浙江省温州市南浦实验中学2023—-2024学年上学期九年级开学考试数学试卷

这是一份浙江省温州市南浦实验中学2023—-2024学年上学期九年级开学考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）要使二次根式有意义，则a的取值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．﹣2
2．（3分）今年上半年，我国新能源汽车销量达到3750000辆．数据3750000用科学记数法表示为（ ）
A．0.375×107B．3.75×107C．3.75×106D．375×104
3．（3分）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（3分）下列因式分解的结果正确的是（ ）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）B．a2﹣2ab﹣b2＝（a﹣b）2
C．2a2+a＝﹣a（2a+1）D．a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，﹣6）关于点P（0，m）对称的点A在x轴上，则m的值为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
6．（3分）如图是九（1）班学生每分钟跳绳个数的频数分布直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），根据图上信息，下列说法错误的是（ ）
A．九（1）班有学生42人
B．九（1）班学生每分钟跳绳个数的众数一定为150个
C．九（1）班学生每分钟跳绳个数的中位数一定在140～160个之间
D．九（1）班每分钟跳绳个数不少于140个的学生占
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，E为AB的中点，连结DE，DE＝，AC＝4AD，AD＝1，则BC的长为（ ）
A．B．3C．D．4
8．（3分）某车间需加工某工件560个，为更快完工，在原计划基础上再增调一批工人，增调人员后该车间每小时比原计划多加工60个工件，且能提早3小时完成任务，设原计划该车间每小时可加工x个工件，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）若双曲线与直线y＝k2x（k1k2≠0）的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），若3x1y2+x2y1＝8，则下列结论一定成立的是（ ）
A．k1＝﹣2B．k1＝2C．k2＝﹣2D．k2＝2
10．（3分）如图，正方形ABCD，EFGH的中心互相重合，边AD，AB，BC，CD分别与边HE，EF，FG，GH交于点I，J，K，L，连结IJ，JK，KL，LI．若∠AIE＝45°，EH＝4IH，正方形ABCD的面积比正方形EFGH的面积大4，则四边形IJKL的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．24
二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）﹣9的倒数是 ．
12．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+x+4＝1（a≠0）有两个相同的实数解，则a的值为 ．
14．（4分）如图，点A在函数的图象上（点A在第一象限），过点A分别作x轴，y轴的平行线，交双曲线于点B，C，连结BC，若△ABC的面积为，则k的值为 ．
15．（4分）如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有6根长度相等的支架，支点O，P，Q为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH的长为24cm，此时鞋架高度为54cm，则支架AD的长为 cm；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL的端点L正好卡在面板BH的调节孔点G处，AL＝13cm，HG＝10cm，∠AOB＝60°，则鞋架最高点H到地面MN的距离是 cm．
三、解答题（本题有7小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
16．（8分）（1）计算：|﹣1|+﹣（﹣1）；
（2）化简：•．
17．（8分）如图，在4×4的菱形网格中，每个菱形的锐角内角都为60°，边长都为1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作格点图形（顶点都在格点上的图形）．
（1）在图1中，作矩形ABCD；
（2）在图2中，作一个△ABE，使其面积为．
18．（8分）小红家附近有A，B，C三个健身房，办年卡的费用分别为1500元，2800元，2000元．在三个健身房中各随机抽取20名顾客对他们所在的健身房进行评价，从低到高按照1分，2分，3分，4分，5分这五个档次评分，统计结果如图所示．
（1）小红已经对B，C两个健身房的评分数据进行处理，如上表所示，请你求出A健身房评分的平均数，中位数和众数；
（2）小红想选择其中一个健身房办年卡，她希望健身房的顾客评分尽可能高，又经济实惠，请从相关的统计量和费用进行分析，给出合理的选择建议．
19．（10分）已知一次函数y1＝kx﹣1，y2＝（2k﹣1）x，其中．
（1）若，求y1，y2图象的交点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，设y1的最大值为m，y2的最小值为n，若m﹣n＝2，求k的值．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，AB上，连结DE并延长交CB的延长线于点F，连结CE．已知E为DF中点，∠BEC＝∠F．
（1）求证：CD＝CF；
（2）若AD＝DE＝10，求AC的长．
21．（12分）根据下列素材，解决实际问题：
22．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC中点，连结ED，F，G分别为线段BE，ED上的点，EG＝BF，连结AF，FG．
【探索发现】通过观察和测量，猜想AF与FG的数量关系： ；
【特例计算】当F为线段BE的中点时，求AF与FG的长；
【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想；
【拓展运用】点G关于BC的对称点为点G'，以AF，FG'为邻边构造平行四边形AFG′H．若点H到BC的距离是BF的2倍，求BF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则a的取值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．﹣2
【解答】解：由题意，得a﹣1≥0，
解得a≥1，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
2．（3分）今年上半年，我国新能源汽车销量达到3750000辆．数据3750000用科学记数法表示为（ ）
A．0.375×107B．3.75×107C．3.75×106D．375×104
【解答】解：3750000用科学记数法表示为3.75×106．
故选：C．
3．（3分）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：对于A，如图，
此时，四边形ACBD不是平行四边形，故A不符合题意；
对于B，如图，
此时，AD∥BC，且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意；
对于C，如图，
此时，四边形ABCD不是平行四边形，故C不符合题意；
对于D，如图，
此时，四边形ABDC不是平行四边形，故D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列因式分解的结果正确的是（ ）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）B．a2﹣2ab﹣b2＝（a﹣b）2
C．2a2+a＝﹣a（2a+1）D．a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）
【解答】解：A.4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故A错误，不符合题意；
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故B错误，不符合题意；
C.2a2+a＝a（2a+1），故C错误，不符合题意；
D．a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3），故D正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，﹣6）关于点P（0，m）对称的点A在x轴上，则m的值为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
【解答】解：过A作AH⊥y轴于H，
∵点A（5，﹣6），
∴AH＝5，OH＝6，
∵点A与点A′关于点P（0，m）对称，
∴AP＝A′P，
在△APH与△A′PO中，
，
∴△APH≌△A′OP（AAS），
∴OP＝PH＝OH＝3，
∴m＝﹣3，
故选：A．
6．（3分）如图是九（1）班学生每分钟跳绳个数的频数分布直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），根据图上信息，下列说法错误的是（ ）
A．九（1）班有学生42人
B．九（1）班学生每分钟跳绳个数的众数一定为150个
C．九（1）班学生每分钟跳绳个数的中位数一定在140～160个之间
D．九（1）班每分钟跳绳个数不少于140个的学生占
【解答】解：A．九（1）班的学生数为6+12+14+10＝42（人）．故选项A不符合题意；
B．每分钟跳绳个数的众数不一定是150个．故选项B符合题意；
C．．∵九（1）班学生人数有42人，
∴中位数是第21个数和第22个数的平均数，
∵第21个数和第22个数在140～160这一组中，
∴每分钟跳绳个数的中位数一定在140～160个之间，故选项C不符合题意；
D．∵九（1）班每分钟跳绳个数不少于140个的学生人数占总人数的＝，
∴每分钟跳绳个数不少于140个的学生占总人数的．故选项D不符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，E为AB的中点，连结DE，DE＝，AC＝4AD，AD＝1，则BC的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【解答】解：如图，过E作EF⊥AC于F，
∵∠C＝90°，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∵E为AB的中点，
∴点F是AC的中点，
∴AF＝AC，
∵AC＝4AD，AD＝1，
∴AC＝4，
∴AF＝2，
∴DF＝1，
∵DE＝，
∴EF＝＝，
∵E为AB的中点，点F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2．
故选：A．
8．（3分）某车间需加工某工件560个，为更快完工，在原计划基础上再增调一批工人，增调人员后该车间每小时比原计划多加工60个工件，且能提早3小时完成任务，设原计划该车间每小时可加工x个工件，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，﹣＝3，
故选：D．
9．（3分）若双曲线与直线y＝k2x（k1k2≠0）的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），若3x1y2+x2y1＝8，则下列结论一定成立的是（ ）
A．k1＝﹣2B．k1＝2C．k2＝﹣2D．k2＝2
【解答】解：∵双曲线与直线y＝k2x（k1k2≠0）的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），
∴点（x1，y1）与点（x2，y2）关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，k1＝x1y1，k2＝x2y2，
∵3x1y2+x2y1＝8，
∴﹣3x2y2﹣x2y2＝﹣4x2y2＝﹣4k2＝8，
∴k2＝﹣2，
故选：C．
10．（3分）如图，正方形ABCD，EFGH的中心互相重合，边AD，AB，BC，CD分别与边HE，EF，FG，GH交于点I，J，K，L，连结IJ，JK，KL，LI．若∠AIE＝45°，EH＝4IH，正方形ABCD的面积比正方形EFGH的面积大4，则四边形IJKL的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．24
【解答】解：设IH＝x，则EH＝4x，如图，
∵正方形ABCD，EFGH的中心互相重合，
∴∠BAD＝∠IDL＝∠IHN＝∠MEJ＝90°，
∵∠AIE＝45°，
∴∠AIM＝∠AMI＝∠EMJ＝45°，
∴△AMI、△HIN、△EMJ、△EOH均为等腰直角三角形，
∴∠HPI＝∠HOE＝90°，
∴△HIP为等腰直角三角形，
∴IP＝HP＝IH＝x，OE＝OH＝EH＝2x，
∴ME＝IH＝x，MI＝2x，AI＝DN＝x，MJ＝IN＝x，
∴AD＝3x，
∵正方形ABCD的面积比正方形EFGH的面积大4，
∴（3x）2﹣（4x）2＝4，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AM＝AI＝MJ＝2，
∴AJ＝4，
∴IJ2＝AI2+AJ2＝22+42＝20，
同理可得DL＝AI，AD＝AJ，
∴△AJI≌△DIL（SAS），
∴IJ＝IL，∠AJI＝∠DIL，
∵∠AIJ+∠AJI＝90°，
∴∠AIJ+∠DIL＝90°，
∴∠JIL＝90°，
同理可得∠ILK＝∠IJK＝90°，
∴四边形IJKL是正方形，
∴四边形IJKL的面积为IJ2＝20，
故选：C．
二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）﹣9的倒数是 ﹣ ．
【解答】解：﹣9的倒数是﹣．
故答案为：﹣
12．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为 120° ．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝120°，
故答案为：120°．
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+x+4＝1（a≠0）有两个相同的实数解，则a的值为 ．
【解答】解：∵ax2+x+4＝1（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝1﹣12a＝0，且a≠0，
解得：a＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，点A在函数的图象上（点A在第一象限），过点A分别作x轴，y轴的平行线，交双曲线于点B，C，连结BC，若△ABC的面积为，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：设A（m，），
∵AB∥x轴，AC∥y轴，
∴B（，），C（m，），
∵△ABC的面积为，
∴AB•AC＝（m﹣）（）＝，
解得k＝﹣（正值舍去），
故答案为：﹣．
15．（4分）如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有6根长度相等的支架，支点O，P，Q为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH的长为24cm，此时鞋架高度为54cm，则支架AD的长为 26 cm；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL的端点L正好卡在面板BH的调节孔点G处，AL＝13cm，HG＝10cm，∠AOB＝60°，则鞋架最高点H到地面MN的距离是 46 cm．
【解答】解：如图，过O作OK⊥AB．
∴AK＝KB＝12，
OK＝54÷6＝9，
∴AO＝＝13，
∴AD＝2AO＝26．
如图：连AB，过H作HR⊥AB．
∵∠ALB＝∠AOB＝60°，LA＝LB，
∴△ALB是等边△，
∴∠LBA＝60°，
∴∠RHB＝30°，
∴RB＝HB＝（10+13）＝，
∴HR＝RB＝，
∴H到地面MN的距离＝4HR＝4×＝46．
故答案为：26，46．
三、解答题（本题有7小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
16．（8分）（1）计算：|﹣1|+﹣（﹣1）；
（2）化简：•．
【解答】解：（1）|﹣1|+﹣（﹣1）
＝1﹣2+1
＝0；
（2）•
＝•
＝．
17．（8分）如图，在4×4的菱形网格中，每个菱形的锐角内角都为60°，边长都为1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作格点图形（顶点都在格点上的图形）．
（1）在图1中，作矩形ABCD；
（2）在图2中，作一个△ABE，使其面积为．
【解答】解：（1）如图1中，矩形ABCD即为所求；
（2）如图2中，△ABE即为所求．
18．（8分）小红家附近有A，B，C三个健身房，办年卡的费用分别为1500元，2800元，2000元．在三个健身房中各随机抽取20名顾客对他们所在的健身房进行评价，从低到高按照1分，2分，3分，4分，5分这五个档次评分，统计结果如图所示．
（1）小红已经对B，C两个健身房的评分数据进行处理，如上表所示，请你求出A健身房评分的平均数，中位数和众数；
（2）小红想选择其中一个健身房办年卡，她希望健身房的顾客评分尽可能高，又经济实惠，请从相关的统计量和费用进行分析，给出合理的选择建议．
【解答】解：（1）平均数：＝3.6，
中位数：＝3.5，
众数：3，
答：A健身房评分的平均数，中位数和众数分别为3.6、3.5、3；
（2）∵4.25＞4＞3.6，
∴B健身房、C健身房评分较高，
∵2000＜2800，
∴C健身房评分较高，且经济实惠．
19．（10分）已知一次函数y1＝kx﹣1，y2＝（2k﹣1）x，其中．
（1）若，求y1，y2图象的交点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，设y1的最大值为m，y2的最小值为n，若m﹣n＝2，求k的值．
【解答】解：（1）当时，y1＝x﹣1，y2＝﹣x，
解得，
∴y1，y2图象的交点坐标为（，﹣）；
（2）在y1＝kx﹣1中，．
∴y1随x的增大而增大，
∵﹣1≤x≤4，
∴当x＝4时，y1的最大值m＝4k﹣1，
在y2＝（2k﹣1）x中，，
∴y2随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y2的最小值为n＝4（2k﹣1），
∵m﹣n＝2，
∴4k﹣1﹣4（2k﹣1）＝2，
解得k＝．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，AB上，连结DE并延长交CB的延长线于点F，连结CE．已知E为DF中点，∠BEC＝∠F．
（1）求证：CD＝CF；
（2）若AD＝DE＝10，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵E为DF中点，
∴DE＝FE，
∵∠ABC＝90°，
∵∠BEF＝90°﹣∠F，
∵∠BCE＝90°﹣∠BEC，
∵∠BEC＝∠F，
∴∠BEF＝∠BCE，
∴∠BEF+∠BEC＝90°，
即∠CEF＝90°＝∠CED，
在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE和△CFE（SAS），
∴CD＝CF；
（2）解：过点D作DG∥CF，交AB于G，过点E作EH∥CF，交AC于H，
∴∠AGD＝∠ABC＝90°，
∵AD＝DE＝10，
∴AG＝GE，
∴AD＝DH＝10，
∵DE＝FE，
∴CH＝DH＝10，
∴AC＝30．
21．（12分）根据下列素材，解决实际问题：
【解答】解：任务1：设农场中奶牛的数量为x只，黄牛的数量为y只，
，
解得：，
答：场中奶牛的数量为30只，黄牛的数量为50只．
任务2：+×40≤10000，
解得：a≤22.5，
因为a为整数，
所以a的最大值是22．
22．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC中点，连结ED，F，G分别为线段BE，ED上的点，EG＝BF，连结AF，FG．
【探索发现】通过观察和测量，猜想AF与FG的数量关系： AF＝FG ；
【特例计算】当F为线段BE的中点时，求AF与FG的长；
【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想；
【拓展运用】点G关于BC的对称点为点G'，以AF，FG'为邻边构造平行四边形AFG′H．若点H到BC的距离是BF的2倍，求BF的长．
【解答】【探索发现】解：观察图形并且测量线段AF、FG的长度，得AF＝FG＝2.2cm，
∴猜想AF与FG的数量关系是AF＝FG，
故答案为：AF＝FG．
【特例计算】解：如图1，连结BD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，
∴DC＝AB＝2，BC＝AD＝4，∠BAD＝∠ABF＝∠C＝90°，
∴BD＝＝＝2，
∵E为BC的中点，F为BE的中点，
∴BE＝CE＝BC＝2，BF＝EF＝BE＝1，
∴AF＝＝＝，DE＝＝＝2，
∵EG＝BF＝×1＝，
∴DG＝DE﹣EG＝2﹣＝，
∴DG＝EG，
∴FG是△EBD的中位线，
∴FG＝BD＝×2＝，
∴AF与FG的长均为．
【推理证明】证明：如图2，作GL∥DC交BC于点L，则∠FLG＝∠C＝∠B＝90°，
∵CE＝DC＝2，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠LGE＝∠CDE＝∠CED，
∴LE＝LG，
∴EG＝＝LG，
∴BF＝LG，
∴BF＝LG＝LE，
∴FL＝LE+EF＝BF+EF＝BE＝2，
∴AB＝FL，
在△ABF和△FLG中，
∴△ABF≌△FLG（SAS），
∴AF＝FG．
【拓展运用】解：如图3，连结GG′交BC于点P，
∵点G′与点G关于BC对称，
∴BC垂直平分GG′，
∴EG＝EG′，∠EPG＝90°，
∴∠PEG＝∠PGE＝45°，
∴∠PEG′＝∠PEG＝45°，
∴∠BEG′＝180°﹣∠PEG′＝135°，
连结AE、FH，
∵AB＝BE＝2，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴∠AEB+∠BEG′＝45°+135°＝180°，
∴A、E、G′三点在同一条直线上，
∵四边形AFG′H是平行四边形，AF＝FG＝FG′，
∴四边形AFG′H是菱形，
∴AG′垂直平分FH，
∴EF＝EH，
∴∠AEH＝∠AEB＝45°，
∴∠HEB＝2∠AEB＝90°，
∴HE⊥BC，
∵点H到BC的距离是BF的2倍，
∴EH＝EF＝2BF，
∵BF+EF＝BE＝2，
∴BF+2BF＝2，
解得BF＝，
∴BF的长是．
B健身房
C健身房
平均数（分）
4.25
4
中位数（分）
4
4
众数（分）
5
5
如何购买饲料更划算？
素材1
某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头．
素材2
每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）：
每袋质量
售价
黄牛饲料
60千克
40元/袋
奶牛饲料
75千克
60元/袋
农场中的牛3天共吃完37袋饲料．
素材3
该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料．
问题解决
任务1
分析数量
分别求出农场中黄牛和奶牛的数量．
任务2
统筹规划
现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值．
B健身房
C健身房
平均数（分）
4.25
4
中位数（分）
4
4
众数（分）
5
5
如何购买饲料更划算？
素材1
某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头．
素材2
每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）：
每袋质量
售价
黄牛饲料
60千克
40元/袋
奶牛饲料
75千克
60元/袋
农场中的牛3天共吃完37袋饲料．
素材3
该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料．
问题解决
任务1
分析数量
分别求出农场中黄牛和奶牛的数量．
任务2
统筹规划
现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值．