53，湖北省武汉市关山中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份53，湖北省武汉市关山中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列手机中图标是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2. 下列各组线段中能围成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A. ，∵，不能围成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，∵，能围成三角形，故该选项正确，符合题意；
C ，∵，不能围成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，∵，不能围成三角形，故该选项不正确，不符合题意．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．
3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A. 62°B. 72°C. 76°D. 66°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【详解】解：∵两个三角形全等
∴
故选C
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4. 如图，要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条？
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性，即可得到答案．
【详解】解：从一个顶点作两条对角线，形成三个三角形，即可使五边形木架不变形，如图：
故选A．
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是关键．
5. 从n边形的一个顶点出发，可以作7条对角线，则n的值是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以作条对角线即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线问题，熟练掌握“从n边形的一个顶点出发可以作条对角线”是解题关键．
6. 若一个等腰三角形有一个角为110°，那么它的底角的度数为（ ）
A. 110°B. 55°C. 110°或35°D. 35°
【答案】D
【解析】
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以110°只能为顶角，根据三角形内角和定理可求出底角的度数．
【详解】解：∵110°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣110°）÷2＝35°．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解，此题难度不大．
7. 已知点的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标为
故选：B．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
8. 如图，，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用三角形内角和求出，然后利用线段垂直平分线的性质可得，，从而利用等腰三角形的性质可得，，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9. 如图，中，，平分，交于点D，，，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】过D作于M，由角平分线的性质得出，再根据列关于的方程求解即可．掌握角平分线上的点到两边距离相等和等面积法是解题的关键．
【详解】解：如图：过D作于M，

∵中，，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得：．
故选：B．
10. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A. 120°B. 125°C. 130°D. 135°
【答案】B
【解析】
【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示：
∵，，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 已知等腰三角形的一边长等于3，一边长等于7，则它的周长为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】由题意得①当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；
②当腰为7时，7+7＞3，所以能构成三角形；
故等腰三角形的周长是：7+7+3=17.
故答案为17.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，熟练的掌握等腰三角形的性质与三角形的三边关系是本题解题的关键.
12. 在平面直角坐标系中，已知，，点C在第一象限内，是等腰直角三角形，则点C的坐标是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，进行求解即可．
【详解】解：当时，过点作直线轴，分别过点作，垂足为：，如图：
则：，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
即：；
当时，过点作直线轴，分别过点作，垂足为：，如图：
同法可证：，
∴，
设点的横坐标为：，
则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴点的纵坐标为：，
∴的坐标为：；
综上：点坐标为：或；
故答案为：或；
【点睛】本题考查坐标和图形，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
13. 如图，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为______度．
【答案】72
【解析】
【分析】先求出四边形，五边形，六边形的内角，再求出，，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形每个内角为，五边形每个内角为，六边形每个内角为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为72．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解题目中的数量关系是关键．
14. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解．
【详解】解：连接，延长到．
∵，
∴，
∵，，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
15. 如图，已知中，．点M，N在底边上，若．那么线段与之间的数量关系为___________．
【答案】
【解析】
【分析】作，使得，连接，，先证，推导得；再证，推导得，最后得到．
【详解】解：如图，作，使得，连接，，
在中，
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
即．
∵，，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形中，的锐角所对的边等于斜边的一半，其中运用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16. 如图，中，，平分，为边上的点，连接，．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）
【答案】①②④
【解析】
【分析】如图，过作于，证明，可得，可判断①符合题意；证明，，可判断②符合题意；由，证明，可判断③不符合题意；由， 可判断④符合题意；
【详解】解：如图，过作于，
∵平分，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．故③不符合题意；
∵，，
∴
故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的应用，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A度数．
【答案】∠A＝36°．
【解析】
【分析】设∠A=x°．在△ABD中，由等边对等角得到∠A=∠ABD=x°，由三角形外角的性质得到∠BDC=∠A+∠ABD=2x°．在△BDC中，由等边对等角得到∠BDC=∠BCD=2x°．
在△ABC中，由等边对等角得到∠ABC=∠BCD=2x°，由三角形内角和定理得到x+2x+2x=180，解方程即可．
【详解】设∠A=x°．
∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，
∠BDC=∠A+∠ABD=2x°．
∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，
在△ABC中，x+2x+2x=180，
解得：x=36，∴∠A=36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键．
18. 如图，AB与CD相交于点O，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用AAS证明，即可得到结论．
【详解】解：证明：在和中
∴．
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19. 如图，在中，，于点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，由余角的性质可得，由可证；
（2）根据（1）的结论可得，由，求得，根据即可求解．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质．
（1）连接，根据垂直平分线和角平分线的性质分别得到，证明，从而证得；
（2）证明，得到，从而可以得到．
【小问1详解】
证明：连接，

垂直平分，
，
平分，，
，
在和中，
，
∴，
；
【小问2详解】
证明：在和中，
，
∴，
，
，
，
．
21. 如图，在等腰中，，点，，在的边上，满足．
（1）求证：；
（2）当时，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由已知等腰中，，可得，再证明，即得；
（2）在中，由，，求得，再结合，可得，在中，有，再由，推导得到，最后由及三角形内角和定理，得到的大小．
【小问1详解】
证明：∵等腰中，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵等腰中，，
∴，
∵在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵中，，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）直接写出△ABC的面积为 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 ；
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．
①作出△ABC的高线AF
②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°．
【答案】（1）；（2）（4，-2）；（3）①AF为△ABC的高作法见详解；②∠CAP=45°，作法见详解．
【解析】
【分析】（1）利用割补法求三角形ABC面积S△ABC=S△ABH+S梯形AHGC-S△BCG代入计算即可；
（2）先求出点A、B关于y轴对称的点坐标D、E，然后描出点D、E，顺次连结线段DE，EC，CD即可；
（3）①根据勾股定理AB=，过C向左5格向上1格作CH=，则CH⊥AB， 根据勾股定理AC=，过B向右4格，向上3格作BI，CH与BI交于G，则BI⊥AC，则点G为垂心，过A作射线AG交BC于F，则AF为所求，；
②根据AC=，过C先下3格，向左4格，作CR=，连结AR交BC于P，则RC⊥AC，RC=AC，可得△ACR是等腰直角三角形，可求∠RAC=∠ARC=45°，则∠CAP=45°，
【详解】解：（1）S△ABC=S△ABH+S梯形AHGC-S△BCG
=
，
故答案为；
（2）∵A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．△ABC关于y轴的对称的△DEC，
∴点D（3，3），点E（4，-2），
描点D、E，连结CD，DE，EC，
则△DEC为△ABC关于y轴对称的三角形，
故答案为（4，-2）；
（3）①根据勾股定理AB=，过C向左5格向上1格作CH=，则CH⊥AB， 根据勾股定理AC=，过B向右4格，向上3格作BI，CH与BI交于G，则BI⊥AC，则点G为垂心，过A作射线AG交BC于F，则AF为所求，
AF为△ABC的高；
②根据AC=，过C先下3格，向左4格，作CR=，连结AR交BC于P，则RC⊥AC，RC=AC，
∴△ACR是等腰直角三角形，
∴∠RAC=∠ARC=45°，
则∠CAP=45°，
【点睛】本题考查割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，作一角等于已知角，等腰直角三角形性质，掌握割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，过一点作已知直线的垂线，作一线段等于已知线段，等腰直角三角形性质是解题关键．
23. （1）如图①，中，，，点D为BC的中点，求AD的取值范围；
（2）如图②，在四边形ABCD中，，E、F分别在BC、CD上，且，，M为EF的中点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）延长AD到点G，使，连接CG，可证明，则，由，且，得，则；（2）延长BM到点H，使，连接HF、BD、HD，可证明，得，，则，得，则，即可证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明．
【详解】（1）如图①，延长AD到点G，使，连接CG，
∵点D为BC的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴AD的取值范围是，
（2）证明：如图②，延长BM到点H，使，连接HF、BD、HD，
∵M为EF的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等角的补角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24. 如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意结合等边三角形的性质，可得，，，即，再证，即可证得；
（2）过点作交于点，过点作交于点，由，根据全等三角形对应边上的高相等，可得，，再由角平分线的判定可得，平分；
（3）过点作交于点，过点作交于点，上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，先证，推导得，同法可证，，最后根据三角形面积关系，得出，则可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∵等边，等边，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，
∵（1）中已证，
又∵，，
∴，
∵，，
∴平分．
【小问3详解】
，理由如下：
如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，
∵，
∴，
∵，
又∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
同法可证，，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵（2）中已证，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大．