得 a⩾0.
当 0⩽a⩽1 时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a –a2⩾2a-a2
=a(2-a)>0.
当 a>1 时, f(1)=1>0.
故当 a⩾0 时, x2-2ax+2a⩾0 在 (-∞,1] 上恒成立.
若 x-aln⁡x⩾0 在 (1,+∞) 上恒成立, 即 a⩽xln⁡x 在 (1,+∞) 上恒成立.
令 g(x)=xln⁡x, 则 g'(x)=ln⁡x-1(ln⁡x)2.
易知 x=e 为函数 g(x)=xln⁡x 在 (1,+∞) 上唯一的极小 值点, 也是最小值点.
故 g(x)min =g(e)=e, 所以 a⩽e.
综上所述, a 的取值范围为 [0,e], 故选 C.
【反思】 分段函数中对二次函数进行分析判断, 对超越函数进行参变分离.
3.已知,函数当时,不等式的解集是__.若函数恰有2个零点,则的取值范围是_.若函数恰有1个零点,则的取值范围是若函数恰有3个零点,则的取值范围是____
【解析】由 f(x)<0, 解得 1画出函数 f(x) 的图象, 如答图所示, 可以判断函数 f(x) 恰有 2 个零点, 此时 1<λ⩽3,λ>4.
令 y=x-4,y=x2-4x+3, 分析当 λ 变化时, 函数零 点的变化情况:
(1) 当 λ⩽1 时, 有 1 个零点;
(2) 当 1<λ⩽3 时, 有 2 个零点;
(3) 当 3<λ⩽4 时, 有 3 个零点;
(4) 当 λ>4 时, 有 2 个零点;
【反思】 数形结合, 以形促数, 直观判断.
4.已知函数,若对任意,都有恒成立,则实数的取值范围是_____
【解析】显然 a>0, 否则, 当 x→∞ 时, 有 f(f(x)) →-∞, 不符合题意.
当 a>0 时, 函数 f(x) 的值域是 a-1a,+∞.
根据题意, 对函数 f(x) 值域中的任意一个数 t, 都有 f(x)⩾0, 因此 f(x) 没有零点, 或者 f(x) 的较大零点不超 过 a-1a.
即 4-4a<0, 或者 4-4a>0,-2+4-4a2a⩽a-1a, 解得实数 a 的取值范围是 5-12,+∞.
换一个思路: 根据对称轴 x=-1a【反思】 此问题考查学生对二次函数性质的理解运用能力, 复合结构阻碍了学生的思维, 只有抓住二次函数的重要 特征, 关于对称轴、单调性与值域的问题才能迎扨而解.
5.已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围是______
【解析】解法 1 (分离变量法) 当 x∈[1,+∞) 时, f(x)⩾0 恒成立等价于 ∀x∈[1,+∞),a2+2x-1a- x2-x⩽0 恒成立, 解此不等式得
-2x-1+4x2+6x-12⩽a ⩽-2x-1+4x2+6x-12.
函数 u(x)=-2x-1+4x2+6x-12 在 [1,+∞) 上 单调递减, 因此 a⩾umax=u(1)=-2.
当 x∈[1,+∞) 时, 函数 v(x)=-2x-1+4x2+6x-12 ⩾x+2-2x-12⩾1,
且知 v(1)=1, 因此 a⩽vmin =v(1)=1.
综上, a 的取值范围是 [-2,1].
必要性: 由 f(1)⩾0, 解得 -2⩽a⩽1. 以下解法只证明 充分性.
解法 2 (直接研究 f(x) 的单调性)
当 -2⩽a⩽0 时, f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增, 故 f(x)⩾f(1)⩾0.
当 0又有 x-a2⩾1-1=0, 相加可得 f(x)⩾0.
综上,充分性得证.
解法 3(直接求导法)
f'(x)=2x+1-a2x-1=(2x+1)2x-1-a2x-1.
函数 y=(2x+1)2x-1-a 在 [1,+∞) 上单调递 增, 因此 (2x+1)2x-1-a⩾3-a>0, 即 f'(x)>0.
∀x∈[1,+∞), 当 a∈[-2,1] 时, f(x) 在 [1,+∞) 上 单调递增, 故 f(x)⩾f(1)⩾0.
【反思】 在不同思维基础下, 多角度思考, 学会必要性探路 和充分性证明的基本思路.
6.已知,其中,若方程的根在上,求的最小值.
【解析】令 g(x)=f(x)-x=0 的两根为 x1,x2, 则 g(x)=ax-x1x-x2.
由题设知, g(0)>0,g(1)>0.
g(0)g(1)=a2x1x21-x11-x2⩽a2x1+1-x122. x2+1-x222=a216,
当且仅当 x1=x2=12 时等号成立. 又 a∈N*,b,c∈Z,g(0)>0,g(1)>0,g(0)=c⩾1, g(1)=f(1)-1=a+b+c-1⩾1, 所以 g(0)g(1)⩾1.
综上可知, a216⩾1, 即 a2⩾16,a⩾4.
又 a∈N*, 所以 a 的最小值为 4 .
【反思】 二次函数不同表达式的链接.
7.探求在定区间为常数)上的最值.
【解析】 y=f(x)=x2+x+c=x+122+c-14.
设 M(c) 和 m(c) 分别表示所求的最大值和最小值.
(1) 当 -12⩽m 时, f(x) 在 [m,n] 上单调递增,所以 M(c)=f(n),m(c)=f(m).
(2) 当 m<-12⩽m+n2 时, M(c)=f(n),m(c)= f-12=c-14.
(3) 当 m+n2<-12⩽n 时, M(c)=f(m),m(c)= f-12=c-14.
(4) 当 -12>n 时, f(x) 在 [m,n] 上单调递减,所以 M(c)=f(m),m(c)=f(n).
因此 M(c)=f(n),1⩾-(m+n),f(m),1<-(m+n), m(c)=f(m),1⩾-2m,c-14,-2n⩽1<-2m,f(n),1<-2n.
【反思】 一段抛物线弧上最值的分类思考需要整体设计. 不论是动抛物线在定区间上的最值, 还是定抛物线在动区间上的最值, 都需要根据抛物线的对称轴与定义区间的位置关 系进行分类讨论. 此问题含有字母, 抽象表达显得更为重要.
8.如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为.
(I)若,求的定义域;
(II)当时,若为“同域函数”,求实数的值;
(III)若存在实数且,使得为“同域函数”,求实数的取值范围.
【解析】(I) 当 a=-1,b=2 时, f(x) 的定义域为 [0,2].
(II) 当 a=1 时, f(x)=x2+bx+2,x⩾0.
当 -b2⩽0, 即 b⩾0 时, f(x) 的定义域为 [0,+∞), 值域为 [2,+∞),
所以当 b⩾0 时, f(x) 不是“同域函数”.
(ii) 当 -b2>0, 即 b<0 时, 当且仅当 Δ=b2-8=0 时, f(x) 是“同域函数”, 此时 b=-22.
综上所述, 实数 b 的值为 -22.
(III) 设 f(x) 的定义域为 A, 值域为 B.
(i) 当 a<-1 时, a+1<0, 此时 0∉A,0∈B, 从而 A≠B,f(x) 不是“同域函数”.
(ii) 当 -10. 设 x0=-b-b2-4a(a+1)2a, 则 f(x) 的定义域
A=0,x0
(1) 当 -b2a⩽0, 即 b⩽0 时, f(x) 的值 域 B= [0,a+1]. 若 f(x) 是“同域函数”, 则 x0=a+1, 从而 b=-(a+1)2. 又 -1 (-1,0)
(2) 当 -b2a>0, 即 b>0 时, f(x) 的 值 域 B= 0,4a(a+1)-b24a, 若 f(x) 是 “同域函数”, 则 x0= 4a(a+1)-b24a, 从而 b=b2-4a(a+1)(-a-1)(*).
此时, 由 -a-1<0,b>0 可知, (*) 式不成立.
综上所述, 实数 b 的取值范围是 (-1,0).
【反思】 分析双参数时, 固定其中的一个参数, 对另一个参 数分类讨论.